PARTIE. — CHAPITRE H. — § IV
on obtiendra pour la résultante le déterminant
yj.
*^ -ry»
id
ae-
ar 6'
tf b'
(e(fc),(/6c)+(«6(J),(/ac)+(«l«>),(o/c)+(<«fe),(a«te)+(e/c),(a/a)H-(ak),^^
OÙ par le symbole {ahc) on entend en général le déterminant
abc abY a%Y
M. Sylvester a encore indiqué d'autres procédés d'élimination qui, bien qu'ils ne diffèrent des précédents que par la forme, sont cependant d'un emploi plus simple. Posons
dx dy dz
dx dy dz
de de de
dx dy dz
cette fonction sera de degré 3m — 3 et s'évanouira pour toute solution commune aux trois équations (ir théorème, au dernier chapitre). Voyons comment on opérera avec cette fonction, suivant les cas que nous avons déjà examinés.
Premier cas. Les iqualtons (1) sont toutes trois de degré m. — Premier
procédé. Formons, comme avant, les 3' ^^"^ fonctions augmentatives. Pour trouver ensuite les autres - ^^T" fonctions auxiliaires, opérons sur la fonction P avec les symboles [ j-j , Ij-j , l-r-j , et les autres produits homogènes de degré m — 2 en T-» x-> t-; on
obtiendra des fonctions de (2w—l)^'"^ degré et de troisième degré par rapport aux coefficients, qui, ajoutées aux précédentes, fourniront un système de- ^ ^^ — ^ équations à autant d'arguments, propre par conséquent à fournir |a résultante.
Deuxième procédé. On formera , comme avant, les 3 — 5 — fonctions augmentatives de degré 2m — 2, à l'aide d'augmentatifs de degré m — 2, et Ton remplacera les fonctions dérivatives par celles que
Ton obtient en opérant sur P avec les symboles homogènes |^| ,
{ti^' {jz]^' ^*^'' ^^"* "^ nombre aéra ^^H,^. , i .
Deui^ième cas. Les équations (f et ^ sont de degré m j la 9 de degré m-^1. Alors les augmentatîfe pour les deux prQpaières équations ^ et ^ sont aî^"-2, y'"•"^ z*"~^ etc., et pour la 9, x"^'\ ^'""S ^'""S etc. On substituera ensuite aux fonctions dérivatives les produits homogènes et symboliques
lesquels fourniront, puisque actuellement P est de degré 3m — 4, les ^^^"^ ^ équations de degré 2m — 2 qu'il fallait avoir.
Troisième cas. L équation (f est de degré m, et les deux autres de degré m — 1.
On emploiera les mêmes augmentatifs qu'dai^raveot, et bu lieu des équations dérivatives, les dérivées homogènes
En observant que P est de degré 3m — 5 , ces dernières fonctions résulteront de (2m-— 3)^* degré, A l'aide ensuite de ce que nous avons dit, p. 144, on verra facilement comment on pourra utiliser ces équations pour la recherche de la résultante.
