CHAPITRE II
-Sffl.
et l'on aura, après avoir (
écarté le facteur étranger {aedtjf
Posons, aa conti
aire,
dy+dT/z^O,
la résultante sera
ad'—a''d
cd'—e"i
=((kr'— a''d)R.
Les polynômes multiplicateurs de degré s — l — 2, s — m — 2, 5-n— .2 auraient, d'après Bezout, l'avantage d'introduire le moindre nombre des coefGcients arbitraires. Cependant, suivant les cas, on peut faire encore mieux.
Supposons que les polynômes multiplicateurs <>, W, 6 soient de degrés — l — *, s — m — A, s — n — h. On aura
(5) v=i{{«-/-h+l)(s-i-fe+2)+(s-m-/n-l)(s-m-ft+2)+(s-n-ft+l){«-»i-fe+2)} =f*+| { /(i-2fc+3)+m(m-2fc+3)+n{n-2fc+3) } ^.(fc— l)ft 2),; et (6) / x— ^*~ g '^^^ =fm+/n-Hn>H-|{/(t-2ft+3)+m(m-2ft+3)-Hn(n-2hH-3)+(ft~l)(/t-2)}. Ainsi fx se réduira à lm+ In+mn toutes les fois que (7) Z(i— 2*H-3)+m(m— 2A+3)+n(n+2A+3)+(A— l)(fc— 2)=0. ,
Si cette équation est vérifiée, le nombre v se réduira à
v = /m+/n+iwn+l(fc— l)(ft— 2).
Or, on peut vérifier la condition (7) en prenant
{=:ni=:3, n=2 pour A=3,
/=6» m=»=2 ft=4,
î=6, m=n=3 ft=:4, etc.
Mais on aurait une arbitraire disponible dans le premier cas, trois dans le second et dans le troisième. Alors, en assujettissant ces arbitraires à autant de conditions nouvelles, on pourra rendre le nombre des arbitraires égal à celui des équations; mais la résultante se trouvera associée à un facteur étranger de premier ou troisième ordre. Si Ton avait pris au contraire, comme avant, A=2, les facteurs étrangers auraient été respectivement de quatorzième, trente-quatrième, quarante-deuxième degré. Prenons, par exemple, le premier cas, et soient
iax^ + bx'^y + cxy^ + dy^ + ex^ + fxy + gy^+hx + ky + l=^0^ a'a^+b'x^y-H'xy^dy+e'x^+f'xy+gY+h'x+ry+y^O, a'x^-^V^xy+cY+d'x+i/'y+r^O.
les trois équations que Ton considère. En opérant comme il vient d'être dit, on obtiendra vingt et une équations entre vingt-deux arbitraires «1, (Xg, ... «32, que nous écrirons comme il suit :
Il" PARTIE. — CHAPITRE II. — § III. 137
*«•! *1» «li ««0
fl"
dt
tf' b"
ai»y
ay»
av»
xg
Il n'y aara donc qu'une relation à établir entre ces vingt-deux arbitraires, pour qu'en les éliminant on obtienne, à un facteur près de premier degré, la résultante des équations proposées.
Quelquefois on peut simplifier la recherche de la résultante, en laissant de côté quelques termes des polynômes multiplicateurs.
Soient, par exemple, les équations
iax^ + by^ + fxy + ex + dy + c=:0 (*), ax'+by+fxy+e'x+d'y + c = 0, arx'+by+fxy+e"x+d"y+ c"=0.
En donnant au polynôme multiplicateur la forme
aj?*+py*+ea; + iy + y,
on arrivera au tableau suivant :
(*) Nous écrivons ainsi l^équalion de second ordre pour nous conformer à la manière dont on écrit ordinairement sous forme homogènei à savoir :
flKç'-+- 6y «-+• c?*-h dyz -H exz -¥■ fxy = .
af
if
«tf
Les éléments compris dans les barres forment exactement nn déterminant de quinzième ordre : il ne différera donc de la résultante que par un facteur de troisième ordre, qu'on découvrira aisément; car en partageant le déterminant en deux parties par une ligne menée entre les colonnes ^'' et y, on le décomposera en une somme de déterminants de sixième ordre par des déterminants de neuvième, dont les premiers auront tous en facteur le déterminant
En dépouillant donc le déterminant ci-dessus de ce facteur, on aura la résultante cherchée» Soit R cette résultante, et posons en général
{abc) =
il viendra
n* PARTIE. ~ CHAPITRE II % TV. 139
(10) Rsr={ (aed)[(dd/)+(a6«)]-((W^} [{def)^{abc)]-^(acn(adn ] { [bàf)[ede)+(bcn{be€) } +{ (ahf) [ac/)-{adc)]+(a6e)«-.(««/)(fte/) | { {cef)(bcd)^{h€e)*^(hde){cde)} — { («W) [{ade)'-(acf)]+((ae)(abc)'^(a€f)(eéf) } { (a6d)(c(le)— (a6e)«(c(ïe) } +{ (ae$)[{adfj+(abe)]^(aen(cef)'--{acf)^ } { ib€f)(bed)+{acd){hcf)^[abdi{cdf) ] —{(abd){ac€)^(acn(abc)'-'{aeO(bce)}{[(aHÎ)(bcd)^^ -*-{ (abd){acd)'-(ahc}^^{a€f)(bcd) ] { (abcy-- {abd){acd) } + {{abf)(acd)+{acf)iahc)-^(a€f)(bc() } { (ac/X6cd) + (6(ie)(ocd)-(a6c)(«w») } +{ {abn{bcd)[{aef)(acd)^(aef){cde)-[abc)(ace)] } — { (d6/)(6<«l)[(a6/)(flftc)+(afce)(add)-.(<w/)(6(f/) } .
On peut vérifier ici la loi de réquipollence. PrenoDS un terme quelconque , par exemple, celui-ci :
{ahf){ade){cef){hcd).
qui se trouve dans la deuxième ligne. Suivant nos notations, ce pro* duit serait
(«joo7^oto>^iio)(^ioo>^oii>^ioi)(^ao«>^ioi>^iio)(^o20>^oo«>ûoii)»
et Ton voit bien que les sommes des premiers, seconds et troisièmes indices
2+1+2+1+1+1=8, 2+1+1+1+2+1=8, 1+1+2+1+2+1=8, sont constantes et égales à 8=2', comme cela doit être.
S IV
Kéihodo de Sjlveiter.
La méthode de Bezout, que nous venons d'exposer, laisse toujours subsister, dans la résultante à laquelle elle conduit, un facteur étranger, qu'on ne peut éliminer sans effectuer des opérations générale-ment très-laborieuses, et qui même, une fois faites, masquent les propriétés que la résultante aurait révélées, si elle avait été présentée sous une forme simple et concise. Il importait donc d'avoir une mé-
Gooçle
thode exempte de ces désavantages, et qai nous conduisit directement à une expression de la résultante dépourvue de tout facteur étranger. M. Sylvester a comblé cette lacune par une méthode qui, quoiqu'elle s'applique à un nombre restreint de cas, ne laisse pas que d'être très-ingénieuse et très-féconde.
Soient donc
(1) tf{xy y, «)= 0, 1^(0?, y, z)= , 6{x, y, z)—0
trois équations homogènes de degré m, et appliquons-leur le procédé déjà employé au § III, chap. II de la première partie, qui consiste à multiplier successivement les équations par des arguments tellement choisis, que les équations dérivées soient en nombre égal à celui des arguments qui y figurent. Alors, en considérant ces arguments comme des inconnues, on aura par leur élimination la résultante cherchée. Ainsi, dans le dernier exemple, page 137, le déterminant de quinzième ordre aurait pu s'obtenir en multipliant les équations proposées (9) par les arguments â?*, y*, x, y, 1.
Premier procédé. Posons
(2) r+r'+r'=m-^l, s+8+$"=:m—l, H.('+r=m— 1, et formons les produits de degré 2m— 1,
(3) xyV>, a?*y*V"4/, a?'y'V"e,
qu'on pourrait appeler les augmentatifs de (p, ^, 6, ou simplement les fondions augmentaiives. Ou aura pour chaque équation autant de ces fonctions augmentatives qu'il y a de manières de décomposer le
nombre m — 1 en trois parties, zéro compris, c'est-à-dire — ^-r .
Par conséquent, le nombre total des augmentatifs pour toutes les trois équations sera 3 "^\"^ . Mais une équation homogène a trois variables de degré 2m— 1, comportant ^ ^ — - arguments, il faut aussi avoir ^ ^ équations pour les éliminer, tandis que nous n'en avons jusqu a présent que 3 ^ , c est-a-dire -^-r — - de moins. Il
n« PARTIE. — CHAPITRE II. — § IV. 141
reste donc encore à trouver — ^—"^^ équations, afin de les ajouter aux
précédentes et de rendre ainsi possible rélimination. A cet effet, décomposons les trois équations ^ , 4^, 9 de cette manière :
if 9=aî*A + yPB + 2TC = 0, 4;=aî«A'+t/PB'+ 2TC'=0, = aî«A"+yPB"+ 2TC'= 0,
oLy ^, y étant trois nombres entiers quelconques soumis à la condition
De ces éqaations on tire, par rélimination de afl-, y^, gl, la fonction
