II* PARTIE. — CHAPITRE I. - J IL

/jf i«, •... In désignant les degré» des fonqtjoo^ 9(4?, Jd), ?(aî, yO, • »•« ?(^i y»)* dprès 1^ substitution des valeurs de y^, y^j etc., en fooctiop de ^. Mais ^i Ton suppose que l'on ait développé eu série Içs racines y dç la manière suivante :

Ou

il suffira, dans la plupart des cas, de substituer, au lieu de y, son premier terme CiiO^ ; en appelant alors x^y? l'argument le plus haut de (f{Xj y), son degré sera a+^h. Par suite, celui de X sera

Cela arrivera toutes les fois que la substitution de ChX^ au lieu de g fournira pour le coefficient de Targument a;*"+-P* une quantité différente de zéro. Dans le cas contraire, il faudra recourir au second terme de la série Ca.iO^"'', et voir ce qu'il donne en le substituant. On passerait encore au troisième, si le coefficient de l'argument ^a+P(A-i) venait à s'annuler.

Il s'agit donc, en général, de trouver les degrés A^, Agi •••1 ^n des racines y dans upe équation donnée (f{x, i/)=0. Dans l'hypothèse où nous nous sommes placés, les racines y développées en série suivant les puissances descendantes de x auront pour premiers termes des monômes de la forme

car toute fonction, qu'on suppose de degré r, doit par définition, en la divisant par x^ et en y faisant iP= 00 , se réduire à une constante. Or, si Ton substitue ces séries à la place de y dans l'équation

extrêmement simple, que nous nous contenterons de mentionner, car, pour la démontrer, il faudrait entrer dans de longs développements, que le défaut d'espace nous force à supprimer. Soieut a et P, «'et P' les plus grands exposants 4e (P et y respeetivepnent dans les équations 9 et ^, Le degré de la résultante sera

mn-- (m- a) (m~ P)— (»— «') (n— P')»

où m, n représentent les sommes maximum des exposants de œ, y relatifs à un même terme dans les équations <p et ^l'. Ainsi^ on trouvera pour le degré de la résultante des équations (11) le nombre

Il faut noter cependant que cette formule n*a pas généralement lieu.

f(â;, y)=0, il faudra que dans chaque substitution on obtienne une équation en œ identiquement nulle. Par conséquent, afin que les coefficients, en s* ajoutant, puissent se détruire mutuellement, il faudra qu'il existe au moins deux termes ayant en argument la même puissance de x. Or, la série des puissances les plus élevées, que présenteront successivement les différents termes, sera, pour une valeur h quelconque, celle des binômes

Xo+wfc, X,4-(w— 1)A, X,+(m— 2)fc..., im+*; et si cette valeur h a été bien déterminée, il faudra qu'elle puisse rendre deux ou plusieurs de ces binômes égaux entre eux, en laissant toutes les valeurs des autres binômes au-dessous de celle des premiers. La question, arrivée à ce point, peut être ainsi généralisée : étant donnés des nombres qmlconques ^09 ^19 ««m ^ ^^ d'autres nombres fAo» Fi» •••» i^m> f^i^^ varier un nombre h depuis + <x> jusquà — oo , de telle sorte que les binômes

(6) Xo+fXoA, ^i+i^ih, ..., ^4-Fm*

deviennent, les uns égaux entre eux, les autres tous inférieurs aux premiers. Les valeurs de h, qui satisferont à ces conditions, seront les degrés des racines y de l'équation

(7) (>o)ro+(^i)r^+ (^Or«+- • •+ (>'")r-=o-

en désignant par (X) une fonction de degré X en x.

La recherche de ces valeurs de h se simplifie beaucoup en tenant compte des remarques qui suivent.

l"" A partir de +<x>y le premier maximum est Xo + |uio^« ^^^ ^" a par hypothèse

Fo>f^i>f^î---

2® A mesure que h diminue, les binômes décroissent d'autant plus plus que le coefficient fx de A est plus grand.

Il suit de là qu'en faisant descendre h de 00 jusqu'à ce que le premier binôme Xo + f^oA devienne égal à un autre, v.g^ à X^+z^i^y on aura trouvé une des valeurs de A,