II- PARTIE. — CHAPITRE I. — § lïî
E désignant une somme des termes qui s'annulent avec -. Faisons donc x=: 00 , et désignons par ol la limite de ix ; nous aurons
(12) «''?'«(«)+i3?''.(«)+ «Vi(«)+?j(«) = 0, d'où l'on tirera la valeur de a". Cela fait, oa posera
(13) «'«=«"4-^, et il viendra
d'où
(15) y=cxa54-«'H h...
En procédant de la sorte, on pourra obtenir autant de termes que Ton voudra de la série (15). Cette méthode suppose essentiellement que l'équation (4) n'a pas de racines égales , car autrement les valeurs de a 9 OL ^ etc., ne seraient pas Gnies. Il est évident, d'ailleurs, qu'on aura autant de ces séries qu'il y a de racines dans l'équation (4).
Au lieu de développer la racine y suivant les puissances descendantes de Xf on aurait pu la développer suivant les puissances croissantés de x^ A cet effet, posons
(16) 9)(aj, y)=9o(y)+«?t(!/)+aî*?2(y)+.et .
(17) i/ = 74-/a?+yV+...
f{(y) désignant un polynôme en y de degré m — % au plus, et y désignant une des racines de l'équation fo(y)=0, qu'on suppose toutes inégales.
On trouvera, par une méthode semblable à la précé4pnte, les racines de y, y\ y à l'aide des équations
(19) ?'oW/+^+Ti(7V+T,(7)=0, etc.
Il est à noter, d'après pp théorème de M. Cauchy, que les séries
(15) et (17) seront convergentes tant que x n'atteindra pas une valeur pour laquelle y puisse acquérir des racines égaies ou infinies.
Notons d'ailleurs qu'il y aurait beaucoup à dire sur le développement des fonctions implicites en série. Mais, pour cela, nous renvoyons le lecteur au Mémoire sur le calcul des limites, inséré dans les Exercices ^analyse et de physique mathématique, où cet illustre géomètre a traité à fond la question.
Ce qui précède suffit pour arriver à diverses conséquences importantes que M. Liouville a déduites de sa méthode.
giy.
Formation des résultantet X, Y. -^ Somme des solatîont communes X oo y»
Soient, comme avant, les équations ^
de degré m et n. Mettons-les sous la forme
ffi, ^i désignant des polynômes de degré m — /, n— ^t. Appelons y^, y»» ••• Vn les racines de l'équation ^=0 , et portons-les dans l'autre <J^=0. Posons
(3) ^=Hxy,)^xy;)...^{xym).
l'équation fipale sera R=: 0.
Nous allons voir maintenant comment, grâce aux séries (15), on peut en trouver les différents termes. Commençons par le premier. On
a, en posant-=ti,
(4) <Ka?, i/)=aî«tj;,(M)+a:«-*t^,(tt)+...
Il* PARTIE. — CHAPITRE I. — S ^V. 107
Prenons u=0e+«» ol étant une racine de l'équation 9o(a)=0, et e s'annulent avec — . On aura
et lorsqu'on fera â;=: oo , il viendra
E étant upe qi^antité qui s'annulera ^vec -• Op iaura doi^ç^ spus de semblables désignations.
Multiplions ces équations membre à membre, il viendra
(6) R=af"'^o(«i)<l'oW .••^'oW+af»"I,
I désignant une quantité qui s'annule avec -. Le premier terme sera
donc
ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé page 26, car le produit ^o(<xi)^o(^a)-««^o(^m) est précisément la résultante des équations 9o(a)» ^^oW» c'est-à-dire des équations (p et t|; réduites aux arguments de degré m et n.
Il est à noter, d'après la forme des seconds membres des équations (5), que si les équations ç^j(a)=0, v|/o(a)=:0 ont des racines communes, le degré de la résultante s'abaissera d'autant d'unités qu'il y a de racines communes.
Passons à trouver le coefficient du second terme de la résultante. A cet effet, nous remplaçons dans l'équation (4) u par
UZ=iaL+^ h-,
c désignant une quantité qui s'évanouit avec -, et a, a étant des
108 THÉO lE GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION.
quantités détennioées, comme auparavant, par les équations ^ o(a)=0 et (7)» § III- On obtiendra
I étant une quantité qui s'annule avec -. En y remplaçant a par les diverses racines de l'équation (f^{a)=0, on aura
où II, Isf. Im désignent des quantités qui s'annulent avec -• Hul-
CD
tiplions toutes ces équations ensemble, il viendra
(8) 1i=af^oMU«,)..-U«n,) +
le signe 2 s'étendant & toutes les racines de l'équation (po(a)=0, et K désignant l'ensemble des termes qui, divisés par a;*"'''~S s'annulent
avec - • Il est évident maintenant que le second terme de la résultante
aura pour coefGcient
Par conséquent, la somme des racines de l'équation finale sera
ou bien, en remplaçant a' par sa valeur — 5~^\
Si l'on avait, au contraire, porté les valeurs de y déduites de Téquation ^{œ, y) = dans la première (f{x, y)= , on aurait obtenu, par un procédé semblable au précédent, la même résultante R. Par conséquent, en appelant |3i, P,, ... (3„ les racines de réquotion
