OO

Of i a,ï

et comme il est évidemtttênt de degré m+n, il représentera bteti la résultante en question.

En faisant faire à ce détertfiinaint un demi-tour et en lé retournant ÈetiÉ dessus dessdtts, on voit que cette résultante est identique à celle fournie par le déterminant suivant :

«1 o, a, Om-i «m

«o «1 «« ««-2 Om-1 dm 6

Q Oo a,., k * . . . (?»-« o^-a o«-i o* 0. ?

Oo« • ? • • • • ^»»-4 «m-» f?m-a Om-1 am •..••..

a^ o, é, o, «4. . . Om-a Om~l «m

6o 6, 6... .' 6„-i bn 0. . .

6«. . . 6*.! tn-à 6,.-.i en 0. . .

dont la loi de formatio{) est pins facile et pourrait se formuler aiqsi : 1** Écrivez n suites des coegjicienls de Véqiiatiçdfi de degré rn, l\nç au-dessous de Vautre, en avançant chaque suite d'un rang à droite; 2° après ces n smlêê, et vis-à-vis de la première suite, écrtui m suites des coefficients de V équation de degré n, Vune au-dessous de Vautre, en hs avançant pareillement à droite d'un rang; 3° remplissez toutes

!•• PARTIE. — CHAPITRE H. — § ffl. S6

U$ placée vide$ pat des ziro$; Vensemhle des lignes constituera le dé' tërminani ehercké.

Pour filer les idées, supposons mssi, n = 3, on aura :

ft.

qui sera une fonction de troisième degré par rapport aux coefficients (a) et de qa^trième degré par rapport aqx coefficient^ (6), çoname cela devait; être.

2* Observons maintenant que si l'on avait éliminé des équatipqs suivantes :

X'^^'ff — O

les m+n puissances de x,

afH^-i^. aB»H-»-î^ «»+?i-3^ ..,

en les considérant comme des inconnues, on aurait obtenu précisément la résultante sous la forme (8). Ces équations, en effet, subsistent en môme temps que les proposées, et dès que Ton suppose à

celles-ci une racine commune, il faut, pour qu'elles coexistent sans que X s'annule, que le résultat de Télimination des puissances x^, x\ x^, •.., af^^"^, considérées comme des inconnues, s'annule. En les multipliant d'ailleurs par des constantes arbitraires Ao, A^, etc., et en les ajoutant sous la condition que ces constantes annulent les coefficients des puissances diverses de x, on reproduira les équations (6).

Le procédé d'élimination fondé sur les équations (9) et donné par M. Sylvester n'est ainsi qu'une transformation, et comme un retournement de la méthode d'Euler. Mais l'avantage de ce procédé, c'est de pouvoir s'appliquer avec plus de facilité à un nombre plus grand d'équations à plusieurs inconnues, comme on verra dans la suite.

3. Voici encore une méthode propre à fournir les conditions pour que les deux équations proposées ^ et ({/ aient une ou plusieurs racines communes. Supposons qu'il ne s'agisse, pour le moment, que d'une seule racine et, et posons n=:m. Il faudra évidemment que l'on ait

(10) ? = (a!-<x)(p,a;'»-'+PiX«-»+...+p™0,

et alors, en éliminant le facteur x — a, il viendra l'équation

(o,af+a.a!"'-'+a^-«4-...+o„.)(g.a^'+î,'»-»+...+g^,) =(&oa^+M'"-'+ . . .+6m) (Po^!^* +l»ia!'»-'+ ...+Pm-i) ,

qui, devant être identique, fournira les équations de condition

(12) / 0=:gfoa,+giOt+5foO,~|)o&j— pi6i— pft6,.

Par suite, l'élimination des quantité (p) et (j) conduira à un déterminant de la forme

;i" PARTIE.— CHAPITRE IL — § III.

a.— Om-jam-iOm

fet...*m-a&m-i*»i

«i---am-sa»»-a«m-

...fto Ôt 6,

plus mnémonique en quelque sorte que les précédents, et qui sera la résultante cherchée.

4. C'est à l'aide de ces méthodes que j'ai calculé les résultantes Jes équations

( ax^+bx^+cx+d=0,

ax^+bx^+cx^+dx-{-e=:0, px^+qx^+rx^+sx + t=2 0,

que je rapporterai ici telles que je les ai données dans les Annale$ de Toriolini. En les appelant respectivement R,, R4, on a

+ c^ph — r*a^d+a^CTi^s — c^dp^r+c^dp^q — a^brs^

+ aVqs*— bd*pq*+ 3 {ad^p^s — a^dps*) + bcdpqr — ahcqrs

+ acdpqs — abdprs+l{abdqf — bâpqs-^-Vcprs — acdq^r)

+ 2(acdpr* — ac*prs+ b^dpqs — abdqh)

+ 3{abcps^ — ad^pqr+a^dqrs — bcdp^s).

R4=6a*cy<*+10aè«fep?s<+4ac*epr«f

aH'+p'e'

ahcd qrst-^ bcdepqrs

o'cVf»+cV/>V

acd'prs^-\- l^ceq*rt

a(*eq*s*-\-Vd*prH

a'^r*+cy^

abd eqr's + b^dpqst

a*bst''+deYq

a*cd qrt* + hce*p*rs

adeYqt-^a*bepst*

THÉORIE GÉ1HÉRAI£ M L'ÈMMINATION.

ab*d qs*t-\- h^epqh —2

ahd egV4- b^d^p qst —2

a*bcr$t*-\-çde*p^qr 4-3

a^bdqsl^-^bde^p^qs — *

ac*dqr*t-i-bc*epr^s 4-4

abdeprs*-i'b*cepqst +i

b*eps'+ ad*qH —4

ab*eps't-\'ad*epq*t — 4

abdeq''rt-{~acd^pqsl — 4

ace^p'rt 4- a*ceprt* 4- 5

abd}q*st-+pqs*b*de — 8 ac*eprs*+ b^cepi^t

a*crt*-{^ce^p\ a&e<frt''\-acij^pi'i

a*dql*+beYs

aVq*rt+aod^p*t''

aV/)rs*4-è'«p'f*

a^epû+aé'pH

à'é'qr^s+bc^dpH*

a<?epH*+(^»*pr*t

a*depqt*+abé'p*st

abceprst+ acdepqrt

a*e^p qst-\- ahd ep*Û

a*b*rt*+ aWe+dVp*r+ceyf aW+ dye+ b*pt*+aeY a*bdrs*t-+- cd^ep*qs 4- ab*cqst*+ bde*pq*r ab*dpst* + a^bcqsU-hbd'ep'qt 4- ade*pf9 b*c*prl*+a*iser*s*-\-àd^p*rt -hact^qV ac\H*-i- bVpr*-h a*d*r*t-\-p*sYt abd*prst+ acdpq^+abc eq*st+ b*dep qrt ac*dpqt*-\- abe*pr's+ a*de qT^t-\- bc*ep*st b*dps*t+ a^eq*s+ab*€qs''+bdyq*t a*dsH 4- iPep*s-\-ab''qt* 4- be'pq* a*beri*+cdyqt+ b''cpsi*+ adt^q'r ebc*qrt*+ bc^pqr*+ a*cdi*st+ t^dep*rs abd^qr*t~\-bc'epqs*+ a<fdq*$t+ b*depr*s abce qrs* 4- bcd^pqrt + b*cdp rst-\-acd eq*rs a*derh-\- cHp*st+ bc'pqt*-i-ahe*qr' a*er*t*+ c*eYt+ a*c*pt''+ œyr* a*cd qs*t+ bd^ep*rs 4- ab*d qrt* + bce*pq*s a*cepsH+ ad^ep*rt 4- ab*eprt*+ ace*pq't a*deprst+ acdpp*st+ aJbcepqt*+abe*pqrt abceqf*t+b<fepqrt+ ac^dprst+ acdepi^s

|I'* PARTIE. — CHAPITRE 11. — § nf. 39

—2 (fbdr't^^aV^p^qs+aVqsf+bdeyr^

—2 cn^ôerH+c^ep^H+ac^prt^+àce^pr^

—2 a^ceqs^-^- b(Pp^t+ b^dprt^+ ace^qh

+3 a^ârsl^^ cdcy*4- oPhcqt^-^ be^qr

+3 (fber^st -h (?dep^qt + ab(^psi^+ ad^pqr"

+3 (fé^ps't+a(Pepl's'+ab*eq^^+bVpqU

+3 abeeps^-i-ad^pqrt+h^eprsi+acâeqH