I" PARTIE. —CHAPITRE II. — § III

les àenx équations entre lesquelles on doit éliminer la variable x. Multiplions la première par un polynôme de la forme

(3) *=Ao«"-^+A,x«-^+...+A„., , et la seconde par un autre en x de la forme

(4) V=Boai«-^+BiiC'»-^+B,af«-^+...+B^., ,

et composons la fonction *y+^i|;, dont le degré seram+n— 1. Cette fonction, pour une racine x commune à 9 et à <{/, s'évanouira en même temps que les deux fonctions proposées. Or, puisque parmi les coefficients (Ao, A^, A,, ..., A„i; Bo, B^, Bj, ..., B^^i) il y en a w+n — 1 arbitraires, on pourra s'en servir pour annuler tous les coefficients des m+n — 1 puissances dex dans cette nouvelle fonction. Mais la fonction des coefficients, qui restera avec le dernier terme en x^y conservera encore la propriété de s'évanouir avec y et i{/ ; si donc elle est de degré m+n, ce sera bien notre résultante dépourvue de tout facteur étranger.

Or, en général, le coefficient de ic*""^""*""*, dans la fonction

' *9+^^ = (Aoaî«-'+A,aî''~^+...+Aiaj«-*-*+,..+An-t) + (Boa?"-^+B,aî«-2+...+B^aî'"-*-^+... + B„^i)

sera

,gx ( AoaiH-AiA,|+A,a,-.2+...+Aiao

l +Bo&r4-Bi6<.,+B,6>;-H...H-B^6o- En faisant donc varier i depuis jusqu'à m + n—-l, on aura les w+n — 1 équations

fK% +B060 =^

AoO.+A.ao +BA+B,6o =0

Ap0,4-A,a, 4-A,ao +Bo6.+B,6, +B,6o =0

|Aoa,4-A,a. +A.o, +A,ao +8065+8,6, +B,6.+B,ôo =^

I AoaH-A,a<«i+A,ai-j+ . . . +Bo6H-B,6<-.i+B,6<-8+ . . . =0

An-lOm+An-iOm-i +Bm~t6„+B«-i6n-i=0

An-lOm +B«-t6; =0

Oq» m*^n éqaatiODs peuvent être supposéeift conteDir le» 1^-4*^^ in-^ connues (AoAj, ...* A,„î B„Bi» #4.^8^)* Par suitp, à l'aide d'un théorème connu, la fonctipn restante cherchée $^T9^ le «déterminant

Oo 0. . . jto Q 0. . .", ft P