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SVombre det solotiont opmniaoet. — Degré de l'équation finale dant le oat de denz éqaationt non oanoniqaet.

SQ^posobs maintenant qu'on ait résolu les équations X=^0, ¥=±0, et appélons-en

Vzj •••» ymn^

les racines respectives.

Pour savoir laquelle des racines y correspond à une racine donnée Xi, il suffira de substituer dans l'une des proposées la quantité Xi au lien de x et de résoudre ensuite l'équation de degré m ou n en y qui en résultera.

Cela fait, si les deux équations (5), page 86, admettent une solutiori unique y pour toutes racines Xi, le nomt)re de ces solutions sera le même que celui dès racines (10), c'est-à-dîre mn. Maïs si, au contraire, pour une vàleuk* de x, telles que x^, elles étaietit censées avoir les deux solutions y^, y^^ on serait tenté, au premier abord, de ct'oire que le nombre des solution^ [x^ y) peut dépasser le nombre iHn. Ainsi y on pourrait siipjpôser les mn+1 solutions suivante!^ :

^lî^i? ^1^21 ^s^î» *^3Î/3» •••> ^mnymny

car rien ne s'oppose à ce que y^ soit encore une racine commune pour x=:Xi. C'est une légère difficulté, qui peUt-étre n'a pas été remarquée par Euler, auteut du théorème que nous donnerons ci-dessous, et qui du reste ne pouvait être écartée sans celui de Lagrange men*tionné page 83.

En effet, d'après ce théorème et l'hypothèse que nous venons de faire, on aura en même temps

dam ' da'm '

par conséquent 9 X, Y seront respectivement divisibles |)ar (a,„—^«)^

[d^ — a)',; a, a désignant deux fonctions de a?, y. Les racines donc de a^ — a, ou d^ — a/ seront doubles dans X et Y. Ainsi la racine x ne peut pas être associée à y^, ^g, ou la y^ k x^^x^^ sans qu'elles soient doubles respectivement dans X et Y, et Ton pourra poser, par exemple, a?2 = a;i, y^^crri^g.

On voit alors que le nombre des solutions sera toujours mn. En poursuivant le même raisonnement, on verrait en général que si, d'un côté, on admet que les proposées aient, par une valeur donnée y ou Xf plusieurs solutions communes en x ou en y^ il faut, de l'autre, admettre autant de racines égales dans l'équation X=0, Y=0. Par conséquent, si p racines Xi peuvent se combiner avec une même racine yi^ les autres mn — p racines ne pourront plus se combiner qu'avec les autres mn^p racines distinctes de i/^; car p de ces racines sont égales à yi et se trouvent déjà par le fait associées aux racines Xi. Concluons donc que, dans tous les cas,

Le nombre des solutions communes à deux équations canoniques à deux variables est égal au produit de leurs degrés.

Appelons à présent groupes des solutions l'ensemble des solutions, où à une même valeur de x on de y correspondent des valeurs différentes de y ou de 07; et soient g^, gy les nombres respectifs de ces groupes, il y aura g^ racines différentes dans l'équation X=^0, et gy dans Y=0. Posons, de plus,

Y=(!/— «>(j/— Ph(!/— yh- ;

il y aura nécessairement Aa, Ap, X^, ..., racines x associées respectivement aux racines y=:a, =p, ^j/^..., et le nombre des groupes sera égal à celui des exposants Xa, X^, X^...

D'ailleurs, pour que cela ait lieu, il faudra qu'entre les coefficients des deux équations il existe des équations de conditions en nombre

Aa— 1+Xp — 1+X^ — l+...= (iwn— ,gfa;).

Exemple. Soient les équations

X*— 3x*î/+3^y*+ ISoJt/— 9x'+ 23x—y^— 9t/'— 23j/ — 15= 0, 0?'+ 2a;*i/+ 3a:î/*— 6a;y — 3x'— x+i/'— 3î/— f/* 4-3 = 0.

GooQÏe

!!• PARTIE. -. CHAPITRE ï. — § 11. 93

On aura , à un facteur numérique près,

II faut donc qu'à la racine j/=0 répondent deux solutions en x, trois en y= — 1, deux en y=: — 2, une pouri/=l, et enfin une solution pour y= — 3.

On a, en effet, les groupes suivants :

y=— 3, aî=2

qui exigeront quatre conditions entre les coefficients, et que X, en outre, ait l'expression suivante :

conime cela arrive effectivement.

Remarquons maintenant que toute équation (f{x, y), en représentant par m la somme des exposants de a;, y qu'offre la série des termes dont elle se compose, peut être réduite, en remplaçant par les coefficients qui manquent, à une forme canonique de degré m. Hais les degrés des résultantes Xj y pourraient, dans ce cas, différer entre eux, et le nombre mn n'exprimerait plus qu'un maximum qu'ils ne peuvent atteindre. Il importe donc de voir comment, dans tous les cas possibles, on peut s'assurer d'avance du degré des résultantes, ou, en d'autres termes, du nombre des solutions communes.

Soient en général Xo, A, ,..., X,„, X'o, X'^, ..•, X'„ les degrés des coefficients a^^a^y ..., a»,, b^, ô^, 6,, •.., 6^ des équations (6), par rapport à la variable y qu'ils contiennent. Il est évident que le degré de la résultante 1[ = 0, en supposant que ao*»ai*i..,6o*'«6i*'i.,.6„*'* soit un de ces termes, sera le maximum de la somme

sous les conditions

*o+*i + fcî + --- +*»» = »»» k\+k\ + ... + k'n=m, *i+2ft,+ . . . +mkm^k\+2k\+ . . . -^nk'n=mn.

Si donc nous appelons X, X' les degrés maximum que présentent

les séries des coefficients a, h, le degré dei li^ résultaote ne pourra pai dépasser le nombre

Prenons, par exemple, les équations

où par le symbole {x) on sous-entend un polynôme de degré t, Qp a

m=5, n=s4, i=9, X'=5; le degré de la résultante ne peut pas dépasser le nombre

Si , au contraire , on s'était contenté de regarder ces équations comme des cas particuliers des équations canoniques de degré 8+5 =13, 2+4=6, on aurait trouvé, avec M. Minding, 6.13=:78 pour la limite maximum du degré. Hais on ^'apercevrait bien Facilement, après quelques essais, que le degré de la résultante Xq?0 est 58, car, d'après les conditions posées ci-dessus, les termes

ixy{x'){xy{x')\ {xy{xr{x'), etc.,

correspondant aux termes algébriques

a\a^b\b^^, a%6%6^, etc., '

sont ceux qui fournissent la plus haute puissance de x.

Cette marche, cependant, est loin d'avoir la rigueur et la précision désirables. Nous allons, par eoi^séquent^ e^^poser celle que H. Minding 1^ publiée dans le Jaurnal de Crelle,, tome }iX, ei qui remplit parfaitement le but qu'on se propose.

Observons, à cet effet, qu'en appelant J/i^ J/si •••i J^n l^s racines de l'équation ^, ia résultante X aura (voir page 36) l'expression suivante :

(3) X=bJ^(f{x, y,)q)(x, î/i). -.?(«, yn)- Par conséquent, le degré de X sera

(4) ntro+h + lt+'^^+lnO.

(') M. Bezoui a dooné k C0 sujet, dans sa Théorie générala des équations, ^hq formula