I« PARTIE. — CHAPITRE II. — § II

où les coefficients supérieurs se rapportent aux produits des lignes contiguës au sommet A, et les coefficients inférieurs à ceux des lignes contiguës au sommet D. On remarquera alors que, d'après le théo«rème (page 27), dans le cas de m=3, les coefficients sont de même signe ou de signe contraire, suivant qu'ils sont symétriquement placés par rapport aux diagonales AD ou BC; tandis que pour m=:4 ils sont tous de même signe.

Mieux éclairés à présent sur la nature de la résultante, nous pourrons en toute sûreté passer en revue les différentes méthodes qui ont été proposées pour la trouver.

Bzpotîtion de différentes méthodes d'élîiniDatîoB fondées sar Temploi des fonctions symétriques des racines.

1. La première méthode qui naturellement se présente pour calculer R, dont l'expression peut se mettre sous les deux formes :

R=ao«(6oa,''+6ia,''-' + Mi''~'. -. + &„),

ou

consiste à faire précisément Tun de ces deux produits, et à calculer ensuite, en fonction des coefficients de ^ ou de ^, les diverses fonctions symétriques des racines dont les formes générales seront

2«.Pa,%3^.., ou 2Pi'P>'p3''..M

et que nous avons appris à calculer dans le chapitre P*".

Mais cette méthode est extrêmement laborieuse, et il faut voir, dans Y Analyse des lignes courbes par Cramer, quels pénibles efforts elle a

coûté à ce géomètre ^our arriver à déterminer de cette manière la fonction R, pour les cas même les plas simples. S'il avait connu les formules et les théorèmes du chapitre P', ses calculs auraient été déjà de beaucoup simpli6és. Malgré, cependant, les avantages qu'on pourrait tirer maintenant de tout ce que nous avons dit dans ce chapitre, des simplifications plus importantes et propres à la nature de la fonction R ont été proposées par les géomètres, de manière à consli** tuer pour ainsi dire de nouvelles méthodes.

2. Méthode logarithmique de Lagrange. Soient «|, $^2^ «-s >••• les sommes des puissances 1, 2, 3..., des racines réciproques de Vé^ quation ç=:0;et<ri, Cj, «Tg,... celles des puissances 1, 2, 3,... des raqines de l'équation 4^ = 0, et posons

On aura

pourvu que dans les opérations indiquées on néglige les termes dont les dimensions dépasseraient les nombres m ou n, par rapport aux coefficients des équations ^ ou <f.

Il est évident qu'en changeant f en ^, et viae versa, on aura une autre ei^pression de r, qui conduira aussi au même résultat.

La formule (4) se démontre aisément en observant qu'on a, d'après l'équation (5) du paragraphe précédent :

log R= log a^h^+ n log a^a, . . . a*« ,

+ log(l-g+lo6(l-^)4-...+log(l-^),

+ log(l-|)+log(l^)+...+l.g(.-^).

logR = logo."* ■+i;p-2i+ï2P'2?+-

ou