II- PARTIE. — CHAPITRE I. — § VI

les déterminer complètement. Voilà encore une manière dé former une équation unique (p.

Mais de là vient le paradoxe d'Ëuler :

D'une part> ^"t ^ points déterminent la courbe ç ; d'autre part»

elle ne semble pas déteripinée, car en la faisait même passer par

m* points, c'est-à-dire par — - — poiqts de p|us, on peut encore

trouver une infinité de courbes passant par les mêmes points. Comment cela peut-il s'expliquer?

Euler a observé le premier que cela ne peut tenir qu'à ceci, à savoir que : une partie des équations de condition fournies par les m* couples rentrent les unes dans les autres. Prenons, par exemple, m = 3. Alors le paradoxe se réduit à ceci :

D'une part, une courbe du troisième ordre paraît déterminée en la faisant passer par 9 points; d'autre part, on peut faire passer une infinité de courbes du troisième ordre par 9 points.

Cette contradiction apparente s'explique en observant qu'une des neuf équations de condition, auxquelles donneraient lieu les m'=9 couples, est une conséquence des huit autres. Soit, en effet,

(10) ax^+bx*y+cxy^+dy*+ex^-+fxy-{'gy^+hx+ky+l=Oj réquation proposée, et

les 9 couples de solutions auxquels elle satisfait. On aura les 9 équations de condition qui suivent :

ax,^+bx,%+cx,y^^+dy,'+ex^^+fx^y,+gy,^+hx,+ky,+l=:0, ax^'+bx'y,+cx^,*-\'dy,'+ex,^+fx^y^+gy^^+hx^+lqf^+l==0,

ax,^+bx,%+cx,y,^+dy,'+ex,^+fx,y,+gy,^+hx,+ky,+l=zO, ax;+bx,\+cx^y,'+dy;+ex;^fx,y,+gy;+hx,+ky,+l=:^0.

Or, je dis que l'une d'elles, la dernière, par exemple, se déduira des 8 précédentes. Sommons, en effet, ces 8 équations après les avoir multipliées successivement par les coefficients AiX2...)v8, et égalons le résultat à la 9"''' équation. Nous aurons 10 équations :

lesquelles suffiront à déterminer les 10 inconnues Xi^Xj, •.., Xg, x^, y^. Ainsi, il sera possible de former la 9™'' équation au moyen des 8 premières. Donc

Etant donnés huit couples de valeurs qui satisfont à une équation de troisième ordre, on peut en déduire un neuvième remplissant les mêmes conditions.

Observons maintenant que les équations (12) conviennent indistinctement à toutes les courbes passant par les 8 points donnés. Donc le 9°"* qu'on en déduit est celui où se couperont nécessairement toutes les courbes de troisième degré qui passeront par ces 8 points. Concluons donc que deux courbes de troisième ordre qui ont 8 points communs se couperont nécessairement en un 9^^. Ainsi, le paradoxe s'explique en disant que 9 points ne suffisent pas toujours pour déterminer une courbe de troisième ordre, car les équations de condition se réduiront à 8.

Pour lever donc toute indétermination, il faut donner un point de plus distinct de ce 9"® que les équations (12) font déjà connaître. Alors les deux méthodes de former une équation unique, exposées précédemment, seront mises d'accord ; car, soit d'un côté, soit de l'autre, on trouvera le nombre exigé d'équations. En définitive, la contradiction provient de l'oubli d'une restriction : c'est que des équations de condition ne doivent être mises en ligne de compte qu'autant qu'elles sont indépendantes.

Nous avons vu précédemment qu'une courbe (p de m^^ ordre ne sera déterminée qu'autant qu'on la fera passer par un point de plus non situé sur la courbe ^. Car autrement, quelques arrangements que

!!• PARTIE. — CHAPITRE I. -. § VI. m

Ton prenne, il sera toujours possible de trouver une infinité de courbes de m*"^ ordre passant par des points donnés, si ces points sont en nombre <ou =m^. Cette courbe donc sera unique en l'assujettissant à m*+l équations de condition; d'autre part, la courbe est déterminée par — r-^ équations de condition.

Ainsi, une équation de plus ajoutée dans les deux cas aux m^ conditions, d'une part, à — ^ 1 conditions, de l'autre, détermine

complètement la courbe. Il faut donc que les

^, f m^+Zm ^ \ ( m-l)(m-2)

quMl y a en plus dans le premier système soient dépendantes des autres

^"^ ^ » lzz:- '-^ — 2. Concluons donc, avec H. Pliicker, que

l"" Si Von donne à deux quantités variables successivement

( 4 V* — 2j couples de valeurs quelconques, et si l'on suppose

que ces valeurs satisfont à une équation quelconque de m*"^ degré entre

les deux variables , il y aura —^ ! couples de xmleurs nou--

veaux j qui satisfont à la même équation et qui dépendent uniquement des couples précédents.

2** Si l'on connaît l ^ 2J couples de racines des deux

éqiuitions de m"*^ degré entre deux inconnues, Von obtiendra les

I j-T • I couples des racines restantes, sans avoir recours a ces

équations.

Ces conclusions cependant, tirées d'un raisonnement ab absurdo, exigeaient une confirmation directe, pour ne laisser plus de doute. Il fallait démontrer, comme M. Jacobi a fait^qu'il existe eflectivement :

1^ Des équations de condition non arbitraires en nombre égal à celui que l'on a calculé devoir exister. Pour cela, supposons n=.m. Nous

ayons dans le tableap (6) '^"^j L^"" équations entre m* systèmes

de valeurs de Xj y. Le nombre des équations de condition, après réii-

mination des rapports ^, sera donc

précisément celui qui était nécessaire à déterminer les (m — l)(m — 2)

coordonnées que comportent 2~" PP'^^s;

(fn-4- i ) (jw-4- 2) 2** Que \: — 2 solutions suffisent à déterminer deux

équations de m'^"*^ ordre. Or, si l'on assujettit une fonction û de

degré m à avoir 2 solutions choisies parmi celles en

nombre m^, qui sont communes aux fonctions cf et ip, on aura une

suite de j!T — - — 2 équations linéaires entre ^ — J^ ^^^^

ficients. Laissons de côté deux coefficients, que Ton considérera comme arbitraires et que Ton appellera a, a. On pourra de ces équations tirer la valeur du coefficient d'un argument quelconque OJ^j/^ en fonction des coefficients a, a\ laquelle sera linéaire et de la forme

Ap,g, Ap^ désignant fies fonctions rationnelles des arguments formés avec les solutions adoptées. En substituant ces valeurs dans u, on aura une équation de la forme

(13) u = aj Ap^a^Pj/^H- a'2 A>T-

Changeons pjaintenaRt a, a' en (^'autres constantes &, 6'; on aura encore une autre fonction

(14) t) = b^ApgXPf+b'^X'pçX^Y ,

qui jouira de la propriété d'avoir les mêmes ]} — 2 solu-

tions que u. Uais on peut avoir simultanément u=:0, ^ = 0, pourvu que l'on pose

(15) 2]Ap^!/'=0v 2AV»^y'=0.

H' PARTIE. — CHiPITRE I. — § VI. 123

Alors toutes les m' solutions communes à ces deux équations seront communes aux équations u, t), qui d'ailleurs n'en peuvent avoir plus de m', car elles sont de degré m. Dope ces équations (15) comprennent les solutions ^J — 2, qui nous ont servi à trouver les

coefficients Ap^, A'p^. Donc enfin on peut déterminer les coefficients de deux équations ayant m- solutions communes, au moyea seulement de iï±lKîîLt?)2 d'entre elles.

Supposons maintenant quQ les équations ^ et tj^ soiept, non plus de degré égal^ mais ^e degré différent m, n ; il y aura mn systèmes de valeurs

(16) ^lî/l» ^iVi-'-^ninymn*

qui les vérifieront, mais qui ne seront pas tous arbitraires. Le nombre de ceux que l'on peut prendre arbitrairement se déduira du théorème suivant :

E{ant deux équations f = 0, ^ = (2e degré m, n (n<:^m)9 tï y aura entre les mn quantités

XiX^X^,..Xfnni yiyf'Vmn

propres à les vérifier, mn— 3n+l équations de condition.

Démonstration. L'équation ^ = 0, dont le degré est par hypothèse n<Cm, est déterminée par ^ ^^ ^ — 1 systèmes {x, y) choisis

parmi les (16). Les autres mn — 1 + 1 fourniront autant

d'équations de condition parmi ces systèmes. Mais ces mn systèmes doivent aussi satisfaire à l'équation de wi*^'"^ degré. Or, on peut former une équation (p-J-S^^ de m*^"*^ ordre, qui soit satisfaite par les mn systèmes, en multipliant l'équation ^ de n^^^ ordre par une fonction 9 de (m — n)"*^ ordre à coefficients arbitraires, et en y joignant l'équation (f. On profilera des \Î^Ilîî — H^— n+^j çQ^fg^iç^tg arbitraires

pour détruire dans l'équation ^ + 9^ autant de termes. Le nombre de ceux qui resteront sera

(m4-i)(tn+2) (m— n+1)(m— n+i)

Mais pour qu'une telle équation soit satisfaite par les mn systèmes, il faudra qu'il existe parmi ces couples

équations de condition. Le nombre total des conditions sera

mn

Ce qu'il fallait démontrer.

Ce théorème peut s'énoncer géométriquement ainsi :

Étant donnés mn points sur deux courbes algébriques de m**™® et

de n'**"® ordre, (m>n), il y aura entre les coordonnées des points

mn — 3n4-l équations de condition.

Corollaire. Étant donnés mn points sur une courbe du n'^"*® ordre, on pourra faire passer par ces points une courbe de m**™® ordre,

(m>>n), pourvu quil existe entre ces coordonnées ^ ^ ■ équa-

tions de condition.

Il suit de là : V qu'on pourra toujours faire passer une courbe de Yi^iéme Jegré par m points pris sur une ligne droite, ou par 2m points pris sur une courbe de deuxième ordre; 2** qu'on pourra, avec une seule équation de condition, faire passer une courbe de m'^"*^ ordre, (m>>3}, par m points pris sur une courbe de troisième ordre ; etc.

Si l'on avait éliminé des équations (6) les rapports

on aurait trouvé

équations de condition parmi les mn systèmes de valeurs Xj y. Cependant ce nombre pourrait être égal et même supérieur à 2mn, qui est le nombre des inconnues, ce qui est absurde. Prenons, par exemple, m=:l4, n = 3, on aura

n» PARTIE. — CHAPITRE I. — § VI. 125

Il faut donc que quelques-unes de ces équations rentrent dans les autres, et, d'après ce qui précède, leur nombre sera

(w-1)(m-2)+(n-l)(n-2) , ^^ ^ (m-n-inm-n-i) ^

C'est ce que M. Jacobi a confirmé à posteriori par une analyse trèsingénieuse. {Journal de Crelle, t, XV.)

On peut enfin, d'après cet illustre géomètre, démontrer à priori que les équations de condition résultant du tableau (6) ne sont pas toutes arbitraires.

Multiplions, en effet, les équations f et i{/ par des arguments x^^, aî'*'i/P', tels que a+^<n — 3, a' + (3'<m — 3, ce qui pourra se faire respectivement de i^"^ » (m— j ^m— manières. On aura

un ensemble de

équations de la forme

(17) ^c^xPy^^O.

lesquelles, en y substituant successivement les couples a?ii/i,â?2t/ti etc., fourniront à chacune mn équatiotis

(18) ^CpgXiPy,^=0, 2^pça;,Pt/,^=0...2cp^m/tfmn^=0.

i i Multiplions-les successivement par ^, ^, ..., et ajoutons; on obtien-

dra des équations de la forme

Admettons donc que les équations (6) aient lieu, k l'exception d'une seule , il s'ensuivra de l'équation (19), que celle qu'on avait écartée existe aussi. Mais les équations (17) sont en nombre

1 I . /^x w 1 1 . (m— l)fm— 2)+(n— i)(n— 2) équations du tableau (6) dépendent des autres ^

éqaations qui y figurent. Cette conclusion est vraie, quelles que soient

les valeurs attribuées aux quantités - , par lesquelles on a multiplié

les équations (18).

On aurait pu ainsi trouver des valeurs qui leur soient proportion-* nelles, eu les assujettissant à satisfaire k mn — 1 équations de la forme (6) ; les autres équations se trouveraient vérifiées d'ellesmêmes. Par conséquent, ces valeurs devront coïncider, à un facteur près, avec celles que fournirait l'expression

pour les systèmes des solutions x^y^, ^%y%^ "*9 x^nymn^ ^^^i ^^^^ montre que sur les ^ — ~~^ ~"^ équations du tableau (6),

-^ ^-T-^ ' proviennent de ce que les mn systèmes

^lî/it •••> ^mnymn ^^^^ ^^^ solutions des équatious 9 et ^, et fournissent entre elles autant de relations ; tandis que les autres ne servent qu'à donner les mn valeurs proportibnilelles de la fonction S.

CHAPITEΠn.