PARTIE. —CHAPITRE I. — S V

<)«g(u)=0, on anra encore pour la somme des racines de l'éqaation

finale Texpression

f4Q\ V 'l'.(P)'p'.(P) vy«(P) .

le siçne 2 s'étendant à tontes les racines de l'équation <{*(^)=0, et, comme les deux expressions (9) et (10) doivent évidemment coïncider, on aura

(u\ vyi(')y«(«) y».(«)y ».(P)f«(W v^.(P)

OaIoqI des foaoUoiii tjBiétrlqiiof*

Soient (1) 9(«*»)=0» Hx,y)=0

les denx équations données, et

les groupes des solutions communes. On appelle fonction syméirique de ces solutions communes toute fonction qui ne change pas de valeur lorsqu'on y permute les groupes x^t/i, x^t/j^n x^y^... les uns avec les autres de toutes les manières possibles. Il est évident que, quelle que soit cette fonction, on pourra toujours la calculer, pourvu que Ton sache exprimer en fonction des coefficients de f et de <p, une fonction symétrique entière de la forme

(3) (fi=^xP.y,^.xr^y}.xP.y,^. . . . xf'iyi^i.

Suivant que i sera =1, =2, etc, c'est-à-dire suivant que la fonction contiendra 1, 2, etc., groupes, la fonction sera simple^ doU'hle, etc. Mais, à l'aide du théorème qui suit, toute fonction , même multiple, peut être exprimée en fonction des fonctions simples : La fonction multiple (fi s'exprime an moyen des fonctions symétriques simples par des formules analogues à celles (18) et (21) (I" partie, chap, I) qui servent à exprimer des fonctions quelconques symétriques

des racines d*une équation au moyen de la somme des puissances semblables de ces racines.

Ainsi Ton a

(4) ^xr^y,^^x,^^yf.=^x^^y^^^^^^^^

(5) ^xp.y,^^r'y.''^r^y^'^=^^^^

-'J^x^:^.y^:^^,^xP.y^.'^^^^

et géDéralement

(6) ^x^^y^.x^^y^u . .xfiyi'i

— S^i*"» y?^ x${^^iySt-^i. . .xi^i^i-* yz-i^'-S etc.

D'où Ton voit que la fonction multiple <fi sera déterminée, dès que l'on connaîtra la fonction ^ ^.i ; car il suf6ra de changer dans celle-ci les exposants

Pi» P%^ ••• Pi-^t successivement en pi+p/, Pt+Ph •••l>«-i+P/»

Par suite, de proche en proche, on connaîtra (fi au moyen des fonctions simples 9^. Mais, en regardant de près la formule précédente, on s'aperçoit qu'elle est semblable à celle (18) que nous avons donnée chapitre 1", première partie, pourvu que l'on suppose que dans celle-ci on ait associé à chaque puissance Xg^g une autre puissance yg^g en facteur. A la condition donc de joindre à chaque puissance xj^g celle qui en résulte par l'échange de x, p en ^, 9, la formule (18) conduira aux mêmes conséquences que la précédente, et l'on aura

P) ç,=2(-i)'-T(ff)r(A)...r(t)2'>.«^«-«^

n- PARTIE. — CHAPITRE I. — § V. 111

SOUS les mêmes conditions et dénominations, si ce n'est que s\g désignera maintenant, en général, la fonction simple

où Xi, ^2, X3... formeront une certaine combinaison de g exposants choisis parmi les i exposants p^, p,, ... p/Ct/j, 1\, X g celle qui s'en déduit par l'échange de p en q.

Voyons à présent comment s'opère le calcul de ces fonctions symétriques simples^ auquel celui de toute fonctioh symétrique peut se réduire.

Supposons que les équations (p et t{; soient mises sous la forme

(8) ç(a;, y)=^apgrXPy^z'^0, ^{x, tf)=21*P(?r^Y« — <>• et posons ^

(9) aX+Py+yZ=:0..

Par la substitution de — ^ ^ au lieu dejs, ces équations deviendront

d'où, en éliminant -, on aura une résultante de la forme y

(10) Aoy^„+A,y'"«-^+...+A^=0,

Ao» A|, ... A,„„ étant des fonctions des coefficients (a) et (6) et de a, p. Or, on sait tirer de cette équation la valeur de S/, y étant une quelconque des racines, à laquelle, par suite de Téquation (9), correspondra une solution commune a?, y des proposées. On aura donc, par un théorème connu,

f désignant une fonction homogène de degré et de poids r par rapport aux coefficients A. Comparons maintenant, dans les deux membres de cette équation, les coefficients d'un même argument ofÇfli il viendra

(11) A;2^pyteF(a, h), {p+î=r } ,

en représentant parF(a, 6) une fonction des coefficients a, b, dont le degré sera r{m+n)j car les quantités A sont déjà elles-mêmes de degré m+n par rapport à ces coefficients. On remarquera, d'ailleurs, que la fonction A/ est de la forme

C»./-i étant en général une fonction des coefficients (a) et (6), dont le poids par rapport aux premiers, deuxièmes et troisièmes indices sera mn — t, tnn — /+i, /. Cela se démontre en changeant successivement X, yj z en kx^ %, kz.En particulier, le premier coefficient Ao sera donné par la formule (13) du § I.

On voit par là que la forme du second membre (11) sera

(12) ^9C\i^^H.C\^.u^nfi\A--h.-^^

sous les conditions

ftl+fcl + fc8 + — =^'

g étant un coefficient numérique variable d'un terme à l'autre.

Une fois qu'on aura calculé par cette méthode la fonction J^x^y^, la formule (7) fera connattre la valeur de celle plus générale

Mais cette recherche pourra être beaucoup facilitée par les deux théorèmes suivants, dont le premier est dû à M. SchIaefiQi.

I. Le degré du numérateur de la fonction f ou, ce qui revient au même, le degré de son dénominateur Ao est égal au plus grand des nombres

(15) p^ + qi=r^, Pt + qt—rt, etc.

II. Le poids du numérateur de la fonction <f est de degré r^mn — Sp, r^mn — Sq, Sp+Sq , par rapport aux premiers^ aux seconds et aux troisièmes indices des coefficients (a, b), r^ étant ce nombre le plus grand.

Démonstration. Soit par hypothèse ri le plus grand des nombres

Il» PARTIE. — CHAPrrRE I. — § V. 113

,; et supposons que, pour rendre entière la fonction

il faille la multiplier par A/'+P au lieu de A/'. Posons (17) Pi4-g'i=Ps+î,+;A,=p,+ î,4-A,=...r,

et observons que l'équation (10) étant identique à celle-ci,

(«a;i+|3yj+yz,)(«a!» + |3yj+y2,)...=0,

d'où A/.•^=A.eCV„[ig^)^

Par conséquent, d'après l'hypothèse admise, la fonction

vcv^2(i;)"fe)'-&:)'-Ê)"(l)"-

devra être entière. Mais si, par le noiéme procédé déjà expliqué/on avait calculé directement la fonction

mtywm^ï

on aurait trouvé qu'il suffit de la multiplier par une puissance de C^ pour la rendre entière. Donc le facteur A^e doit se réduire à l'unité; donc p = 0.

On peut aussi se rendre compte facilement de ce théorème, en observant que la fonction (p entre comme coefficient de a*p(3^ dans la fonction

que l'on sait calculer au moyen des coefficients A. Mais on sait aussi que son degré est égal au plus grand des exposants r^, rg...; donc il en sera de même de la fonction (p, qui en fait partie.

Pour démontrer maintenant le second théorème, changeons dans les proposées (8) les coefficients a^^^ en k^apqr, les solutions x, y se

changeront respectivement en -a?, y. Par conséquent, la fonction

nouvelle qui résultera de la (14) par l'échange susdit,

[kl 2à^tyi^'^i%^'*-^

doit être identique à la fonction 9 exprimée par les coefOcients^ après qu'on aura fait l'échange indiqué relativement aux coefficients. Mais le dénominateur est de poids ritnn; donc te numérateur sera de poids r^mn — {p±+pt+*.>)=rimn — Sp. Les mêmes conditions vaudront^ mutaiis mutandù, pour les seconds indices. On prouve ensuite bien facilement que Ip+lq est le poids par rapport aux troisièmes indices. Corollaire. Puisque Ton connaît le degré et le poids de la fonction (f^ sa forme littérale pourra toujours être écrite d'avance.

§ VL Théorème* àe Jaoobi.

Soient, comme avant, (p et ij; les deux équations données, la première de m'^'"^, la seconde de n'^'"^ degré, et X, Y les résultantes en a? ou en y. Appelons M, N, P, Q les polynômes multiplicateurs respectifs, on aura

(1) îtf9) + N^j;=X,

Posons V= Mû — NP, on tirera des équations (1) et (2) celles-ci :

/gx j V(p = QX— NY.

^ ' { VJ[;=PX— MYj

par, lesquelles on voit que tout système de valeurs x, y propre à réduire X, Y à zéro, sans satisfaire pourtant aux équations y ou ^, fera évanouir la fonction V.

Différentions maintenant les équations (3) successivement, par rapport à X ef y ; il viendra, pour toute solution commune à 9 et à ^j/,

M?x+N^'^=X% M(p;+Nij>',= 0,

P? x+Q'j' x= ; f(fy+ Qf y= Y'.

De ces dernières, en posant

on dédait