ÉLIMINATION DES VARIABLES ENTRE TROIS ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES

SI

Biqprettioii et degré de le réftoltàiite.

Soient

(1) { ^=2h.9.xr=o,

trois équations de degré /, m, n, où les indices des coefficients a, b, c suivent dans chaque ternie la valeur et Tordre même des exposants, et s'étendent par conséquent à toutes les partitions que Ton peut faire des nombres l, tn, n en trois parties, zéro compris. Le nombre des termes dans chaque équation sera respectivement

Il s'agit maintenant d'éliminer x, y entre ces trois équations, ou, en d'autres termes, de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que ces équations admettent une solution commune {x, y).

A cet effet, observons que, d'après le théorème précédent, cette solution se trouvera parmi les Im solutions des équations <f et ^^ parmi les In solutions des équations cf et ô, et parmi les mn solutions des équations ^ et 9. Soient

aîiî/i,

• •M ^IrnUbinf

io'iVt,

..M X'tny'lnf

a/'iî/'i,

• • • • *^ fntiH mn}

ces trois suites de solutions, et considérons spécialement ta première. Substituons chaque couple de la suite (3) dans la troisième équation 9, et formons le produit

(6) ^=KK^iyi)^i^tyt)H^Byz)''^s{xtmyim)j

Aq désignant le premier coefficient des résultantes X ou Y des équa* tions (p et ^ : ce produit s'annulera si une des solutions (3) satisfait encore à l'équation 0=0; réciproquement, si ce produit s'annule, l'équation 6=0 sera satisfaite par une des solutions (3). Par conséquent, ce produit sera la résultante même, puisqu'il exprimera la condition nécessaire et suffisante pour que les trois équations proposées admettent une solution commune.

Il est évident qu'on aura aussi

(7) ^=A:j"<^{x\y\)^{x\y\)...^^{x',ny',n),

(8) ^=^"Mx\y\)<f{x\y\)...<f{x"„^y''^),

A'o« A^'o étant les premiers coefficients des résultantes X ou Y des équations (ç, ô), (^, 6).

Observons maintenant que l'expression (6) de la résultante contenant Im facteurs 6, sera de degré Im par rapport aux coefficients de l'équation 0. De même, les expressions (7) et (8) font voir qu'elle est de degré Im et mn par rapport aux coefficients des équations v{^ et (p respectivement. Par conséquent, le degré de la résultante par rapport à t'ensemble des coefficients des trois équations sera

mn+lm-^ln.

On peut vérifier autrement cette conclusion, La plus grande des sommes jpi+Çj, fournies par les exposants des termes qui figureront dans la résultante (6), est, au plus, n. Donc, d'après le théorème page 112, le plus haut degré de la fonction symétrique multiple contenue dans ces termes, par rapport aux coefficients de ç et ^p, sera n{l-\-m). En y ajoutant Im, qui est évidemment le degré de R par rapport aux coefficients c des fonctions 9, on aura le degré cherché de la résultante. On comprendra maintenant pourquoi les produits 6, (p, ^ qui entrent dans les seconds membres deviennent entiers par Tad-

Gooçle

II« PARTIE. — CHAPITRE IF. — § If. 1*29

jonction des facteurs A^", A'^"*, A'^. Mais il y a plus. Rétablissons z dans les trois équations données, ou, ce qui revient au même, changeons en général le coefficient Opgr en CpgX» Alors un terme quelconque de R, quiy dans Thypothèse de 2 = 1, était de la forme

(9) Ca?,P.y,9.a? P.y.^.V»ys^«. . .a?(m^'1(/m^'*», se changera en

(10) Ca:\P.y\^.a^.a?'P.y>%ay>y^^^

x\ y' désignant les solutions des nouvelles équations. Mais on a x'zzLzx, y'=zy, j>i+gi+ri=n.

Par conséquent, l'expression (10) n'est autre chose que celle (9) multipliée par z^^'^. Ainsi , la résultante R obtenue dans le premier cas acquiert le facteur z^^ par le changement de apgr en apgfZ\ En d'autres termes, la résultante est isobarique et de poids Imn par rapport aux indices r. De la même manière, on verrait qu'elle est isobarique et de poids Imn par rapport aux indices p et q. En résumant ces considérations, on arrive à ce théorème *' La résultante des équations (1) est : V de degré mn, In, Ira par rapport aux coefficients des équations 9, v|/, ô ; de degré Im4-ln4- mn par rapport à leur ensemble; 2"" isobarique et de poids Imn par rap^ port à chaque système des indices* ^