I-^e PARTIE. — CHAPITRE I
D'ailleurs,
(35) ^^ =— (a,.i+a|.2a/+ a<.ja^+ . . . + aia/-a+ a/->) ;
rfo< .. 2j.:. rc.:.^ j. „n-i j__- iw .... X
car j-^ se réduit au coefficient de a^~* dans l'équation
docj
multi-
plié par — 1 , produit marqué par le second membre* Au moyen de cette dernière équation , il viendra
le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières de h depuis 1 jusqu'à n, ou bien
dat dsi i dst 4
dSr 1.1^»
dOr dSr
dSr
pour i^r.
De là on tire évidemment doi 1
pour ê>r.
En ayant égard à ces valeurs ^ la (33) deviendra précisément la (32) y qu'il s'agissait de démontrer.
Septième propriété. En désignant par' r la somme des exposants des racines dans la fonction (f, ona
Ol
SOs • . • TOt
dst
a, . . . Or-i
ai. . . Or-a
1 • • • dr— 3
Démonstration. Par saite de l'équipollence de la foDction ^, on a
et réqoatÎQn (32), en y Taisant successivemeot r=l,2, 3,...t, nous doDpe
Ed éliminaDt t^, t^..., -j^ de ces équations et de la (38), on
obtiendra |a formule (37).
Cette formule n'est que l'équation (21) sous une autre forme. Ainsi, elle n'est pas plus propre à faciliter les calculs des fonctions symétriques. Au contraire, la relation (32) et ses semblables, qu'on en déduira en faisant varier Tindice, peuvent utilement servir à déterminer les coefficients numériques de la fonction (f, une fois que sa forme littérale aura été écrite d'après la quatrième propriété. Nous empruntons à ce sujet un exemple au mémoire de M. Brioschi, à qat l'on doit les deux théorèmes ci-dessus.
Application. Soit à calculer la fonction
en fonction des coefBcients. La forme littérale sera
+Faia,aa4-Gaia8a44-Iaia,*a4+Ha,ae+Ko,'a4 -f- La3ai5+Ma,a3*+Na4*-hPa,,
Supposons que les fonctions
IH PARTIE. — CHAPmiE I. 1»
soient connues d'avance. Alors les équations que l'on déduira de la (32) y à savoir :
d(Pt dcfi d»i
da% ds%
fourniront les équations de condition entre les coefficients indéter«* minés A, B, C,... propres à les déterminer. En profitant ainsi de ce$ relations et du tableau page 20, on aura lep équations
A+C— 3cr0, 2D+G+B+3=0, I+K+F+9=:0, 2M+4+H— 15=0, G+2N+F~3;=;0, 44-P+ 16=^0,
d'où A=:4, B=— 9, C=— 1, D=— 2, E = 9,
C'est à l'aide des diverses méthodes que nous avons exposées jusqu'ici que nous avons calculé les valeurs des quelques fonctions symétriques, que nous réunissons ici dans un seul tableau pour l'avantage des lecteurs.
On a
«4=— a^, «1=^1* — 2a,, «8= — a^^+Za^at — Sa,, «4=0/— 4a/a,+4aia8~4a4+2a,*, <5=— ai*+5ai\+5a404— Sa^^a,— 5aa,*+5aA^5a,; Se=ai*— 6a4*a,+6at'ai — ^a^a^ — 1 2a ao, + ^a^i^a^a^ — 6ae4-9«i W— 2a,'H-2a8*.
20 THÉORIE GÉNÉRALE DE F/ÉLïMINATrON.
^o* /? =— «10,»+ 2ai2a3+ a,^, 5oi«4+ 5a, , ^o* /3 ==— ai»a,+ 0,^0,+ SaiO^^— ba^a^ — a^a^^ 5a^ , 1 2a*j32y=— Oj«3+ 3aia4— Ba, , I 2"' ^=— «i*«8+ 2a,a,+ «lO, , (40) / 2a^/3y=ai»a3— 3aia,a,+ 3a3*+2a5a,— a,a,«, 2«'^V=«»'- 2«.«*+ 2a,a5— 2ae ,
^a* J3* = a^a^— 2a»»+ 4010405 — 2oi»03— 2o,*+ 20,04 — 20^*04 — 6oiOb+ 6 o^ , .2«'j3*y== a^Otih— 308^4- 4oj04— 301^04 , ^a' /3» =0,»— 3oiOî08H- 3oi*04— 301O5+ 3o,«— 80,04+ Sog, 2a*P^==2oiOj04— 3oiX"~«i«8'+3oi'o,08— 5oiO,*+o,X+3ai*«8H-3aiCi«+5a504, 2«*/3»jt=2oi03*— Oj^a,— 505O4+ 0,0,04 , 2a'/3*y^'= 20,0,04— . 0,03*+ 0,04 , 1 2**i^y^ «i«8*+ 2o,*03— Oi%,03+ 3oi^04+ 203O4— 8oi0,O4.
Supposons maintenant qu'on ait à exprimer en fonction des coefficients une fonction entière des racines de la forme
où
a étant toujours une racine de l'équation (1) ; il est évident que la fonction W sera, en vertu du théorème page 10, de degré n au
H PARTffi. — CHAPITRE I. 21
plas et de tous les poids, depuis zéro jusqu'au nombre in,» par rapport aux coefBcients de l'équation (1). De plus, on voit qu'à chaque produit de la forme aj^c^^^a/. . . correspond le produit ^i-pft«-<7^n-f- ^es coefBcients de la fonction ^9 qui sera toujours de degré i et de poids in— (p+g'+r+...). Ainsi, chaque somme partielle de la forme
qui figure dans la fonction W, sera de poids m— (p+î+r)+ (P+î+»')=**i. Soit TT le plus grand des exposants />, g, r,.., et posons <r=p+jf+r+..., on aura, d'après ce qui précède,
et la partie 6„-p6|,-^ii-f'> qui l'accompagne dans la fonction <j^, prendra en général la forme *
sous les conditions
^ ^ Jfc, + 2&,+...+n/r„=tn— <i.
De là résulte que la forme littérale de chaque terme dans la fonction ^ sera
(44) {jj\*o6,*,6,*....6>ao^oa,^.a,^....a^^.
sous les conditions (26) et (43).
Cela seul nous suffit pour établir le théorème suivant, auquel nous voulions arriver :
Étant donnée une fonction symétriqus des racines de Véquation
a,x'^+ a.af"-' + a,«"»-2+am = , telle que
ou
la fonction des coefficients (aoaia^. ..a^, b^bip^, ••&»)* 9^^^' l^ ^^-^ présente t est homogène et de degré n^ far rapport aux coefficients (a)f homogène et de degré i par rapport aux coefficients (6), isobarique et de poids in par rapport à t ensemble des coefficients (a) et (b).
