Soient les équations

(1) (p=aoa?^+a4af»-*+a,af»-*+,..+a„=0,

Si ces équations doivent coexister par hypothèse simultanément, il Taudra qu'elles aient au moins une racine commune. Mais, à cet effet, les coefficients des deux équations devront évidemment satisfaire à une certaine condition, sans quoi, les coefficients pouvant être quelconques, la solution commune pourrait toujours être rendue impossible. Or, si par un moyen quelconque on déduit de ces équations une troisième, d'où la variable est disparue, ce sera là la condition à laquelle satisferont les coefficients. Déduire une telle équation de condition s'appelle éliminer la variable, et le résultat de cette élimination se nomme résultante. La résultante exprime donc et pourrait se définir : la condition qui doit exister entre les coefficients de deux équa^ tions données à une variable, pour qaune valeur' de celle-ci les vérifie simultanément. Mais remarquons ici qu'il ne s'agit que d'une solution unique ; car, s'il y en avait davantage, de nouvelles conditions définies par le théorème de Lagrange surgiraient entre les coefficients. Par conséquent, dans tout ce qui suit, afin d'obtenir toute la précision et la simplicité désirables, nous supposerons que les équations susdites n'admettent qu'une solution unique.

2. On peut facilement concevoir divers procédés, plus ou moins compliqués , pour trouver cette résultante , et, de quelque manière qu'on y arrive, elle devra s'annuler, dès qu'on suppose aux deux

équations une solution commune. Hais la réciproque ne serait pas généralement vraie, car cette résultante pourrait contenir un facteur étranger, introduit par la nature même du procédé qu'on aurait suivi. Elle pourrait donc s'évanouir, sans que les équations proposées pussent être satisfaites par une même valeur de la variable. Il importe donc, avant tout, de connaître quelle est la fonction des coefficients qui sera la vraie condition, c'est-à-dire qui devra nécessairement s'annuler s'il existe une solution commune et qui, réciproquement, devra révéler l'existence ou la non-existence d'une solution commune, selon qu'elle s'annulera ou qu'elle ne s'annulera pas.

A cet effet, désignons par cc^aL^...cfLm et par Pi^s...^n respectivement les racines des équations f =0 et ^ = 0. On aura

(3) 9=ao(a?— ai)(a?— tt,)...(a;— a^)=:0,

II est clair maintenant que si <p et i{/ admettent une racine commune, une quelconque des racines (a) et une seule, telle que a^, pourra et devra être égale à une quelconque et à une seule des racines (P), telle que ^j. Ainsi donc il faut qu'une et une seule des différences quelconques des racines otf-=pj s'annule. Par conséquent, si Ton forme le produit de toutes ces différences, le produit devra s'annuler, puisqu'un de ses facteurs devra nécessairement s'évanouir. Réciproquement, si ce produit s'annule, un des facteurs au moins devra se réduire à zéro et, par conséquent, il y aura au moins une solution commune aux deux équations ; et si aucun de ses facteurs ne s'annule, le produit ne s'annulera pas non plus, ce qui nous suffit. Le produit donc

(5) < (ai-Ps)(s~P3)...K-Ps).

qui d'ailleurs est une fonction des coefficients (a), (6), puisqu'il est une fonction symétrique des racines de chaque équation, sera bien la