P<+.Q<— PA

Or, (17) P.-H,Qr-PiQ*^-.=?i<+.;i,{(f^^,)(Oi)— (P()(Qi*,)}; et des équations

(R,) = (P,)P+(Q<)Q, (iW.)^(P.+,)P-+'(ÇW,)0, OQ tire

(Ri4..)(Qi)-(R0(Qm)=«P{{P^M)(Q0-(P«)(Ûm)H.

par suite, en ayant égard aux (J6) et (17),

Pour trouver donc -- — , il suffira de comparer les termes des plus hautes dimensions dans les deux membres; et comme la partie

(Ri)(Qi+,) seulement est de m^^^ degré, il s'ensuit qu'en appelant C< les coefficients de ix^ dans (Rt)(QjH-j), il viendra

-J SL- — r

Comparons maintenant, au moyen des formules générales (8) et (9) les coefficients 3^o ^^ Q«4-i ^1^ po de Rj; on verra qu'en changeant t en t+1 dans la (9) et en y prenant (^o)» <>" obtient un déterminant qui est égal au déterminant (10) pour /=:0, multiplié par ao* Donc Ci= (po)'ao ; donc

(9oW

OÙ nous avons ajouté l'indice (i) pour distinguer ce premier coefficient de Ki de celui des autres restes. De cette équation on déduit aisément la valeur cherchée de X«-, à savoir :

Exemple. On a évidemment >o=l> ^t puisque Ro=û, il vient X,>i=:Xi=:r-î; ainsi, le vrai reste Rj, par exemple, sera

Ri=rï(''»)=rîi

Oo b.

Oi by

aî^-^H-...

ce qui se vérifie immédiatement.

La formule (20), à laquelle nous sommes arrivés, nous montre que dans l'application du théorème de Sturm à la recherche du nombre des racines réelles, il est inutile de considérer les vrais restes R^, puisque les autres (R), dont les expressions sont si facilement fournies par notre formule (11), n'en diffèrent que par des facteurs toujours positifs.