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dx'

dF dX

■ dl

dXdy

«JF(X)

*" ff^

et, par conséquent, on peut prendre F(X)=:<p, ou =zf^. Les fonctions proposées seront donc de la forme F(X)==0, /'(XjpsO, F et f désignant deux fonctions quelconques de X, et X une fonction de x, y.

Or, on pourrait éliminer X d^ ces deux équations, et si la résultante ne s'annule pas, il y aura incompatibilité. Dans le cas contraire* les deux proposées admettront un nombre in6ni de solutions, à savoir* celle de X= constante.

Exemple. Soient les équations

12x''—36x^+12x*y+35x*+^*—i8xy+ly—i2X'^i=0, 20a;*— 60^'+ 20x*y+6ix^+ by*— 30^t/+ 8y— 24ir+ 3= 0*

L'équation différentielle (18) devient, dans ce cas, (ly+(4x— 3)rfa:=0,

dont l'intégrale est

;K=z2x*—3x+y=zO.

Ainsi, les équations pourront se mettre sous la forme

On reconnaîtra facilement que, dans le cas actuel, les solutions des équations coïncident avec celles de l'équation

Mais si le terme 6nal 3 de la seconde se changeait en 2, les deux équations deviendraient, au contraire, incompatibles.

Il* PARTIE. — CHAPITRE L — § ïll. 108

Remarque. L'équation (17), associée avec la (f ou la ^, fournira le? valeurs maxima ou minima respectives de ces fonctions, ce qui pourra, dans quelques cas, faciliter la recherche des Solutions communes.

Nous avons vu, au § II, comment, au moyen des résultantes X ou Y, on peut trouver les solutions communes. Au lieu de cela, on pourra quelquefois, par les changemept^ simultaujês de sigi^es qu'acquièrent les fonctions par deux systèmes des valeurs (a?^, j/j), (a?/, y/), déterminer les limites entre lesquelles sont comprises les solutiops communes, et trouver par suite les valeurs elles-mêmes.

On pourra quelquefois poser x=^0 («), y=zyi^i), et se servir des indéterminées contenues dans ^^x V^^^ satisfaire à Téquation de condition qui résultera en éliminant U La valeur ensuite de t se trouvera comme au § II, première partie, chapitre III.

Par ce qui précède , nous avons appris à calculer les solutions communes à deux équations à deux variables; et cette méthode, comme on aura remarqué, se réduit à développer une fonction implicite en série. Nous n'avons cherché jusqu'à présent que le premier terme de la série, mais il est bon de les connaître tous, aOn d'avoir les valeurs des solutions communes à tel degré d'approximation que l'on veut, et de pouvoir obvier aux difficultés signalées dans la remarque, p. 99. M. Liouville a donné à ce sujet une méthode très-ingénieuse, dont nous allons maintenant nous occuper.

Méthode de I.îouvUle pour développer en série une f onolîon impUoîte , suivant les puîisanoes descendantes ou ascendantes de la variable indépendante.

Soit(l) ?(a?,y) =

une équation de degré m entre les variables x, y; en réunissant les termes de même degré, on pourra lui donner la forme qui suit :

ou bien, en posant - = U9

(3) «'"9o(w)H-t/'"-'?.(M)+«'«-*9,(ti)+...=0.

où les polynômes fo? ?i« ?i« ^tc, seront de degré m, m — 1, m — 2... au plus.

Pour âp= 00 les racines u de Téquation (3) se réduiront à celles de Téquation

Soit a une des racines ^ on aura généralement

e étant une quantité qui s'annulera avec -.

Substituons maintenant cette valeur de u dans la (3), il viendra, en développant par la série de Taylor et en divisant par «^""\

(6) [(e%'.(«)+ç,(«)]+|[^'5V.(«)+(eaj)9\(«)4-9.(«)]+...-=0.

Faisons x= oo , et désignons par a la limite qu'atteindra dans ce cas la quantité eo/; nous aurons

(7) L«Vo(«)+9i(«)=0.

Comme a est la limite de tx^ on pourra poser

(9) ex=«'+^ par suite ,

si Ton veut encore trouver d'autres termes, on portera cette valeur de u dans l'équation (3), ou bien la valeur de e tirée de (9) dans l'équation (6), qui, multipliée par x et en ayant égard à l'équation (7), donnera

(11) (eaî)9'o(«)+{^?»+«V.(«)+9»«j + E=0,