PARTIE. — CHAPITRE III. - § II

Corollaire. Supposons que (p et «J/ soient les dérivées par rapport k X etk y d'une même fonction homogène f{x, y) :

La résultante de h^-U D^^.f sera une fonction des coefficients de f, dont une certaine puissance aura la propriété de se reproduire à un facteur prés, lorsque dans f on remplace les variables x, y par des fondions quelconques entières et homogènes d'autres variables a et v.

Telle sera, par exemple, la fonction

(ad— 6c)*— 4(ac— 6*) (fed— c*) correspondante à la fonction de x et de y,

ax^+3bx*y+3cxy^+dy\

Reolierolie de la solution commune.

1. Après avoir vu jusqu'à présent à quelle condition deux équations données admettent une solution commune, il est naturel de se demander : Quelle est cette solution? M. Abel, dans ses œuvres, et M. Liouville, dans son Journal de Mathématiques, ont donné divers procédés pour la trouver et pour déterminer même une fonction quelconque rationnelle de cette solution au moyen des coefficients des équations proposées. Mais ces procédés, quoique extrêmement ingénieux, sont bien loin d'être les plus simples, et il est à croire que la réponse la plus facile à cette question aurait été connue depuis longtemps, si l'on avait tenu un plus grand compte des procédés d'élimination d'Ëuler et de Bezout.

Il résulte, en effet, des propriétés deuxième et troisième que la valeur de x, propre à satisfaire en même temps aux deux proposées, sera donnée par Tune quelconque des trois équations

dK dR dK dK dK dK

*?* — — ^— — '~f /]/* _______ «■■■.— ^-■— 'IÇ — 1 ' ,

dam^p dOm-p^l * dbm^i dbm^i^i ^ dV,m-p d>r,ni-p-l

dont la dernière sera toujours préférable en pratique. Car, sans passer par le développement de la résultante, il suffira de calculer les deux

82 THÉORIE GÉNfRALE DE L'ÉLIMINATION.

déterminants conjugués à deux éléments consécutifs d'upç Mgn^ quelconque de déterminant (4) (p^gfi 53).

On peut obtenir très-^implçroent les deux première» éqwstioRS, en observant que lesi proposées seront encore satisfaites en cbang^iaDt (ap,p. ap-m+t)?,(&iîï-p> &»îi-p+i) respectivement en {ap,^fl+Ka«^p+i+^), (6„,^i— (AOî, 6p,-./-4+fi). Alors la résultante devient

R U M^ ^ ^^ ] I ^f ^R ^ ^^ ]|,etc,^0>

et puisque A, fx sont quelconques, il faudra que

dR dR ^ dR <^R A

Soient, par exemple, les équations

leur solution commune satisfera à une quelconque des trois équations

{aob,-aA)x'+[^lf;^^^^^^^ {a^ifs—a^b^)x*+{aib^—a^b^)x + {a^b^—a^b^) — 0, et, si elle e^ifiste, une de ses e^pre^sjqn^ ^er^i

(006,-0460) (a,6,~oA) — (ao6,— 0,60) (ao^,— «A)* 2. On peut, de reste, en ne connaissant que la résultante, trouver la solution commune. Soit, en effet, a cette sojution; remplaçoni^i Q^ qui est permis, les équations (p et ij^ par les suivaintes :

aç,x'^+a,x^'"+a^x'^-'^+... + am^^x+am+Ha}^oi)=0,

la résultante nouvelle devra encore s*annuler, puisque la première solution a en sera encore une pour les nouvelles équations. Par conséquent, (X sera une racine de la nouvelle résultante égalée à zéro, et pourra être toujours déterminée. Observons, en outre, qu'on pourra se servir des indéterminées lei [x pour simplifier les calculs.

Supposons, par exemple, qu'on ait à trouver la solution commiuBe («) aux deux équations suivantes :

Ir* PARTIE, ~ CHAPITRE HI. - § H, 83

aaî* + &B + c :;= ,

CeSj équations, mises sous la forjne

aa;' + 6a; + c + A (a:— «) = , aV+ 6'a?+ c + V(a5— «) s=: ,

fourniront la résultante

[ad-a'c-a[aX-a'l)Y-{aU'^dh+aX-(i\)[h^^ qui, en négligeant la partie

{ac'— a'cf^ {ab'—ab){bc — Uc), nécessairement nulle d'après notre hypothèse, et en posant

> = 6, r=b\ $^ déduira simplement à

{ah''^àb)a'^2{ac^ ac)g,,+be-rr-¥c.

En égalant cette expression à zéro, on obtiendra pour la valeur commune des racines

çon^i^e cela doit é^re. Si Ton avait^ au contraire, posé

on aurait eu immédiatement

bo' — b'o

ac — ac '

qui sera encore la wêçne solution, en vertu de Tévanouissement de la résultante.

On aurait pu obtenir ces valeurs bien plus simplçnrient; mais nous n'avons voulu, par cet exemple, qu'éclaircir la méthode.

Soit maintenant 9 une fonction rationnelle quelconque de la solution X commune aux deux équations cf et ^. Par un théorème connu, elle pourra toujours être ramenée à |a forme

les çoefGcients k étant des fonctions rationnelles des coefficients de 9 et de ceux des équations proposées (p et ^.

Par suite, à l'aide de l'équation (13) du paragraphe précédent, on aura l'équation

qui fera connaître la valeur cherchée de 6(x)*

4. Jusqu'à présent nous avons supposé que les équations f et ^ n'admettaient qu'une solution unique. Mais, s'il y en avait davantage, il faudrait, pour les trouver, recourir aux restes fournis par la méthode du plus grand commun diviseur, dont nous avons donné l'expression par la formule (11), page 50. Supposons^ par exemple, qu'il y ait l=m — i — 1 solutions; l'équation Rj=0, résolue par rapport à X, fera connaître les i solutions cherchées. Hais, pour que cela ait lieu, il faut évidemment que les coefBcients satisfassent à l équations de condition, car le reste R«-+| ne pourra s'annuler, indépendamment de toute valeur attribuée à a;, à moins que chacun de ces { coefficients ne se réduise à zéro. On comprend d'ailleurs qu'en divisant successivement les équations proposées par x moins les racines communes, on formera une suite d'équations de degré respectivement m, m — 1» ..., m — /+1, et, par conséquent, une suite de / résultantes ou conditions.

D'après un théorème de Lagrange, que nous démontrerons plus tard en le généralisant, ces conditions sont exprimées très-simplement par l'une des deux suites

' dam ^ da*m dan}-^

dbm, db*m daj-^

Arrivé à ce point, nous croyons avoir vidé toutes les questions générales que l'élimination entre deux équations à une variable pourrait soulever. Il se présenterait ici plusieurs applications analytiques et géométriques dignes d'intérêt. Mais , comme elles nous mèneraient trop au delà des borneâ de notre ouvrage, nous en resterons là, et nous passerons à traiter de rélimioation entre trois équations à deux variables.