PARTIE, ^ CHAPITRE IL — § I

fonction cherchée et définie ci-dessus. Mais à présent, toute fonction des coefficients, telle que R\ qu'on aura trouvée pour le résultat d'élimination par un procédé quelconque, coïncidera-t-elle avec R , ou n'en différera4-elle que par un facteur, fonction, lui aussi, des coefficients? C'est ce que nous allons examiner.

Il est d'abord évident qu'une résultante R' quelconque sera bien de la forme QR, Q étant une fonction des coefficients, qui pourra se réduire à l'unité. £n effet, comme nous l'avons déjà remarqué, dès que nous supposons une solution commune aux deux équations, R' et R doivent s'évanouir en même temps. Or, si R' était distinct de R, de manière à ne pas le contenir en facteur, on pourrait concevoir qu'on extraie de l'équation R'=0 la valeur d'un coefficient en fonction des autres, et qu'on la porte dans R; et comme, par hypothèse, R' et R ne fourniraient pas pour ce coefficient la même expression, la fonction R, après la substitution, ne serait *plus identiquement nulle, et, par conséquent, les deux équations proposées n'admettraient pas une solution commune, ce qui serait contraire à notre hypothèse.

Ce raisonnement ne souffrirait d'exception que lorsqu'on supposerait R décomposable en deux ou plusieurs facteurs, car alors R' et R pourraient s'annuler simultanément, sans que R' contienne R en facteur. Mais, comme M. Cauchy l'a démontré {Exercices d'analyse, 1. 1®', 1840), en supposant aux coefficients toute leur généralité, R ne peut être décomposable en facteurs, fonctions de ces mêmes coefficients.

Car, supposons pour le moment R = L.P, L et P étant deux fonctions des coefficients. Comme on doit avoir en même temps LP=: o^"6^'"n(ai— P^), il faudra que, en posant a»=Pj, Tune des deux fonctions, par exemple P, s'annule ; elle contiendra donc le facteur ^t — Pj- ^^^^ P» ^^^^1^ P^r hypothèse une fonction entière des coefficients, sera une fonction symétrique des racines (a) et (p), et, par conséquent, elle ne pourra être divisible par ot^ — pj, à moins de l'être par toutes les différences possibles des racines a et p , c'est-à-dire par toutes les mn différences a,- — ^j. C'est ce qui arriverait lorsqu'on admettrait des relations entre les racines ou, ce qui revient au même, entre les coefficients. Ainsi la résultante R= (a,— 6,)* des

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équations â9^+aiâ;+ a, =0, a^+b^w-^b^^srO, pour 01=64=0, peut bien se partager en deux facteurs L et P, égaux chacun à 0)— -6,, et P sera fonction symétrique des racines des équations, sans contenir forcément leurs 4 différences en facteurs. Cela s'eipliqu^ en observant qu'à cause des relations

a4 + a,=0, pj+p,==0, il vient a,— p,i=— (a,— p,), a,— .p,=:— (a,— pj,

et il suffit, par conséquent, que P soit le produit des deux différences pour qu'il soit divisible par toutes. Hais, en laissant les coefficients quelconques, on voit bien que P devra coïncider avec R. En restant donc dans cette hypothèse, R' sera nécessairement de la forme QR. La vraie condition donc qui annonce la coexistence ou la non-coexistence des équations proposées est l'équation R = 0. Nous sommes conduits par là à en considérer de plus près ses propriétés, comme nous ferons ci-après.

Nous avons dit que R, étant une fonction symétrique des racines, est une fonction entière des coefficients (a), (6). Voici la manière de le démontrer et d'en trouver même la forme. On voit d'abord, selon que l'on considère la fonction R partagée en lignes horizontales ou verticales, qu'elle est indifféremment susceptible des deux expressions suivantes :

Ces deux expressions rentrent dans le cas général contemplé par le théorème page 20, en y posant 2= m ou t=fi, et en choisissant convenablement les fonctions. Par suite donc de ce môme théorème, on obtiendra celui-ci :

La fonction R définie par f équation (5) est une fonction homogène et de degré n par rapport aux coefficients (a), homogène et de degré m par rapport aux coefficients (6), isobarique et de poids mn par rapport en même temps aux coefficients (a) et (6).

Par le théorème précédent nous possédons maintenant un critérium pouf juger si R' se réduit à R, ou s'il le contient en facteur. Car,

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puisque R doit être de degré m+n par rapport à rensemble dei ooef*ficients des deux équations, toutes les fois que R' ne sera pas de ce degré, il sera nécessairement de la forme QR, et le facteur Q se trouvera aisément en comparant les degrés et les poids de R' et de R; la question posée au d^ 2 se trouve résolue, et nous pouvons énoncer ce théorème :

Toute foneiion des coefficients âè degré m+n, résultante de Vélimi^ nation opérée sur les équations f et^^ par un procédé quelconquey ne pourra différer de R que par un facteur numérique^ etj par conséquent, elle pourra être prise pour cette même fonction R.

La considération seule de l'équation (5) nous offre encore un théorème relatif à la forme de la résultante, qui mérite d'être exposé ici :

J^fi supposant nz=:m, les termes de la fonction R, qui se déduisent les uns des autres par V échange des coefficients d^une équation avec ceux correspondants de Vautre {*) , ou par Véchange des coefficients équidistants des extrêmes appartenant à une même équation , auront les mêmes coefficients numériques, précédés du même signe ou de signe contraire^ suivant que m sera pair ou impair.

Il s'ensuit que quand m sera pair, un même coefficient pourra multiplier quatre termes, tous de même signe , et deux positifs et deux négatifs, lorsque m sera impair. Cela ressortira mieux dans les exemples que nous donnerons plus tard.

Démonstration. Changeons a en ^^ et réciproquement, ce qui équivaut à permuter dans les équations proposées, les coefficients correspondant ensemble; la différence a^ — p^, qui entre dans l'expression (5) de R, deviendra p^ — a,=== — (a^ — Pj), Par cet échange, chaque différence qui entre dans R sera multipliée par — 1, et R

acquerra le facteur ( — i)^*. Pareillement, changeons a, p en -, -

respectivement, ce qui équivaut à changer entre eux les coefficients équidistants des extrêmes dans les proposées, la différence Oj— -^^ se

changera en ^"" ^'^ ; et comme aj^bj^^se changera en a^b^, la résul-

(*) Nous entendons par coefficients correspondants ceux qui, dans les deux équations, affectent la même puissance de x.

tante R acquerra de même le facteur ( — l)*^*. Ainsi, dans les deux cas, R deviendra ±R, suivant que m sera pair ou impair.

On peut déjà se servir de ces deux théorèmes pour écrire facilement la forme littérale de la résultante.

Supposons, en effet, qu'on ait écrit sur une première ligne A tous les facteurs en (a) de poids p ; on trouvera tous les autres du poids complémentaire g = m^ — jp, en changeant dans les premiers le coefficient quelconque a,- dans son symétrique a^^i^ et puis en changeant les coefficients ainsi obtenus dans ceux correspondants en (6) ; on formera ainsi une seconde ligne B contenant tous les facteurs en {b) de poids g. Il est évident que les produits de ces deux lignes fourniront autant de termes de la résultante. Maintenant, si dans ces deux lignes on change respectivement les coefficients (a) dans leurs correspondants (6), et réciproquement, on obtiendra deux nouvelles lignes B' et A', la première en (6) de poids j), et l'autre en (a) de poids q, qui, multipliées ensemble , fourniront tout^les termes de la résultante de poids p en (6). Les deux premières lignes A et B pourraient occuper les deux côtés contigus d'un tableau, et les deux autres A', B', les deux autres côtés; et en supposant le tableau divisé en autant de lignes et de colonnes que de termes de poids p, les petits carreaux correspondant au produit de deux facteurs (a) et (b) pourraient être remplis par les coefficients numériques respectifs, déterminés ou à déterminer. Alors la résultante se trouverait écrite d'une manière bien abrégée et sous la forme d'une série des tableaux, dont il ne resterait plus qu'à calculer les coefficients. Supposons, par exemple, m = 3, m = 4. On trouvera, dans le premier cas, pour les termes du jioids 4 en (a) et (6) :

bi*

A bpb^h^ 6|»6s b^bi* ^

Mi^s

a^a^^ afa^ a^/i^aj^

bo%

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