CHAPITRE I

raomÉTés bblativbs aux soLunoifs oomninn.

Foyiolîom fjqiétrS^aef d^ f^tio^ oo^pMiMinef.

Avant de traiter de la résultante dans le cas le plus général, il ser^ bon d'apprendre à calculer, comme nous l'avons fait précédemment, les fonctions symétriques quelconques des solutions communes à plusieurs équations en fonction das coeffietents ^ ce qui nous facilitera beaucoup les recherches ultérieures que nous aurons à entreprendre. Notre exposition sera désormais plus rapide , afin de ne pas restreindre trop les matières, sans sortir des limites du «adre que nous rou^ sommes fixé.

SoitrCi, ifi, Zi, •.., Ut un système de solutions communes aux h équations à k variables

et désignons par

une fonction symétrique de i**^* ordre, c'est-à-dire de l systèmes de solutions communes. La fonction symétrique sera applée simple^ double, etc., suivant qu'elle se composera de 1, 2, etc., systèmes de solutions^

148 THÉORœ GÉNÉRALE DE L^ËLIMINATION.

Or, puisque l'on a généralement

— 2(«i'''-^'yi«'-^<'-^^..»i''-^'0(«.'''y.«'---tt.'*)---(»/w'''-

— 2(a:/■y.'■2i'^..tfi'0(^'•■^'y«''■*^'2.'•■^'•••W•""0•.•(«/-i'''-■y^^^^

il sera aisé de se convaincre, comme an paragraphe V, chap. i, H' partie, qu'une fonction symétrique quelconque peut s'exprimer au moyen des fonctions symétriques simples. La formule qui fournira cette expression sera, par les mêmes raisons qu'on a signalées dans ce paragraphe :

(4) »/=2("~*)'""^to)^W— ^(oS'N''^- ••*'^«'

sons les mêmes conditions et notations du chapitre i, I" partie, p. 7,

à l'exception de t\g, etc., qui maintenant désigneront les fonctions

simples

2a!^'.+^'.+-+^»y^'«+^'.+-+^»...ux.<*'+V*'+-..+V*', etc. ;

c'est-à-dire qu'on aura

(>t«+i,W+...4.X,(»))H-(X.W+i,W+.«+X*(*))+.„+(XW+Xi»)+^ X^(*) pouvant être un quelconque des exposants (2). Il viendra, par exemple,

m* PARTIE. -. CHAPITRE I. — § I. 149

Par cette formule, le calcul d'une fouction symétrique quelconque est réduit à celui d'une fonction symétrique simple , laquelle , à son tour, se calculera aisément à l'aide de ce qui suit :

Supposons que les équations <fay ..., (fu ^ient été mises sous la forme de fonctions homogènes

et posons

En joignant cette équation aux k précédentes, et en éliminant les variables x^y, z^ ...^ v, on obtiendra une résultante que Ton pourra toujours ordonner par rapport aux puissances d'une des constantes a, ^, 7, ..., fXy par exemple /x^ et qui fournira nécessairement une équation de la forme

(6) AoptP+AipiP-*+-.. + Ap=0,

p désignant le degré de Féquation finale des équations (5).

Mais on peut tirer de cette équation les valeurs de S/x*^ en fonction des coefficients A; et, comme les racines de cette équation sont précisément les valeurs de

correspondantes à chaque système de solutions des équations proposées, on aura, en vertu des principes posés dans le chapitre i, P* partie,

Ao''2(=ï±^îÇ2^)''=r(Ao,A,....Ae).

Ï80 THÉOBIE GÉNÊRAte DE L'ËtMNATlON.

f désignant une fonction entière^ homogène et îsobariqUe des coefficients Â, dont le degré et le poids seront r^

Comparons n^aintenant les coefficients qui» dans chaque membre, multiplieront un même argument aP^'''/*^.; il viendra

Ao"i;^&--F(«,fe,o fe).

où p+î+^+»«*î=*''» et où F(a, fr^ c< .éi, k) représeûté une fonction homogène des coefficients des équations proposées^

De cette manière on aura la valeur que Ton cherchait d'une fonction symétrique simple. Par suite, on obtiendra, au moyen de la formule (4) y la valeur d'une fonction symétrique quelconque» Ainsi, la recherche de la valeur d'une fonction symétrique de k variables liées par k équations se réduit, en égalant à Une nouvelle variable, dont on dispose ensuite, Une fonction linéaite quelcodque des variables, à trouver la résultante de k équations à k — 1 variables. Mais, comme on verra dans les paragraphes suivants, la recherche de la résultante relative à k variables se réduit pareillettient â celle d'une fonction symétrique relative à k — 1 variables. Ainsi, de proche en proche, tout finira par dépendre de la résultante de trois équations à deux variables, qiie nous avons déjà appris à Jformek*; et, par conséquent, la détermination d'une fonction symétrique tie soufiTrità pas de difficulté. — Cette tliéthode est due à Poissoti (*).

Les detit théorètaes suivants serviront, d'ailleurs, soit à vériBei*, soit à faciliter les calculs.

V Le degré de ht fontiion

fwr r0,pport aux coefjjiGients A de la résulUmU (6) est égal à la plm grande des sommes

Pi+?i+^i+-.» Pi-t-ït+rt+-., P/+îi+rH-...

Comme la fonction est évideinment entière et homogène relativement ûux rapports —, il suffira de voir de quel degré sera son dénominateur Â^.

(•) ll« cahier du Journal de l'École Polytechnique.

m* PARtiË. — (ïHÂtrrïiÉ i. - § i- isi

Soit, par exemple^ h pféttiière la pins grande des sommes, et posons

Si A^î ti'est pas lé dénominatetir de la fonction w/, ce sera A^«-+-t, f désignant nn nombre entier quelconque. Hais, en appelant M le coef^ fiôient de a^ dans la résultante (6), on a

car, comme on verra plus loin, cette résultante peut se mettre sous la forme

Pat* conséquent, il viendra

et, diaprés Thypothèse que noui avons faite, la fonction

A.-»-A.*2tfe)"fe)'--(l)'1!fê)"(l)"-&:)'-Ê)1-

devra être entière. Mais si Ton avait calcnlé directement h fonction

comme on a fait pour la fonction (p^, on aurait trouvé que pour la rendre entière, il suffit dé la multiplier par nne puissance de M. t)onc le facteur A^'^ ne pourra pas exister, et Ton aura t=0, ce qui démontre le théorème énoncé.

Cette démonstration est due à M. Schiseffli. Mais on peut se convaincre autrement de ce théorème. La fonction o/ est évidemment comprise dans la fonction

Or, cette fonction symétrique des racines p de l'équation (6) est, d'après la quatrième propriété, p. 10, de degré ç par rapport aux coefficients A; car, par hypothèse, ç est le plus grand des exposants^ Donc il en sera de même de la fonction cû^.

2^ Le poids du numérateur de la fonction cùi est

ps — Sp, ps — Sg, ... 2p+Sjf+...+2<,

par rapport respectivement aux premier s^ deuxièmes, troisièmes, ...et derniers indices des coefficients a, b,Cy...h, kd^s équations propo^ sées (l)y en désignant par 2p, 2q, ... 2)1 les sommes des exposants des variables ï, y, z, ... u dans la fonction c^i (2).

Nous croyons pouvoir nous dispenser d'en donner la démonstration, car elle serait entièrement semblable à celle que nous avons observée pour le cas de deux variables, p. 113. Nous ferons seulement remarquer que p étant le poids des coefficients  de l'équation (6), kpç sera le poids du dénominateur A^^ par rapport à tous les indices, ce qui expliquera assez la valeur Sp + Sgf+... + ï^ par rapport au dernier indice, que nous avons donnée.

Les théorèmes et la méthode que nous venons d'exposer ne laissent pas de conduire à des calculs bien pénibles. On doit donc savoir gré à M. Betti, éminent géomètre de Florence, qui tout récemment a donné {Annalidi matematica, Rome, 1858) une formule pour calculer les fonctions symétriques des solutions communes à plusieurs équations, analogue à celle de Waring, dans le cas d'une seule équation. Ne pouvant faire mieux que de suivre la pensée de l'auteur, nous reproduisons presque textuellement ce qu'il a écrit à ce sujet.

I§ li.

Formule de Betti.

Soient n équations de degré m k n inconnues ,

(j) J Ps=2c(r„ r„ ... r„),a;„'»--'a;„,'-'-''...a;i''"--''-=0, F«=2c(ri,r„ ... r„)^„"'-''aj„/'-'''...a;,'-«--''»=0,

m» PARTIE. — CHAPITRE I.— § II. 153

où le signe S s'éteDd à toutes les valeurs entières et positives de fi ,

^21 ••• ^Hf pouï* lesquelles on a

(2) ^«<rn-i.-<rn-5...<rj<ri<m,

où

et (r^, fa» ... r„), désignent le coefficient littéral d'un argument dans F,.

Appelons poids total du produit de plusieurs coefficients des équations (1), la somme des exposants de tous les facteurs multipliés respectivement par les sommes de leurs indices ; et poids partiel i^^^ la somme des exposants de tous les facteurs multipliés respectivement par les indices d'ordre t^^

Cela posé, afin qu'une fonction /* rationnelle et entière des coefficients des équations (1) soit homogène et de poids total d, il est nécessaire et il suffit que Ton ait

et afin qu'elle soit homogène et de poids partiel (p, par rapport aux indices ^^*, il est nécessaire et il suffit que Ton ait

Considérons maintenant les opérants

(8) ^n,t—^{rt—rM){riiru, ••.ri.+i— l,r„+,--l,...ri-l,f,^,,...r„),— — —,

OÙ t<ja, et le signe S doit s'étendre à toutes les valeurs entières et positives de ri, r^, ... r„, qui satisfont aux conditions (2) et à toutes les valeurs de s comprises entre et n+1 , en ayant soin de poser

Il est évident que si f est une fonction homogène et de poids total Q,

iS4 THÉORIE OËKÉÀAtfe »E L'ÉLIMINATION.

^v,iùfietli horttogède et de poids total 9+t;— «to; que û elle est hotno* gène et de poids partiel ç par rapport à l'inditie ç**^, /i^,é»f serin homogène et de poids 9^1 1 7, tf-^ï par rapport au même indice, suivant que c<)<9<v+l, ou que q est plus grand, plus petit ou égal au plus petit des deux nombres v et w, ou bien suivant que t)<g<û)+l.

Or, si dans lés équations (1) nous substituons , au lieu des incotl-* nues, leurs valeurs respectives en fonction des coefGcients propres à former un système de solutions communes, nous aurons un résultat identiquement nul. Par conséquent, si, après avoir fait cette substitution, nous traitons le premier membre d'une des équations (1) avec un des opérants (6), (7), (8), nous obtiendrons identiquement zéro. Ainsi, avec l'opérant (6) il viendra

ou bien

Avec les opérants Am^h, A^^i on aura de même

(11) 2c(r„r„ ...rn)sXn^^Xn^i^^'-^^...X,^^'^n^^^^

En donnant à 5 successivement les valeurs 1^ 2» ».. n^ on obtiendra de chacune des équations (9), (10), (11) n équations linéaires à ninoonnueîà, lesquelles seront pour la première lés n Tâleurs A^,b«„«„, pour la seconde les n valeurs Ap,aaî„«„, pour la troisième les n valeurs Aw,ia?„„. Par conséquent, il n*y aura qu'un seul système de valeurs pour ces inconnues, et il sera fourni par les équations (12) A^,tt«,^=0 A^,,^^=:— û?««„ (p différent de l), par lesquelles les (9), (10), (11) se trouvent vériBées d^elles-mênfes. Il faut seulement observer que, lorsque l^rrii, on substitnera atlx équations (12) la

(^ 3) Afl^„p= Xn^n-u ;

W- PAArm. - iCHAI^ltRÈ 1 - s tf* 155

lorsque ui±in,ùh itmplacerd la secôAdé dés équations (19) pat

et lorsque tz=:u=:n, on prendra^ au lieu de la première équation,

(15) Aa^a?n-p = a?„^p.

Les équatioDS (12), (13), (14) et (15) fournisseut un système d'équations à dérivées partielles linéaires et simultanées, qui doivent être vérifiées par tous tes systèmes de solutions cotûiliunes aux équa-* tions (1) (*).

Soit maintenant

(16) R=SPpa?i«-e

la résultante des équations (1), en y (!onsidérâifit(r^, ùs^^ .^. iCn seulement coùime variables. Si, au lieu de Xi, notiB mettons une dt ses valeurs qui figurent dans les systèmes de solutions communes aux équations (1), on aura un résultat identiquement nul; il en sera de même si après cette substitution l'on opère avec ub des symboles \n* Ainsi, en vertu de l'équation (13)| on aura

( =2^,»-p { A„,„.,Pp-. (p+1)Ph-i } .

Cette équation est dé ttiéme degré et doit èti^ satisrâité pat \tfi mêmes

(*) Si Ton pose n=sl, et si l'on suppose l'équation écrite sous la forme

les équations (t4), (IS) et (1$) deviendront

* dar

dont la seconde donne Sfûr ~s=:aî| et coïncide avec celle que fournit ta (15), en observant que Smor j-^=0, car les racines sont hon^ogènes et de degré zéro par rapport

aux coefficients. Les équations avaient été déjà trouvées par Raabe et Brioschi {CréUe, S8, Ann. de Tortolm, 5).

racines que la (16). Par conséquent, il fant, ou que son premier membre soit identiquement nul, ou que ses coefficients soient proportionnels à ceux de la (16). Or, cette dernière condition est inadmissible; car les coefficients des deux équations sont bien de même degré, mais ils difl%rent dans le poids par rapport au dernier indice. Donc on aura nécessairement

(18) Pp+i=p1fî^«.«-iPp' A^,„.,P6=:0.

Ainsi, tous les coefficients de R se déduiront du premier, en répétant un nombre convenable de fois l'opération A„,„i, et puisque cette proportion augmente d'une unilé le dernier indice, les coefficients P^ seront homogènes et d'indice p par rapport au dernier indice.

On verra d'ailleurs aisément que le premier coefficient Pq est la résultante des équations (1) réduites à leurs arguments homogènes les plus hauts.

De réquation

(19) SPpa?iô-P = on déduit

Par suite, en opérant <x fois successivement sur les deux membres de cette équation avec le symbole A„^„| , et en ayant égard à l'équation (13), il viendra

C'est là la formule analogue à celle de Waring qui donne les puissances semblables des solutions communes à plusieurs équations.

A l'aide encore de l'équation (13) et en opérant successivement sur réquation (21) ai fois avec le symbole A„^„2» «2 fois avec le symbole Arf,n-3» ••• «r-i fois avec le symbole A„^„,., on aura

(22) "Zx^^iX^^tX^^zX^^-^

1 ^ A**""* A*^-* A** A**""* /Att,n--lPo \

^ m*'PARTIE. — CHAPITRE ï. i- § m. 167

où le signe S doit s'étendre à toutes les solutions communes aux équations (1).

Comme, d'après la formule (4) du paragraphe précédent, toutes les fonctions symétriques multiples peuvent se réduire au calcul des fonctions symétriques simples de la forme (21), on voit avec quelle facilité on pourra désormais les calculer, en raison des méthodes connues jusqu'ici. A la vérité, tout repose sur la connaissance du premier coefficient P^. Mais, comme celui-ci se réduit à la résultante de n équations homogènes à n variables, on pourra le faire dépendre à son tour de la résultante de n — 1 équations homogènes à n=l variables (voir le chapitre II, qui suit), et ainsi de proche en proche les résultantes que l'on sait former.

Théorème de Bezont tar le degré de réquation finale.

Lemhe. Étant données X— 1 équations complètes à X variables x, y, z, •••, u, V,

(/+m+n+...+r+«+i= constante pour chaque équation), la fonction symétrique

sera, par rapport à la variable v de degré égal à la somme des ex^ posants pi, q^, .••, ti, p^, q^) •••^ etc.

Pour s'en rendre compte, il suffira de nous arrêter à un exemple particulier, car le raisonnement sera le même dans le cas général.

Soient donc les trois équations

(2) {?ft=2^P9r./aîY2V,

158 THÉORIE GËNÉRAIB DE rÉUMWATION.

qa'on pourra mettre sous la forme

ç étant égal à s+l, et les coefficients A, P» G dé3ignant(]es fonctions de la variable u de degré ç.

Pour voir maintenant de quçl degré 4«ra la fonction

par rapport à u, on commencera par l'exprimer en fonction des coefficients Â, B, C, considérés comme de simples constantes, à l'aide de|9 méthodes ci-dessus indiquées. Cela fait, on substituera, au lieu de ceux«ci, les premiers termes en u des fonctions qu'ils représentent, et l'on examinera ensuite k quel degré ajoutera la fonction co/. Or, cela revient à réduire les équations (3) à leurs termes homogènes et à lew donner, par oonii^équ^nti, h forme

et à chercher ce que devient la fonction

par rapport à la première eo/, icpmposée de^ solutions des éqn^tiOQS (3), et exprimée en foqctio^ des coefficients Ai Bf C (3) , supposés constants.

Or, les équations (4) seront satisfaites en posant

x^:=:xu, y'=yu, Z^z=i%U^ car elles acquerront le facteur commun u^^-^r^'^'^^ qu'on pourra faire disparaître ; mais alors la fonction o)'/ acquerra le facteur

Gooçle

m* pautip, ^crapîtw i, --- 5 m. 159

c'est ce qqi isirrivcrait pour la fonotioa wi, en réduisant les fonctions A, B, G, à leurs premiers termes; par conséquent, elle ççra de dçgjrô égala .

c'est-à-dire à la somme même des exposants des variables.

Corollaire. Si les équations ne sont pas complètes» le degré de <ùi sera d'un degré inférieur à la somme des exposants.

En examinant les choses de près, on verra que ce lemme confirme ce que nous avons dit, p. 152, sur te poids du dernier indice.

Soient maintenant les k écjuations

[ 9h=fh{^f Vf^f ...ti, v),

à k variables x, y, z^ ... w, v.

Soient

(6) x^y^Zi.^.Ui^ ^2y2^f«*^s» ^to.9

les solutions communes aux k — 1 premières équations, lesquelles seront des fonctions de v. Eq les substituant dans la dernière et en faisant le produit de toutes les fonctions ainsi obtenues, on aura une fonction

qui g'animlera pour chacune des solutions, ot qai, éUnt «ymétriquç par rapport à ces solutions, se réduira à «pe i^iH^iop ]rptionq^|I§ ^t entière de t). Pqr conséquent, Téquati^a

(7) fk{xt. y t. 2i, ... wi, v)fu{Xi, 1/2, Zj, •.. w„ v)...=0

sera celle qui résultera de l'éliminatiop des variables x^y^z^ ... u des équations proposées, quelque méthode d'élimination que Ton ait suivie. Car, si Ton était parvenu par hypothèse à une équation en v différente de celle-là, alors en substituant une de ses racines dans la (7), Téquation susdite ne serait plus satisfaite, et par conséquent Féqua-

tion (fi^z=ifjlx, y^z, ... u, v) non plus, ce qui serait contraire & Thypothèse admise. Ainsi, l'équation (7) sera bien l'équation Bnale, et en la résolvant par rapport à v, on aura les valeurs qui avec celles (6) compléteront les systèmes des solutions communes aux équations (5).

On peut remarquer, en passant, que les degrés des équations finales, soit en x^ en y, etc., seront égaux, car les équations (5) étant supposées complètes , le changement d'une variable en une autre se réduit à un changement d'indice dans les coefficients, ce qui ne peut altérer ni le nombre ni la nature des solutions communes, puisqu'elles seront toujours les mêmes, de quelque manière qu'on les appelle. Ainsi, étant donnée une équation finale, on peut obtenir toutes les autres par de simples changements d'indices, ce qui ne peut avoir aucune influence sur le degré.

On conclut de là que le nombre des solutions communes

est égal au degré de l'équation finale. Car, évidemment, autant on veut admettre de systèmes de solutions communes, autant de racines il faudra alors admettre dans les équations finales relatives à chacune des variables ; mais, comme le nombre de celles-ci est égal à leur degré, qui est égal pour toutes, il s'ensuivra que le nombre des systèmes de solutions ne pourra qu'être égal à ce degré commun.

Soit maintenant /Zj^-i le degré de l'équation finale des h — 1 premières équations, ou le nombre des solutions communes formées avec ft— 1 des k variables ; le degré de V équation finale (7) sera fXk-i^k» ^» appelant a^ le degré de V équation f^. Il y aura, en effet, autant de facteurs nfh qa'îl y aura de solutions communes aux premières k — 1 équations (1). D'ailleurs, les termes les plus hauts, tels que (aîia?,...)% (i/ij/j...)^*, etc., seront bien, en vertu du lemme, de degré /zt-ia^ en v.

Cela posé, on peut immédiatement démontrer le théorème de Bezout, à savoir :

Le degré de V équation finale résultant de l'élimination de k — 1 mconnues entre k équations complètes à k inconnues est égal au produit des degrés de ces équations.

ffl« PARTIE. — CHAPITRE I. — § III. 161

Désignons en effet par

81» 821 fis» ••• 8*— 2» 'û*-i» 8* les degrés respectifs de ces équations*

Nous avons vu tout à Theure que le degré de Téquation Bnale était /^jk-i^fcf f^jk-i désignant celui de l'équation fînale résultant des k — 1 premières équations. Donc, par la même raison, |^jk-i = fjti«2afc 4, ftjfc-s étant le degré de l'équation finale résultant des k — 2 premières équations; d'où Ton conclura ii^=idikH,iik^' ^^ poursuivant le même raisonnement, on verra que iJL:=9ik^k--i**'^tlJ^it i^s désignant le degré de l'équation finale entre les deux premières équations, que nous savons être a^a,. Donc on aura enfin

^=:a4a,a8...aik-,a|k.

Il suit de là immédiatement que le nombre des systèmes de solutions communes à un système d'équations complètes est égal au produit de leurs degrés.

Mais si les équations sont incomplètes, ce produit ne sera plus qu'une limite supérieure, que ni le degré de l'équation finale , ni le nombre des solutions communes ne pourront atteindre.

On connaît maintenant la possibilité de trouver ces solutions. Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de trouver les solutions communes aux équations

|/;(a5, y, 2,tt, t;)=0,

(8) {U^^yy z,u,v)—0,

/tf(^, y, 2, M, t;)=0.

Il faudra d'abord former l'équation

^i« Vu ^1» ^i> o^M étant des fonctions communes aux quatre premières. A cet efiet, il faudra déterminer les fonctions ^métriques de ces solutions, ce qui s'obtiendra en posant

^62 THÉOftïE GÉNÉRALE DE L'ÉyMlNATWN.

et en cherchant la résultante des équations transformées

que l'on regardera comme des fonctions de Xf y, JÇ. Si cette résultante était connue, il n*y aurait pli^s qu'à suivre la métbode indiquée dans le paragraphe précédent, pour arriver h cçtte d^rmiu^tio^^ Sinon, il faudra former la résultante de ces éqi^ations, piji. réquaUpDi finale

^19 yii ^11 6l<^M étant les, sol9tiQ0iSt4€S trdi» premières équations» ce qui es^ig^era la d^teroiinaticp ^es fauctions s^yinétr^qi:^» de oçii sfifutipns. A cet effet, on posiera de n.pa,ye,9.i]^

et il restera à trouver la résultante des équations transformées fi{x,y,iL')—Q, fr{x,ti,ii')=0, A(^>»-/^')=^^

que nous aavms déjà foormer, Alors, à V^ide è^ h' méthode 4e F^is* son» ou déterminera toutes les fonctions symétriques qui entveiit <lftM l'équation (11). Celle-ci, à son tour, permettra de déèwmÎBer feat^ iMielions symétriques composées des^so|ut\pn&^^ y, », Uj des quatre premières équations. Par suite, l'équation ^9), d?viepdra enfin une fonction seulement de v, et en la résolvant on a.ur^ l^s solutions v commuta aux équations proposées, et par suite les autres x, y, z, u, dont les valeurs sont déjà connues en. fonction de v^

Mais une fois qu'on aura résolu l'équation (9) ou ^i^ralem^enl la (7), il sera plus aisé de trouver les valeurs de J5, y, z, etc., en fonction de V, en ayant recours à une autre formule de H. Betti. Pour cela, reportons-nous à l'équation (16) du paragcapbe j^fécédei^. En la soumettant •& l'opérant A„*|, il viendra

2a?,ô-p A„.,Pp-H2Pe(e— p)a?,^pa;«-^ ;

«!• PARTHB. -. GHAPITfiJE I. - § IV^ teS

d'ott^ à cause cie la (16),

formule qui fera connaître les valeurs d'une variable qtielcanqiie eu fonction d'une autre choisie arbitrairement, dont les valeurs sofit re^ présentées par les racines de la même équation (16).

S IV

Mélhocle de ^%9iivUie.

M. Liouville a eacere donné dans son Journal (1S41) une méthode qui permet d'approcher des valeurs de ces solutions autant que Ton veut, ce fui dans la pratiqua j^urratit èlre que^uefok fine expéditif et même fuffisanl. l)'i^illeurs, elle 9011s fait eonMilve 4e plus pré» la formatien de la résultante et nous conduit à des ptopriété^ très-inl^ssantés. C'est pourquoi il sera convenable d'en dire quelques mots ici.

Soient

1 équations complètes de degré a, b, c, ... A, ft respectivement à X variables œ, y^x, ... u, doot il a'a^ît de trouer le&sotukîoas eqmaMBM. Posons - = v, ^5=i5, ...-=s:u, et donnons aux > — 1 preraiin» équa* tiens la forme

!<fa=X^Uy^ 2' - w)+aî«~'^i(î/' 2v. w)+^~'^i(î/»2» ... t«) + -. ^

où ^i^ Oiy ..,li désignent en général des fonctions homogènes de degré a — I, 6 — 1\ ,.. h — i par rapport aux variables y, z, ... u. Si Ton fait x:=QO , les racines de ces équations se réduiront évidemment à celles des équations

(3) ^^{y, 2, ... w)=0, 6^(y, %j ... w), ... Ço(!/» 2. ••• tt)=0, dont nous appellerons a, ^, ... y les solutions communes. Alors on pourra poser pour toute autre valeur de â?,

(4) y=:a-fc, «=^4-», ... tt = y+X'

e, )B, ... ;( désignant des quantités qui s'évanouiront avec -.

Substituons ces valeurs dans les équations (2) « et divisons par oj»-*, a?*-*, ... oiî^^^\ il viendra

et autant d'équations semblables en 9^, ... 9/1.

De ces équations on tire, en désignant par a , j^^ ••• 7' les limites de ea?, y)y, ... ;^M, et en faisant a?= oo ,

Une fois qu'au moyen de ces équations on aura obtenu les valeurs de a , p'y ... y y on les substituera dans les équations (4), et Ton aura

«'«> >îV» ••• X** ^*^"* ^^^ quantités qui s'évanouissent avec -,

En procédant ensuite comme au § II de la deuxième partie, on trouvera, sous forme de série descendante en a?,

m* PARTIE. — CHAPITRE I. -- § IV. 165

d'où Ton conclura

Ayant obtenu de la sorte les valeurs de y, js;, ... u en fonction de Xj il ne restera plus, pour avoir les solutions communes, qu'à substituer ces valeurs dans la dernière des équations (1) et à la résoudre par rapport à x. Chacune des racines x fournira, au moyen des équations (8)) autant de systèmes de solutions communes.

Appelons pour un moment

les valeurs de y, z, •.. u, qui satisfont aux X— -1 premières équations. L'équation qui résultera de cette substitution sera, d'après ce qui a été expliqué au § II, le produit

(9) R=9^(aî,yi,2i, ...Mi)94(ir,i/,,a;j,...ti,)..-=0.

Pour former à présent cette fonction R, nous commencerons par observer qu'on a aussi

(10) 9fc(,x, t/, 2, ... tt)=aî*a)o(y, 2, ... u)+a:*-*û>i(y, 2, ... m)+..- Alors, en y remplaçant y, z, ... u par leurs valeurs (4), il viendra

^?fc(aî» y, 2, ... w)=«o(a+e, 13+73, ... y+x)

1«S THÉORffi GÉNÉRALE DE L'ÉLIMÏNATÏON.

éqaation qui, ayant égard à ce que les quantités e, >79 ••• x s'évanouis-

sent avec - , ponrra être mise sous la forme

(fu{Xyy, z, ..•tt)=a?*û)^(«. p, ...y)+aî*E,

E étant une quantité qui s'évam^nira aussi àVec -• On aura donc, pour chacune des solutions y, z, ... u, dont nous appellerons p le nombre,

?*(^» ït» 23, ... Mj)=x*a)o(«,, Pî, ... y2)+aî*E„

9*(^p' ïf ^p» ••• ttp)=aî*Wo{*P' l^P» ••• yp)+^%' En multipliant maintenant Ces équations membre à membre, on en déduira que le premier terme de ft est

^*»o(«i» pi» •••yi)»o{«ii Pa» ••• y8)*-*û>o,(«p' Pp» ••• yp)> et Ton reconnaîtra dans ce premier coefficient, d'après ce que Ton dira plus tard, la résultante des équations (1) réduites à leurs termes homogènes les plus hauts.

Pour trouver le second terme, il suffira de faire dans l'équation (10)

et l'oa obtiendra en général

4-aî*-^{aDaWo + |3'Dpck)o+...+yD^e^o-4-6t>,(a, (î, ... y)}4-***M,

I étant une quantité qui s^annule avec -.

Eiî y îÈmptâçâtit a, p, ... y successivement par !euts valètirs, on aura

?*(«î/p 2p- • .llp)cr «*too(«pl9p. . *yp) + «^""' { Sp« 0««,^-<è, («p(3^ . ..yp } +aî*-*Ip , ou II, la, ... Ip représentent des quantités qui s'évanouissent avec -.

HP PARTIE. — tïIAPlTRË I. — § IV. 1 67

Maltipliant ce» éqoatioRS membre à membre, il viendra

xr

«>o(*<P<— tO

et Toii aura aifisi obteatt les deoi premiers termes de R.

Si Ton v^aît troaver encore plus de termes, il n'y aorait qu'à en prendre davantage dans les séries (7), pour les substituer au lien dta y, s> ..^ u dans réqaation (10), d'oÀ Ton déduirait la valeur de R, en sÉÎvaat la éiéne iharcbe que nous venons de tracer.

On aurait pu dévelo{)per les valeurs de y, s, .^ t» en série f^tieit^ dantede œ, en préparant les équations (1) de cette m<inière t

?a=^û{îf> «> •••• «)+^i(y. z> •.• »)-+-«*^2(îf. 2, ... te), <ft^9o{y, %, ... tî)+«ôi(y, z, ... ^)+x'e^{yy x, ... w),

fft— Ço(!/. «^ •'.> «)+^i(y. il ••• «)+aî*is(s, 2, •.. tt)i 9k=«»o(îf> 2, ... u)4-a:û)^(y, 2, ... uj+x'cù^iy, z, ... ti), t|;, $9 ... 6) désignant maintenant d'autres fonctions qu'auparavant; et l'on trouverait

y=za+oLX+..., 2=P4-(3'aî4-...» u=y+yX+...; (a, p, •»• y), (a , ^\ ..• y), etc., étant déterminés successivement par les systèmes d'équations t4/o(«»P, ...y)=0, èo(a,(3,y)=0, ... $o(a,l3, .•.y)=Oh

ilc dp " ' df '

-« + èP'+-+è/+e,(«.<3, ...y)=0,

etc.

Alors la dernière équation (fj^, traitée d'une manière semblable à la précédente, fournira l'expression de R qui suit :

R=û>o(aiPi...7i)Mo(«îpj...ys)...»o(apPp...7p)

Ainsi, les deux premiers et les deux derniers termes de TéquatioR finale sont cannas ; et Ton reconnaîtra de même, dans le dernier terme de R, la résultante des équations réduites aux termes indépendants de Xf ce que Ton pouvait prévoir à priori.

Comme il est aisé de voir, la méthode de Liouville ramène encore la formation de Téquation finale de k équations à k variables à celte de A; — 1 équations à k — 1 variables. Mais elle a l'avantage de faire mieux ressortir la nature des termes qui composent la résultante, el de nous conduire tout naturellement à des conséquences très-importantes. Parmi elles, nous choisissons la démonstration très-ingénieuse que M. Liouville a tirée d'un théorème déjà énoncé par Jacobi, et qui est assez important pour former le sujet du paragraphe suivant.