ABC A' B' C

que nons appellerons dérivative, de degré

et que nous désignerons par le symbole n(a, ^, y).

Parmi toutes les valeurs qu'on peut assigner aux exposants a, |3, y, prenons celles qui sont différentes de zéro, et dont le nombre sera

on aura obtenu ^ équations de la forme tr(a, ^, y), et qui seront

précisément les équations qu'on cherchait.

Or, je dis que ces valeurs sont les seules admissibles, car les autres donneront lieu à de simples identités. D'abord, on ne peut pas prendre deux exposants à la fois nuls , car on aurait

a, ou ^, ou y==m+l,

et les équations (4) monteraient à un degré supérieur à m; d'ailleurs, la fonction (6) s'annulerait d'elle-même.

Considérons ensuite le cas où un seul des exposants a, p, y serait nul. On sait, par la théorie des déterminants, qu'en posant

on a

'*~5b* ^~Sb^^ '*~5r^

^^ dw ^ dir 1^ di7

^~dQ^ ^~de» ^"dC""

(8) j a;?7r(a, p, y) = 1019 +/^ +fx"9 ,

ou les fonctions A, fz, v sont respectivement de degré

Or, si un des exposants a, p, y est nul, la fonction 7r(a, /3, y) s'identifiera avec un des trinômes situés dans le second membre (8). D'ailleurs, dans ce cas, eu égard à la relation (5), les degrés des fonctions X, II, V deviendront 2m — (m+l):=m— 1; par conséquent, la fonction 7r{a, j3, y), pouvant être mise sous la forme

deviendra une fonction linéaire des augmentatifs déjà considérés, et ne constituera plus une équation indépendante.

On aura donc, au moyen des fonctions augmentatives et dérivatives, un système d'équations linéaires, propre à fournir par l'élimination des arguments la résultante cherchée, sans facteur étranger. Car il est aisé de voir que le degré de la résultante sera

ce qui doit être.

Second procédé. Posons

r+/+r'i=:m— 2, 5+5'+s''=m— 2, t+t'+f=m—2; les fonctions augmentatives seront alors de degré 2m— -2. Formons maintenant les équations