I" PARTIE. — CHAPITRE III. — § L

et réquation aux dérivées partielles (1) deviendra

dont on tirera les éqnatîons de condition

et comme un des coefficients peut toujours être pris arbitrairement, il s'ensuit, en prenant A=l, que

B=l, C=l, D=— 2, et alors la résultante sera

(aofta— aA)*— («0*1— ai&o)(tfi*î— ûtti)- Troisième propriété. En appelant x la valeuar commune aux deux équations proposées, on aura

l vx*x'^x'' •^^'«••iL-.iîL--^ • ^^

^ ' I 4. • «. 3. . « .<^ft . <*R . «'R . . àh.

( ^-^-^ -^ ^ --dô»- d6n-i' rf6»~î <<6o'

Supposons, en effet, que les coefficients a/, ûp reçoivent les accroissements dai, ^Op, les proposées admettront encore une relation commune, si Ton a

<îa^"»"'+ iajfltiT'^ — ;

et comme dans ce cas la résultante doit encore s'annuler, il faudra que Ton ait aussi

ces deux équations nous fournissent immédiatement la proportion

laquelle continuera à subsister lorsqu'on changera a en 6* De là, le passage aux proportions (8) est de soi-même évident.

Corollaire 1. De la proportion (9) et de son analogue en b on déduit la suivante :

fin\ rfR.^.,cm.rfR

^^"/ da/ * dap^'dbr dbp

n THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION.

Corollaire 2. Puisque Ton a a?^a?P=a?P"*"^ il s'ensuit que . . dR dK dR dR

^ ' dam ' dam-p^i dutn-p * dam^i

et le premier membre, d'après ce que nous avons dit au § I, chapitre II, devra être divisible par R. Ainsi, pour m = 2 il viendra

Corollaire 3. Remplaçons dans Téquation i{/ les puissances de x par les dérivées de R prises par rapport aux coefGcients de f qui leur sont proportionnelles, il viendra

,, rfR . , ^R . L dR . , dR

^datn^ *da«-n+i *rfam-n-fi da„

Cette équation a lieu dès que Ton suppose une racine commune aux deux équations proposées; elle devrait donc s'évanouir avec R. Mais elle n'est pas divisible par R, car elle est de degré n — 1 seulement par rapport aux coefficients a ; donc elle doit s'annuler identiquement. Supposons, par exemple, m=n, on aura les deux équations identiques

dR . dR dR dR

, dR . , dR , dR , dR ^

*od^,+*^ds:+**d^+-+*-d^=o-

Quatrième propriété. En appelant x la valeur commune aux deux équations proposées (1) page 53, on aura

(i<2'\ l^r'r** «ym->i.. dR , dR , dR dR

aV,m-l aAr,m-8 «V,m-3 d>r,0

1 étant les éléments du déterminant (4) page 53.

Si, en effet, dans les équations qui suivent dans la même page, on supprime la ligne r, on pourra, avec les m~ 1 équations restantes, tirer les valeurs des m — 1 quantités ^~"*, x^"^, ..., x^, considérées comme des inconnues. Il viendra alors, par des théorèmes connus,

et de là la proportion énoncée*

I" PARTIE. — CHAPITRE IIÏ. — § I. 73

la relation (13) deviendra On aara pareillement

Hais si, au Heu de la ligne r, on avait supprimé la ligne t\ on aurait obtenu

De ces relations on tire

a ou = — — :

par conséquent, tbutes les fois que r +5=r+5', il faudra que

Ainsi, toutes les quantités A, dont les indices forment une somme égale, sont égales entre elles. C'est pour cela que nous avons écrit dans le § YIII les équations (4) composées avec les éléments A sous la forme (5).

Corollaire. On déduit des relations (9) et (13) la suivante :

(15) rfR , dK .. dR ,dR

CiNQun^ME PROPRIÉTÉ. La résultante satisfait à l'équation aux dé-rivées partielles

r étant un des nombres quelconques 1, 2, 3, ..., m — ^^1.

En effet, si dans une des équations (3) (§ VI), dont le type général est '^

dR on substitue, d'après la propriété (9)i -^^ au lieu de x'^^^ on aura

Le premier membre de cette équation constitue une fonction des coefficients de deux équations proposées ç et ^, qui doit s'évanouir en même temps que la résultante R, et la contenir, par conséquent, en facteur. (Voir page 25.)

On aura donc

q étant un facteur à déterminer. Hais q est évidemment de la forme

où q' désigne un coefficient numérique. Car le premier membre est de degré 2m+l par rapport aux coefficients 6, et de degré 2m seulement par rapport aux coefficients a; d'ailleurs, le poids est

D'autre part , le second membre contient la fonction R qui est de degré 2m et de poids m*; ainsi, q ne pourra pas différer de la forme indiquée.

Que l'on se^reporte ensuite à l'équation (5) du § VI, et Ton verra que le coefficient 6, figurera dans le premier membre (18) autant de fois que l'on fait varier l'indice s, à cause de la présence de 6,. dans la seconde ligne, moins tous les 6,. qu'on trouvera dans la première en faisant varier 5 de à r — 1. Donc ç'=m — r. On est redevable à M. Brioschi de ce beau théorème ; mais on trouvera peut-être sa démonstration moins simple que celle-ci* (Voir le Journal de Crelle, tome LUI.)

Corollaire 1. Changeons a en 6 et réciproquement, on aura

(19) 2^S;=("»— -Hï^-

' Corollaire 2. En supposant que Ton ait écrit les m équations qui

l^ PARTIE. — CHAPITRE ffl. — S I. ,76

régultent de la (16) par la variation de rindice r« od pourra en déduire la valeur d'une dérivée quelconque v-— par la méthode de la

résolution des équations linéaires à plusieurs inconnues. On aura ainsi, grâce à l'équation

dR \r^ . dR

qui aura lieu, d'après la théorie des déterminants, pour toutes les valeurs de r, r\ différentes entre elles, les deux équations qui suivent :

^ ' 1 dR ^ rfR ^/ 4\ dR . , dR

Corollaire 3. Au moyen de l'équatioti (13), les deux précédentes se transforment en celles-ci :

X désignant toujours la racine connue. De là, en changeant $ en 5 — 1, on tire la suivante :

à laquelle on serait aussi arrivé, si dans l'équation (1) , en posant

n=tn, on avait substitué, au lieu de j^^-jr^ 'çs expressions iden-

tiques -7-—rz^ -31- -zz:- Si dans cette équation (23) on fait successi-

vements=/, 5=p, et que l'on élimine le rapport <p'(a:;);^'(a;), on retombera sur l'équation (10).

Supposons que les équations ^ et t|/ soient mises sous la forme des fonctions homogènes à deux variables,

équations qui comprennent les (1), page 53, en y posant y = 1. On aura le théorème suivant.

Sixième propriété. La solution commune aux équations <p=0, ^=0 est aussi une solution de V équation (25) D^tp. Dy^— Dj^cp. D^^= 0.

En effet, on a, par un principe connu de la théorie des fonctions homogènes,

(xb^<f+yty<f=m(f=0, ^^^^ \xD^^+yDy^=n^ = 0.

Or, puisque les proposées s'annulent par hypothèse pour les valeurs de X, y, différentes de zéro, il faudra que le dénominateur commun de ces valeurs, ou le déterminant

s'annule. Ce qu'il fallait démontrer.

Appelons P ce déterminant, on obtiendra encore la propriété qui suit : Septième propriété. Si les proposées s'annulent par un système des variables x, y, les dérivées partielles de P, prises par rapport à chacune des variables, s'annuleront aussi.

On tire en effet des (26) les équations

aîP=m{9Dj,^— t^D^ç],

yP=zm{9D-,t{/— ^D^çl;

et en les différentiant successivement par rapport kxetky,on obtient

Or, si par hypothèse ^=^ = 0, Ton a encore, par le théorème précédent, P = 0; il faudra donc que

dx dy

P- PARTIE^ — CHAPITRE HL — § ï. 77

Application. Comme les dérivées —, —, dans le cas de m=3,

sont aussi de troisième degré, il s'ensuit que la résultante des équations (14) (page 37) pourra encore se mettre sous la forme

Pi q, r, s

2{aq — 6p), 3(ar — cg), as — dp+br — cq, bs — dq

ar — cp, as — dp+br — cq, 3{bs — dq), 2{cs — dr)

Huitième propriété. 5"* dans les équations proposées (f et ^j/, on substitue aux variables (x, y) de nouvelles variables (u, v) liées aux premières par des équations linéaires telles que

(27) i ''=rt'r'

( y=pu+qv,

la nouvelle résultante déduite des équations transformées sera égale à r ancienne multipliée par une puissance du déterminant pq' — p q de la substitution.

Mettons, en effet, les fonctions f et ^ sous la forme

(28) ç=ao(a5— «iy)(a?— a,j/).-.(^*— aiî/)...(a;— a^y) = 0,

(29) ^=6o(^— |3,y)(a;— I3,j/)...(aî— I3^)...(a?— |3,y);=0.

Par suite de la substitution (27)^ les facteurs quelconques deviendront respectivement

et les transformées * et W de 9 et 4* seront

Or, comme nous l'avons vu, la résultante R est le produit de toutes les différences ai— Py que l'on peut former avec les racines de ç et

de ^. D'ailleurs, cette différence quelconque des racines serait maintenant, pour les équations ^ et W,

En revenant, par conséquent, à Texpression de R donnée au n** 3 du § II, en y remplaçant a^ et b^ respectivement par aQ<f{p, p) et ^o^(p> p')» 1^ valeur delà nouvelle résultante R' sera

ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. Si dans çrcet ^x on remplace la variable x par , , ,

z étant une nouvelle variable, la résultante des nouvelles équations sera égale à celle des anciennes multipliée par une puissance du binôme pg'— p'j'.

Neuvième propriété. Soient

deux nouvelles fonctions liées linéairement quw fonctions données f et ^y leur résultante R^ sera égale à celle des fonctions (f et ^ multipliées par une puissance de pq' — p'q.

En effet, si dans l'expression (12) de ^ donnée au § VII, on remplace (p et vj; respectivement par ^ et W, on aura une nouvelle transformée qui sera

^■=(p,'-/,)['-MSt^]= (^.-p-,),.

Par conséquent, chaque élément de déterminant à déterminants binaires, qui exprime la résultante R seloq la ipétbode abrégée de Bezout, acquerra le facteur pg' — p'g, et la résultante elle-même le facteur {pq' — p'q)"^-

Corollaire. Lorsque (f et ^ sont respectivement les dérivées par rapport à a? et y d'une même fonction

f=a,x^+laiX^-^y+/^œ^-Y+...+a^i,

I" PARTIE. — CHAPITRE IIL — § I. 79

leur résaltante est naturellement une fonction des coefficients de f. Or, si dans fou fait la substitution

et que Ton appelle F la transformée de f^ la résultante fournie par les équations

dX — "• rfY — " sera égale à Fancienne R multipliée par (pç'^^p'ç)'^^"^*^-

Cela est facile à démontrer, en ayant recours au théorème précédent, et en remarquant qu'on a

Ainsi, pour toute fonction entière et homogène en x, y, il existe une fonction de ses coefficients qui a la propriété de se reproduire à un facteur près et indépendant de ces coefficients , lorsqu'on y remplace les variables par d'autres, liées linéairement aux premières.

Il est aisé de voir que dans le calcul actuel cette fonction n'est autre chose que le produit des carrés de toutes les différences entre les racines de Téquation donnée. Mais elle n'est pas la seule; car, comme M.f ayley Ta démontré, toute fonction entière et homogène en x, y admet une infinité de fonctions jouissant de la même propriété, dont cependant l — 2 seulement sont indépendantes entre elles.

Nous remarquerons en passant que les fonctions pour î=:4, î=5, telles que nous les envisageons actuellement, ont été déjà données au

S IV

Dixième propriété. Si dans les équations

on substitue pour x,^ des fonctions quelconques enHères et homogènes de u et de v,

x=G{u,v), y=H(ti. tj),

la résullante des équations transformées W et^ sera égale à celle de <f et de ^ multipliée par une puissance de la résultante des équations G(u, v)=0, H(ti, v)=0.

Démonstration. Faisons dans

?=ûo{^— «iy)(^— ««y) • • • (ic— «^!/)i

la substitution indiquée. Les équations transformées, $ et W, seront, en désignant par II la caractéristique d'un produit, 4»=aon[G(tt, i;)— aH(M, v)], W=6on[G(M, v)—^E{u,v)].

Or, ces équations admettront une solution commune dès qu'il y en aura une pour deux facteurs quelconques

G (m, v) — aH(u, t;) = 0, G(u, v) — PH(m, t;)=0,

c'est-à-dire, d'après le théorème précédent, dès que leur résultante

s'évanouira. Nous sous-entendons ici que Q désigne la résultante des équations G=0, H = 0, etç leur commun degré.

Autant donc il y aura de combinaisons de facteurs, autant il y aura d'expressions, telles que (a — |3)^Û, qui en s'annulant exprimeront la possibilité pour les équations $ et ^ d'avoir une solution commune. L'ensemble donc de ces conditions, à savoir

Qmni^g

sera la résultante cherchée, puisqu'il n'y aura pas cas de solutions qu'elle ne comprenne.

Exemple. Soient les équations

(f=ax^+ba>y+cy*, ^j; = aV+ bxy+c'y^, et transformons-les en d'autres * et ^ par les équations

x=2pu^+quv+n)*f y:=zp'u^+ q'uv + rV, la résultante de <E> et ^ sera [{aé-dcY^[aV'-dh){hc-Vc)]\[pr-r^^^^