HY—V U

XY — ^s,(x-a?,)(t/-.2/,r

et en posant U=S,

Or, le coefficient de l'argument a;-(a-*-Oy-(P+i) dans le second membre sera la fonction symétrique

De là on conclut aisément que :

sv Le coefficient qui, dans le développement de la fonction ^ suivant

les puissances ascendantes et descendantes cte x, y, multiplie l' argument x-a-«y~P-i, est la valeur de la fonction symétrique Jx«yP.

Nous allons voir maintenant quelle grande lumière le théorème de

Jacobi jette sur la théorie des solutions communes. Euler, en cherchant à expliquer un paradoxe qui s'était présenté à lui à ce sujet, avait déjà observé que les solutions communes à deux équations à deux variables n'étaient pas toutes arbitraires. Cette question et d'autres aussi importantes que délicates que soulève ce théorème méritent que nous les traitions avec tous les éclaircissements nécessaires. Soient deux équations ou deux courbes

(7) 9(x,y)=0, ^(aj, t/)=p

de m'^'"^ ordre. Ces courbes se couperont en m* points ; mais elles ne sont pas ^es seules que Ton peut faire passer par m? points donnés. Considérons, en efiet, Téquation

(8) ' ' (p(ic,î/)+ft^(x,j/) = 0,

où h désigne une constante arbitraire. Il est évident qu'à chaque valeur de k correspondra une équation diiïérente, mais qui s'annulera en même temps que les deux proposées. Ainsi le nombre des courbes passant par m' points donnés peut être multiplié à l'infîni. On ne peut donc déterminer l'équation <p au moyen seulement de m* couples des valeurs; mais il faut en assigner encore un autre qui annule 9 sans faire évanouir en même temps la ^. Car alors Téquation (8) ne sera plus vérifiée par ce couple, et, par conséquent, il ne sera plus possible de former une autre équation remplissant les mêmes conditions, et ainsi l'équation ^ sera unique. Considérons maintenant à part l'équation

comme le nombre des coefficients çst — — ~ — \ dont un peut être

toujours pris arbitrairement, il suffira de connaître — 1

^^'~¥~ couples des valeurs x^ y, pour que les coefficients de l'équation proposée soient déterminés ; car en substituant, au lieu de a?; y, leurs valeurs, on aura un système de — -^ — équations linéaires entre un pareil nombre de coefficients, et propre, par conséquent, à