IX

Sor les relatîoDS entre les éléments X.

Nous avons vu (page 54) qu'entre les quantités A il existe la relation X„ = ^^^. Mais il doit évidemment y en avoir d'autres, car le nombre de ces éléments, en comptant seulement ceux qui sont différents, est — Y~' ^* ^'^ "® dépendent que de 2m + 2 coefficients. Le nombre donc de ces relations parait être, au premier abord,

^1"^ — 2m — 2 = ^^^^^^— 1. Mais il faut le diminuer de trois: 2 2 '

car la quantité afig — aj)j. ne change pas si l'on y substitue pa^+î&r» paf+ qby , au lieu. de a,,, 6^ (en admettant toutefois que les constantes p, j, p, q soient assujetties à la condition pq — Pî=l). D'où Ton voit que l'on peut disposer à volonté de trois des coefficients a„ 6„ a,, bg, sans que la valeur de X soit altérée. Donc les 2fH-2 coefficients donnés se réduisent à 2n — iy puisque troj^ d'entre qux peuvent topjours être pris arbitrairement. Par conséquent, le nombre des relations

se réduira aussi à 7" — h2 = i ^ . Parmi ces relations,

on peut compter celles fournies par les équations (14) et (15) de la page 73, mais il y en a de plus simples.

Si l'on compare entre elles les valeurs qu'on tire de la formule (5) (S VI) pour X^.1,5 et X;.,^-.,, on obtient

ou bien, en posant ajbg — aA=(<ïA)>

l^ PARTIE. —CHAPITRE IL — § IX. 67

Or, par la théorie des déterminants, on sait que (*)

(aA) {aubv) + {aA){(irbs) + (aA) («A) =0.

Par suite, en ayant égard à la relation \sZ=z\g^ et à la (1), on • obtient

où, suivant une notation connue, les déterminants, on entend par le r s

symbole X

le déterminant ^rr'^,,-

'Ks'^srf- On aura donc là un

type d'autant de relations entre les éléments 1 qu'il y a de combinaisons distinctes des quatre indices r, $, u, v.

Posons successivement r==0, r = in, et observons que les termes avec les indices — 1 et m ne peuvent pas exister; il viendra

wt — 1 s — 1

M. Jacobi, à qui l'on doit ces relations, a aussi démontré {Journal de Cr elle, tome XV) la suivante, à laquelle nous nous arrêterons et que nous nous contenterons d'indiquer :

r-fl /'-+-!. ..r^^-^^)

(r, r'...r^"""*^) et (s', 5"^""^^) étant les nombres choisis respectivement pour les nombres 1,2, 3, ..., m — 2 et 1, 2, 3, ..., m — l.En se rappelant le sens de ces notations, on s'apercevra aisément que les fonctions indiquées dans les deux membres sont des déterminants formés avec les éléments A affectés de certains indices particuliers.

(*) Oa peut consulter à ce su|et une note que j'ai insérée dans le Journal de UowriUe,

is/