PARTIE. — CHAPITRE

Il est aisé de voir que, pour ud degré quelconque m, on peut écrire sans difBculté les deux premiers et les deux derniers termes des résultantes X ou Y. Considérons spécialement la Y.

Le dernier terme est évidemment la résultante des deux équations (5), lorsqu'on y pose y=:0. Le premier terme ensuite s'obtiendra en limitant, dans la résultante des équations (p et ^ mises sous la forme (6), les coefficients a/, &/ aux termes contenant les plus hautes puissances de y ; ou, autrement, le coefficient du premier terme sera la résultante des équations proposées réduites aux termes homogènes de degré m. Ainsi, on aura

(13) Bo=|

où les seconds membres désignent les résultantes des deux équations à une variable de degré m, dont les coefficients seraient les éléments compris dans les barres. On verra, d'ailleurs, très-aisément qu'on a toujours Ao=Bo.

Pour obtenir le second terme, observons qu'en posant

Y=^Cao^«ai^« ... ûj^ bo^'obi^'* b„^'^ ,

l'argument y"^-* résultera, en limitant tous les facteurs a^ au terme contenant la puissance la plus haute de j^, à l'exception d'un seul, on l'on prendra au contraire la puissance immédiatement inférieure : cela revient à opérer sur Bo avec le symbole

On trouvera de même que

Or, d'après la formule (4) de la page 53, Bo, B^„ sont des fonctions des déterminants linéaires de la forme

bpgr bpfgtr*

THÉORIE GÉNÉRALE DE L»ÉLlMINATlON.

Par conséquettt, pour avoir B, ou B,„„, , il suffira de diffét'entier res^ectivetttent Bo ou B^„ par rapport à chaque déterminant binaire (15), et de changer ensuite celui-ci en

ou en

L'équation (12) confirme ce que nous venons de dire.

La formation des autres coefficients est ^lus compliquée» Je me contenterai de remarquer que les coefGcientd Bj» By„„«2 s'obtiendraient en opérant avec les symboles

Zj. \ (^PW-HI,»' + 2 ^ V^-Hl.»-) ^^P,9,r+ <*p,ç-4-l ,i'«p'(/'- i,r' ^^pqr ^(^p'q'r' } » Z^ { (^p,g-2,r + 2 ^V^-*,»-) ^^P.g^r+ «p,^-i,r^p'<y'-t,r' '^<^pgr ^(ip'q'r' } i

sur Bq, B,„„ respectivement. Mais on comprendra sans peine que les coefficients de X^ Y sont les fonctions des déterminants binaires formés avec les coefficients des deux équations proposées, et que d'ailleurs, dans A{, le poids des ptëûiiers indices est égal à mn — i, et celui des seconds à mn^ pendant que, dans B{, le poids des premiers indices est mn, et celui des seconds mn — t. Car en changeant^ par exemple, y en fcy, le coefficient B| devient Bik*"""' ; mais le changement de y en ky dans les équations proposées revient à celui de apgf,^ ôp^^en k^Up^r^ k\qi,; donc, en faisant la même permutation dans les coefficients qui entrent dansB^, on devra rett'oùvéf le ïacteur fc""»-* ; ce qui ne pourra pas arriver, à moins que le poids des seconds indices soit égal à mn-^i. D'ailleurs, il est évident que le poids des premiers indices est mn, car la fonction Y est la résultante des équations proposées considérée comme fonction de ^.

La remarque que nous venons de faire permettra de contrôler les calculs qu'on fera, d'après la méthode abrégée de Bezout, pour déterminer les coefficients A et B.

Il» PAtltlÉ. — CHAI*1TRË I. — § U. 91