II- PARTIE. — CHAPITRE I. ^ § II

quoD cherchait; car, d'après la remarque 1, la valeur de ^f^ + fi^h sera bien supérieure à celle de tous les autres binômes. Mais lorsque Ton continuera à faire décroître h à partir de hi, a6n de trouver les antres valeurs propres à remplir les conditions énoncées, il sera inutile de s'occuper des binômes qui précèdent le binôme \+iiih. En effet, d'après la remarque 2, tous ces binômes décroîtront davantage que ceux qui suivent le binôme li+iiih; toutefois on suppose que celui-ci soit le dernier de ceux auxquels X^-f-Fo^ ^^^ ^g^U c'est-à-dire que m soit le plus petit coefficient de h dans les binômes égaux. Ainsi, le premier wa^mwm qui vers h=z<x> était Xo + i^o^» au moment de A=A«, sera le binôme ^ + iiih. Pour obtenir ensuite une seconde valeur de h, on opérera sur celui-ci et sur ceux qui le suivent, comme on a fait précédemment sur lé binôme Xo+fio A. Soit pourtant &/ une valeur de h pour laquelle on ait

^i+lifi étant par hypothèse le dernier des binômes, auquel hr^-fiji a pu devenir égal ; ce sera là une autre valeur de h propre à la question* On opérera de même sur li+iiih et sur les binômes qui suivent, etc., et l'on trouvera pareillement d'autres valeurs ftp, ft^...

Tout ceci peut être beaucoup éclairci en interprétant géométriquement le problème.

Bo B,

B^. Bj B^ C^ C|X

Prenons sur deux axes rectangulaires les abscisses OBo=Xo, OBi=:X|...OBi=:Xi...OB^=V-OB/=A/,etc.,

et les ordonnées

AoBo=fXo. A4B,=fit...AA==^— AiB^=rt...A/B/=fx/, etc.

Un bÎQome quelconque A^+jui^fe sera l'abscisse du point Q, où une ligne, partant du point A«- et inclinée sur la verticale d'un angle dont la tangente est h, intercepterait Taxe OX. Nous appelons segment Tabscisse 0C«-.

Cela posé, le problème géométrique sera celui-ci : tirer une ligne passant au moins par deux points, de telle sorte qu'elle coupe sur taxe OX un segment algébriquement plus grand que tous ceux qui seraient interceptés par des parallèles menées par un autre point queU conque.

On s'aperçoit de suite qu'une première solution sera de faire pivoter une ligne droite sur le point le plus haut A^, jusqu'à ce qu'elle aille rencontrer un autre point A,-. Il est évident que toute parallèle à la ligne A<jA» interceptera des segments moindres que OC^; car tous les autres points seront au dedans de cette ligne. Si, de même, lorsqu'on sera arrivé au point A^, on fait pivoter une ligne sur ce point vers l'axe, jusqu'à ce qu'elle aille rencontrer un autre point A/, on sera sûr de laisser tous les autres points au dedans, car, puisqu'ils se trouvaient au-dessous de la première ligne AqA^, à fortiori ih se trouveront au-dessous de la seconde AoA/, qui sera plus élevée que l'autre sur l'axe. On obtiendra ainsi une seconde solution. En continuant de la sorte, on déterminera toutes les lignes propres à résoudre la question.

Substituons maintenant cx^* au lieu de y dans l'équation (16) ; il viendra, en divisant par x\+^iH, et en faisant aj= oo ,

(17) (ij^c{^o+...+(>i)V = 0,

(X'o), (Xj)', etc., désignant les coefBcients de la plus haute puissance de X dans les polynômes (Xq), (A^), etc. Car, par hypothèse, les nombres Xo+fAo^t, \+[J^ihi sont égaux et supérieurs à tous les autres fournis par les binômes X+fjift; ainsi, après qu'on aura divisé par x^o^^iy-oj toutes les puissances de x après le terme (Xi)yN, et toutes celles intermédiaires entre celui-ci et le premier terme {\]yi^Oy à part celles qui pourraient encore être égales à XoH-fj^o'^i» sont négatives et disparaîtront lorsque a?= oo.

Or, l'équation (17) est de degré (x^ — f*» par rapport au coéffi-

n* PARTIE. — CHAPITRE I/— § H. 99

cient c; celui-ci pourra donc recevoir ii^ — fx»- valeurs. Par conséquent, les racines y, de degré hi, seront en nombre [x^ — in.

Quelle que soit la valeur de h précédemment trouvée^ on arrivera évidemment à des conclusions semblables, et Ton pourra, par conséquent, énoncer le théorème suivant :

Soit hi la valeur de h propre à rendre deux ou plusieurs binomeà quelconques

de la série (15) égaux entre eux, et supérieurs algébriquement ià tous les autres, \+[i[h étant dans tous les cas le dernier de ceux qui deviennent égaux; l'équation (16) aura pj — pi racines y de degré hj.

Application. Soit Téquation (f[x, y) (11); la série (15) devient la suivante :

8+5/i, 6-F4ft, 9 + 3fe, 4+2ft, â+ft, 4, et les 5 valeurs de h, déduites de la méthode ci-dessus exposée, seront

Par suite, les degrés î^, l^, /g, ... des fonctions ^{x, yi), ^{Xt Sft)* ^{x.y^)... seront

Par conséquent, la résultante

\={xy^{xy,)f^{xy^)...t^{xys)f que nous avons à considérer dans le cas actuel ^ sera, d'après la formule (13), de degré

Remarque. En appliquant le procédé développé jusqu'à présent aux équations

ç(x,î/)=y*-(7a;-7)y*+(14x*— 30+7)y-8a?'+20aî"+13aî-15=0 ^(a;,y)=y*— (6a;— 4)y+8aî*-— 12aj+5=0.

on trouverait pour premiers termes des racines y de Téquation ^ développées] en série, ch,x^i=2x, ChJià^*^^o&. Par leur substitution

dans (f{x, y) les degrés de (f{x, yj, (fix^y^) seraient ïi=î,= 2, et la résaltBDte de degré 2+2=4. Cependant, comme H. Magnas en a averti le premier, la résultante n'est que de degré 3. Cela tient à ce que, en Taisant les substitutions indiquées, le coefBcient de l'argument le plus haut x^^ dans la fonction (f{x, t/,), s'annule. Par conséquent, d'après ce que nous avons dit page 95 , il faudra recourir aux seconds termes des séries 2fi« ys,

y,=2aj— 2+..., î(,=4ic— 2— -+...,

et Ton trouvera (f{x, yi)=— 8aj*+...ç(ir, y,)=:6a5+... Ainsi {^=2, 22=1, et le degré de la résultante sera 3. Corollaire. Lorsque dans l'équation (16) on a

les binômes (15) deviendront égaux, en posant hz=z\. Par suite, les racines y seront de la forme

Tel est le cas des équations canoniques.

Il est bon maintenant d'observer que cette méthode de calculer le degré de la résultante X ou Y, laquelle repose entièrement sur Téquation (12), suppose qu'on a exclu du nombre des solutions x ou y celles qui sont inBnies. Par cela même, ce degré pourrait être différent, suivant qu'on éliminera x ou y. Hais on peut, par le théorème qui suit, prévoir dans quel cas ces degrés seront égaux ou non.

Théorème. Suivant que les premiers coefficients des équations pro" posées, ordonnées par rapport à x ou y , auront un facteur commun ou non, les résultantes XetY auront un différent ou un même degré. Dans le premier cas, leurs degrés seront respectivement mn — d,, mn — ^dy ; dx, dj étant les degrés des facteurs communs des coefficients (do, bo) ou(a'o,b'o).

Démonstration. Il est d'abord évident que les proposées n'admettent pas des solutions infinies x, y, si leurs premiers coefficients [a^ h^) ^u (^'o>^'o) "® sont divisibles par un même facteur P^ ou P^:, fonctions,

!!• PARTIE. — CHAPITRE I. - § IL lOl

ie premier de y y le second de a;. Alors, comme la méthode tient compte seulement des solutions finies, les degrés des résultantes ne pourront pas différer entre eux, puisqu'à chaque solution finie en x correspondra une antre finie en y.

Dans le cas contraire, soient par hypothèse d^et d^, le nombre des valeurs de x on de y qui annuleront P^ ou Py. A chacune de ces valeurs correspondra une valeur infinie de x ou de y. Par conséquent, il y aura d^ racines yzrz <x> , dy racines â;= oo , et les degrés des résultantes Y, X seront diminuées d'autant ; ce qu'il fallait démontrer.

D'ailleurs, comme il est aisé de voir par la formule (4), page 53, et les exemples suivants, les coefficients (a^^ 60) ^^ (^'o« ^'0) ^y^nt un facteur commun Py ou P^» les résultantes primitives Y ou X seront divisibles respectivement par ces mêmes facteurs, ce qui prouve bien que les racines de P^ ou P^^ sont des solutions communes, indépendamment de toute valeur attribuée à la résultante.

Les équations pourraient être quelquefois incompatibles. Cela arrivera lorsque, en combinant entre elles les deux équations^ on en déduira une troisième de la forme constante ^=^0. On aura encore, dans certains cas, un critérium d'incompatibilité, en examinant si la fonction

^ ^ dx* dy dy* dx

se réduit identiquement à zéro. Car, en posant

dx ^ r/ \ '

dy dy

les deux fonctions f et ^ pourraient être mises sous la forme de deux

fonctions de l'intégrale de l'équation

(18) dy+dxf{x,y)=0.

En effet, en appelant X cette intégrale, il vient

dX dX

dy dx yf s dx j,f K

dy dy

Hais F(X) sera encore une intégrale, car

donc

dFdX

dX

dl.

dX dx

dx