PARTIE. ~ CHAPITRE III.— § I

ques de degré m et n^ telles que les cfet^ (page'^)^ satisfait à Véqua^ \7ji tian aux dérivées partielles :

ÎdR , , .V dR , , w^N ^R . ' ^'R

Pour ia démontrer, rappelons-nous qu'on a

Rizia^'^Cai— Pi)(«,— Pi)(«3~Pi)-.(am— Pi) ^

Or, si dans les équations proposées on posait x=^x'+h, la résultante R ne changerait pas, car la constante h disparaîtrait dans les différences deux à deux des racines. Appelons donc

■^0» "^1» -^î» •••♦ "^mî "0» ^1' 2' •••> w

les coefficients des nouvelles équations en x% dont les valeurs seront Al = ai 4-ma^ft,

A3=a3+(m— 2)a,fc+^ 1^ -^1^+ ^^^5 ^a.^S

Bi = 6i+n&,ft,

B3 = &3+(«— 2)6,ft+^ ^^1 -ftife + 1,2.5 ^*'

et supposons qu'on ait

(4) R=F(ao, ai, a,, ..., a^, 6o> *n ^21 M'

La nouvelle résaitante R' sera (5) R'=F(A9, Aj, Aj, ..., Ato, B,, Bj, Bj, .,., B„),

oa encore

^ ^ (fc.+^&o, *i4-^fci, ^+^6,, ..., 6„=+<î6j'

en désignant par da^, dai^ ...^ db^ , (^6^, ..., les accroissements Ao — ^0» ^t — ^1» "M A„, — a^f^, Bp — 6o, Bj — è^, ..., B„ — J„,

qui résultent des égalités (3). En développant alors R' suivant le théo^ rème de Taylor étendu à plusieurs variables, on aura

Mais R' doit coïncider avec R ; h d'ailleurs est quelconque ; donc tous les coefficients des diverses puissances de h, et en particulier celui de la première, devront s'annuler; ce qu'il fallait démontrer.

Supposons donc que la forme littérale de la résultante R soit connue, ce qui sera facile à l'aide du théorème donné dans le n® 4 du § 2 joint à la remarque qui suit, et qu'on représente les coefficients numériques par des coefficients indéterminés A, B, C, D, ... En substituant cette expression de R dans l'équation (1), le résultat devra être identiquement nul ; par conséquent, tous les coefficients des nouveaux termes qui se formeront devront se réduire à zéro, et fourniront ainsi autant d'équations de condition, par lesquelles on assignera la valeur'de Coefficients indéterminés A, B, C, D, ...

Soient, par exemple, les équations

b^x^+b^x+b^=iO;

la forme littérale de leur résultante sera

A{aX'+(^'K) + H(^oa,bA+<^i(iAbi) + C{a,a.b,'+a,^h,b^)+ï)aoa^b^b^ ,