II» PARTIE. — CHAPITRE I. — § VI
SM=X'fv. sp=--rfje,
d'où S*V=S.X'Y, ou V=Ç'.
Donc, pour toutes les racines non simultanées de (f et ^, on aura
^fmn
XY
V XT
Mais il y a plus. Décomposons la fonction j^ en fractions simples ,
il viendra
(xy)* (y)' (x) ^^^•g"*'^"* '^s parties entières contenues dans les
fractions vy» y' X' ^"^^ *' ^^* *'^^ ^^ ^^*^ ^"^ '^^ arguments les plus hauts dans les fonctions M, N, P, Q sont respectivement
Par conséquent, ceux les plus hauts dans V seront af^n^^ymn-n ^ ^mît-Hymn-m^ et la fouctiou V Sera de degré inférieur à X, Y; donc
Ixy) ' (y) • (x) s'annuleront. D'ailleurs, la fonction V s'annule par toutes les racines de X, Y, excepté celles qui sont communes à f et ^; ainsi, il suffira d'étendre dans le quatrième terme lé signe 21 aux solutions communes de (p et ^. Si donc on développe le premier membre suivant les puissances descendantes et simultdnées de x et y, on aura, en restreignant le signe 2 aux solution^ susdites,
et le coefficient de a;-(*+0g-(P+O sera
Mais ce coefficient sera nul toutes les fois que a+(3<m+»— 2.
En effet, la -fonction ^ est de degré -—(m -4-^); f^^ conséquent.
les exposants des puissances descendanfes de x^ y dans le second membre ne peuvent pas être inférieurs au nombre m + n. Donc a+l + (3 + l>m+n, ou « + (3>m+n — 2, et tous les autres termes, au contraire, pour lesquels on aura a + (3<;m+n — 2 ne pourront pas exister. On arrive ainsi au théorème de Jacobi.
Soient y(x, j) = 0, ^J^(x, y)=0 deux équations de degré m, n, e< F(x, j) une fonction entière et rationnelle dex, y de degré m+n — 3; on aura, en étendant le signe S à toutes les solutions communes aux équations données.
En effet, on pourra toujours décomposer le premier membre de cette équation eu sommes partielles de la forme
(a, |3) désignant un coefficient relatif à l'argument x^y^ que l'on considère. Or, d'après la remarque précédente, ces sommes seront toutes nulles, puisque par hypothèse a+(3<C*w+n — 2. Quelles que soient donc les fonctions f et <{/, il y aura entre les mn solutions les
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