IN PARTIE. — CHAPITRE II. ~§ II

Cherchons, par exemple, la régultante des deux équations

aa* + 6a;+c=:0, aV-f-6'a;+c'=0.

On aura

et, par la formule ci-dessus,

*; ff ,S î— î ff4«-4 + S.»«*«-2

dont les quatre derniers termes fourniront à chacun un terme utile seulement. On arrivera ainsi, toute réduction faite, h Texpression connue

(5) R= {ac — ac)^— (afe — a'b) {bc'—b'c).

5, Méthode de M. Cauchy. Soient Sj, 5,, s^,.., et «"i, «"j, «ys»-*les sommes des puissances semblables des racines des équations f = et ^ ::= 0. Posons

00, sous forme symbolique^

êi=L{e — 0-)% en supposant j^=(r=rl.

On aura, sous la forme de déterminant,

Si 1 . .

^1 iS| ^1 o • •

S4 Sj Sj S^. i

(7) 1.2.3...(wn— *l)mnR=

Smii-i S|n,i^ S^-3 S«„4...S| mil— 1

En effet, R peut être considéré comme le dernier terme de Téqua*

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lion aux difTérences tles racines a et p. Hais on sait exprimer un coeflicient quelconque au moyen des sommes des puissances semblables (voir la note, page 2), au moyen de cette formule.

Ainsi, la résultante R peut s'exprimer en fonction des sommes des puissances semblables des différences a — p, dont le type est

La formule (25), page 9, pourrait encore nous servir, et l'on aurait

En mettant pour les fonctions S leurs valeurs fournies par la (6) , R prendra la forme

(8) R=2c«i^' 8,^^8,K. .5 J^-« <7,*.<r3*.. . .cr^/-,

C étant un coefficient numérique variable d'un terme à Tautre, et les exposants (A), (A:) étant soumis aux conditions

^ ^ \K+k,+ 2{h,+k,)...+mn{h„^+k„Ji)=mn;

d'où il suit que la résultante est homogène et de degré mw, isobariqt^e e£ de poids mn par rapport aux sommes s et <r.

Les calculs cependant qu'exigent ces méthodes, quoique le quatrième théorème (page 10) nous fournisse maintenant le moyen de dégager de ces formules tous les termes inutiles; seront encore bien laborieux.

Il importe donc de voir comment on peut se passer des fonctions symétriques. Ce sera l'objet des paragraphes suivants.

SIlL

. Méthodes d'élimination ^ par letqueUet la reoherohe de la résultante est réduite 4 trouver oeUe d'un système d'équations linéaires.

1. La méthode que nous allons d'abord exposer est celle qu'Ëuler et Bezout ont donnée les premiers. Soient, comme avant,

(2) i^=:6oaî"-l-6i^"-' + M"^' + 63^^' + ..- + 6n = 0,

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