CHAPITRE III

PROPRIÉTÉS ET EMPLOI DE LA RÉSULTANTE DANS LA REGHERGflE DES RACINES COMMUNES.

SI

Propriétés de la résultanU.

Première propriété. Si V équation (f[x) est de la forme (f{x)=^ Gi{x)9z{x)9^{x)...y on aura

^i« ^29 ^3 désignant les résultantes des éqwitions

/ ( 0i(^)=o, f e,{x)=o, [ e,{x)-o, /ô l Ho^)=o, [ ^{x)=/(, \ ^{x)=o.

Il suffit, en effets de se rappeler qu'on a

^=<f{x,)(f{x^)(f{x,)...(f{Xn).

Xi^x^y ...y Xn étant les racines de l'équation 4;=0. Or, en remplaçant (f{x) par le produit des fonctions 9, dans lesquelles nous la supposons décomposable, on aura

h=2ei{Xi)ei{x^)...e,{xn).

^MO^{x^)...B^{Xn),

Mais 9i{Xi)ei{Xi)...ei{Xn) n'est autre chose que la résultante Ô,- des équations 9^ et vp ; donc

On concevra aisément ce qu'il arriverait si ç et ij/ étaient décomposables en même temps en facteurs.

Deuxième propreté. La résultante R de deux équations quelcon-