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Tormatîon de la rèfullante au moyen def fonotiont tyméirSquef.

Développons le produit (6). Un terme quelconque de la résultante sera

S étant la plus grande des sommes |)i+îi > l>2 + ?2 , etc. On calculera la fonction entière des coefficients de ç et ip correspondant à la valeur de la fonction symétrique

130 THÉORIE GÉNÉRALE DE rÉLIMINATION.

par la méthode que nous avons exposée au chapitre précédent; et

en la multipliant par K'\.g.r^Cp.q.r.^*'<^Pimqimfim^ ^» ^^^^ '^ ^^*^"^ du terme en question. En additionnant tous les résultats obtenus pour chaque terme, on aura l'expression cherchée de la résultante. On peut, d'ailleurs, en obtenir facilement quelques termes ; par exemple* ceux dont les arguments sont

donneront

(11) (-l)^'"«c„oo^'"A,,^ (-l)''"«Co,oB/,«.

Au moyen des formules (7) et (8), on obtiendra encore les termes

(— ij^^^WA^^»", {-ly^^hJ^^'i;^,

En substituant ensuite pour A, B leurs valeurs, on trouve pour premiers termes de la résultante

r O-n .»»wl| In g, Imi^gi mnh In g» Im i y jnnh In^» Im \ I ^^"0/0 *'moo ^omn ^^"aoi ^moo ^'Ono 'T'f^ool ^omo «'noo * J

Mais cette méthode n'a que l'avantage de prouver la possibilité d'obtenir l'expression de la résultante; car, à cause des longs calculs qu'entraînent les fonctions symétriques multiples, elle est presque impraticable. On gagnerait, par conséquent, quelque chose, si l'on pouvait réduire les calculs à ceux des fonctions symétriques simples. C'est ce qu'on peut faire en généralisant la méthode de Lagrange. Prenons donc le logarithme de R ; on a

R==nlogAo + loge(aî,yi)+log%2Î/2)..--4-loge(aj/^î/;,„). Développons chacun des logarithmes contenus dans ce second membre, suivant les puissances ascendantes de Xj y ; le développement sera très-facile, en ayant recours à la méthode que nous exposerons à la suite de l'ouvrage. On obtiendra de cette manière log R sous la forme

logR=nlog Ao+ SCp,, [Sa;Pî/^].

Il ne restera plus qu'à calculer des fonctions symétriques simples SojPî/^. Alors, en posant

2Cpç[SxPî/^]=r,

U« PARTIE. — CHAPITRE II. — § ffl. 131

on aura la valeur cherchée de la résultante R par la série

en convenant toutefois de négliger dans le développement des fonctions les termes dont le degré dépassera celui que doit avoir la résultante.

Méthode de Bexoot.

Bezout a donné, pour trouver la résultante, une méthode qui, à part les facteurs étrangers qu'elle introduit, mérite d'être remarquée. A cet effet, il multiplie la première des équations (1), § I, par un polynôme complet en x, y, de degré m + n — 2, la seconde ^ par un polynôme semblable de degré /+ w — 2, et la troisième par un autre de degré /+m — 2. Soient *, W, ces polynômes multiplicateurs, et formons la somme

qui sera une fonction en x, y de degré l-^m+n — 2, jouissant de la propriété de s'évanouir avec y, ^ et 0. Disposons maintenant des coefflcients de *, W, pour faire évanouir, ce qui sera toujours possible, tous les termes en x, y dans la nouvelle fonction. Il restera, après avoir convenablement employé les valeurs des coefficients ainsi déterminés, une fonction des coefficients des équations proposées, qui jouira encore de la même propriété. Mais comme elle sera de degré supérieure la somme mn+lm+ln, elle ne sera pas la résultante, mais bien la résultante multipliée par un certain Facteur. Si toutefois on arrive à écarter ce fadeur, on aura trouvé la résultante que Ton cherchait.

Posons, en effet, s=zl + m + n} la fonction F contiendra

s(s—i) , . , , , /(^— i)+m(m— l)+n(n— 1) ^ '~4m+ln+mn + - ^ '-

termes. D'autre part, en appelant v le nombre des coefficients arbitraires, en a

v = l {{s ^/l)(5—0+(iî—m~l)(5—m)(5-m— !)+(«— n)}, = i{(5- l)2s + i*+m*+n*+5M'

Donc, puisque Ton a toujours v>>fjty il faudra établir

nouvelles équations de condition entre les y coefficients arbitraires , afin que ces v — fi équations, ajoutées aux fi équations déjà obtenues, donnent un total de v — fjt+fx = v équations égal au nombre même des arbitraires. Alors , en considérant ces coefficients arbitraires comme autant d'inconnues, on aura un système de v équations linéaires, qui fournira, par l'élimination des inconnues, une fonction de v" ordre.

Hais on a

v=Jm + /n+mn + {/(/— l)+m(m— l)+{n— 1)} ;

donc cette fonction aura un degré supérieur de

unités à celui de la résultante. D'un autre cdté, cette fonction doit s'évanouir avec la résultante; donc elle contiendra en plus de la résultante un facteur de

ordre, qu'il s'agira, dans les cas particuliers, de trouver et d'éliminer. Cela fait, on aura obtenu la résultante que l'on cherchait. Voici un exemple propre à faire comprendre la méthode. Soient les équations

iaxy + bx + cy + d^=0, axy+ b'x+ cy+ d'= 0, a"a:y+ V'x+d'y+ d'— 0.

Multiplions-les respectivement par les polynômes

a^+|3j/+y, a'a;+(3'î/+y\ /aj+P"î/+/.

n« PARTIE. —CHAPITRE II. — § III. 133

et additionnons les produits. En égalant à zéro les coefûcients des différents termes, on aura une série de conditions entre les coefficients arbitraires a^ |3, y, ..., que le lecteur attentif trouvera réunies dans le tableau qui suit :

(2) ay c b a c' b' a' c" b" a" =0

Dans ce tableau, les éléments des lignes, multipliés par les quantités situées en tète des colonnes et sommés ensemble, donnent les coefficients des arguments indiqués à gauche du tableau.

Dans le cas actuel, le nombre des arbitraires, ou le nombre des colonnes, dépasse d'une unité le nombre des équations, c*est«à-dire le nombre des lignes. Nous pouvons donc assujettir les arbitraires à une condition de plus.

D'ailleurs, le degré de la résultante des équations (1) est 6. Car, sans passer par d'autres raisonnements, on voit immédiatement que la résultante est

En réduisant donc le tableau à six lignes et à six colonnes, au moyen d'un choix convenable des équations de condition ou des arbitraires, nous serons assurés d'obtenir la résultante.

Posons, par exemple :

(3) ca+cV+cV=0.

ab'—a'b

ac' — a'e

ad'—a'd

ab"—(i'b

ud'—aTe

ad'—a'd

ar—a'^'

aV-aV

dd—d'd'

Alors, comme on a

a«+aV+aV=0,

il viendra un système de trois équations de condition entre les arbitraires «y a^ a ^ auxquelles on pourra satisfaire en posant a = «'=«"= 0. D'après cela, les autres six équations de condition entre les six constantes arbitraires p, y, |3', y , ^\ y fourniront pour la résultante le déterminant

ety par conséquent, on aura encore

(4) R= {abc){bcd) — {acd){abd).

Hais si, en ajoutant Téquation (3) aux précédentes (2), on avait considéré le tableau (2) comme composé de neuf lignes et de neuf colonnes, la résultante aurait pu être mise sous la forme

mais on y aurait introduit inutilement le facteur étranger (abc). Un pareil résultat s'obtiendra encore en posant