CHAPITRE I

RECHERCHE ET PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES.

Formation et àegré de l'éqaation finale.

Afin d'abréger le discours et de mieax éclairer la pensée, nous appellerons dorénavant argument la partie qui, dans un terme d'une équation, contient les variables, de sorte qu'un terme sera le produit du coefficient par Vargument.

Cela posé, nous appelons équation canonique de degré m à deux variables celle qui, dans ces arguments, présente une somme d'exposants variable depuis jusqu'à m.

Soient afy^ Vargum^ent d'un terme, et r un nombre tel que

le coefficient de cet argument sera désigné par le symbole apgr (*). A la vérité, les deux indices j?, q suffiraient pour distinguer les coefficients; mais nous en ajouterons un troisième pour la symétrie et par analogie à l'équation homogène à trois variables :

dont celle que nous considérons n'est qu'un cas particulier dès qu'on suppose r=l.

(•) Souvent, pour abréger récriture, nous écrirons pgr..., œyz,.,y'AU lieu tiep,g, r, ..., «, y, X, ...

Il est bien évident que Téqtiation dont il s'agit^ ordonnée par rapport k xonh y, prendra les formes

(3) 2a<«»'-', ^a'ur-'^O,

a/, a / étant des polynômes complets respectivement en â; on y de degré L

Le nombre de ces termes oa des isoefBiîients Upgr sera le même qae celui des solutions en nombres entiers de l'équation (1), compris, c'est-à-dire

(4) pj«H:i^^

Considérons maintenant deux équations canoniques tp et ^ à deux variables, de degré m et n, que ftouâ désigttëk'ôtts bomme il suit :

(5) ç(^, y) =2s9^«^y^ * (^^ y)^^bpqr^=^ù. ^

La première question qui se présente, c^est de trouver un systèitie des valeurs de Xy y propre à les vérifier simultanément. Or, cfela n'oiïre pas de difficulté dès que Ton connaît la résultante dlàs deux équations de degré m à une variable.

Ordonnons, en effet, ces équations par rapport k xetay. On aura les systèmes

qui fourniront des résultantes de degré m+n et de poids mn par rapport aux coefficients a/, 6/ d'une part, et aux coefficients a'/, b\ de l'autre. La première deviendra ^ prtr conséquent, une fonction Y de y, la seconde X de x, dont le degré commun, par rapport aux variables X, y y sera mn. Car, à cause de l'équipollence, on a pour chaque terme des deux résultantes les conditions

(8) ^11 = 17111, ^lXz=:mn,

I^ PARTIE. — CHAPITRE I. -- § ï- 87

X, X étant les exposants dont les coefGcîents (a/, 5/), (a /, Vt) y sont respectivement aiïectés. Mais les degrés de ces coefficienls, Considérés comme des fotictions de y oU de x^ Soht égaux à leurs indices; donc les premiers membres des équations (8) expriment les degrés deS termes de chaque résultante pat rapport ft y oh à a;. Donc, puisque le degré de chaque terme est égal à son poids, ces résultantes elles* nàémes seront de d(sgré mn; et on pt^arra les mettre soâs ttl Tôirhie

(9) X=2akc"-'. Yic^Bir"'»

Avant d'aller pliis loin , il sera bon de nous arrêter un instant, pour voir comment Bezout arrive au même résultat par toute autre voie.

Posons d'abord ce lemme :

^ Le nomhre des termes qui, dans une équation (p(x, y) canonique de

degré m, soni divisibles par iP est , i^~P .1^"" >

Il est évident, en effet, qde si Ton met Téquatiort ç sous la forme d'une équation homogètie à trois variables è{x) y, 2), les termes divisibles par x^ constitueront, après avoir été dépouillés de ce facteur a:P^ une équation homogène à trois variables de degré m — p, laquelle

contient, comme on sait, — ^ ^-i — - termes.

Supposons donc que l'on veuille avoir la résultante Y. Multiplions l'équation (f[x, î^)=0 par une autre 9(a?, y) de degré i à coef6cient8 indéterminés; on obtiendra une équation produit 0(a?, y) de degré m+t. A l'aide de l'équation )^{x, y)=:0, éliminons toutes les puissances de X supérieures à la (n — ty^^^. Le nombre des termes qui figureront encore dans 0, après l'élimination des termes divisibles par x^f sera, en vertu du lemme précédent :

j^ (m4-^+i)(tn-4-e+2) (m4-t-n-4-1)(m4-^-n4-2)

Soit ihaifttetiant p le degré de la résultante Y qu'il s'agit de tl^uver; le nombre des termes compris dans Y sera p+l. Le nombre ^ donc des termes qu'il faudra détruire dahs l'équation 6, pour là réduire à la Y au moyen des coefficients indéterminés, sera N — p — 1.

Or, si au Heu d'éliminer les termes divisibles par af^ dans Téquation-produit 6, on les avait éliminés dans l'équation 5, le nombre des termes et, par conséquent, le nombre des coefficients arbitraires aurait été réduit à

{t-\'\)[t+% (^— n+<)(t— nH-2)

Mais comme un de ces coefficients peut toujours être pris à volonté, car rien n'empêche de multiplier la par une constante, le nombre des coefficients indéterminés disponibles sera

Or, le nombre des termes à déterminer dans 9 ne peut pas être ni plus grand ni plus petit que le nombre des coefficients arbitraires dont on peut disposer. Donc

De là on conclut pzzzmn,

ce qu'il fallait démontrer.

Passons à présent à un exemple. Soient les équations

^ ^ \ i(=idx^+Vy^+d[z+dyz+êxz-\-fxy=0^

En posant J5=: 1, et en ordonnant par rapport à x^ on aura (\\\ \(f — ax^+{fy+e)x+hy'+dy+c—(i.

Désignons en général par i^n) le déterminant

H, on aura

:Y=[(a6)*-(af)(/*)y+[2(a6)(ad)-(ae)(/6)-(or)((/a)+(e&))y 'J +[2(«6)(ac)4-(ad)»-(ae)((/a)4-(c6))-a/'((«d)+(/c))]y«

+[2(ad)(ac)-(a/')(«c)-(a«)((ed)+(/'c))]y + (ac)* — (oc)(cc).