PROPRIÉTÉS DE LÀ RÉSULTANTE
Phbmier théorème. Étant données A équations homogènes entre X variables x, y, z, .•• y,
de degré a, b, c, ... I respectivement, leur résultante K satisfera aux ^^ 2" ^2t«atf(m5 atiâ? dérivées partielles de la forme
*xyap.q,r...^tont ^6 coefficieni de s dans V accroissement que reçoit le coefficient ap,q,r...» lorsqu'on change dans les équations proposées x en x+cy, et xy désignant une quelconque des combinaisons que Von peut faire deux à deux des A variables.
Posons, en effet, x=x'+&y dans les équations susdites; elles se transformeront dans les suivantes :
(3) { *.=2Cp,,.,....,a;V«^••^^
*/=2Lp»^.r....l^V«'"-^^
A, B, G, ... L étant des fonctions des mâmes coefficients, de la forme
(4) I B = W....«-+-^%.«.^ eM-dC)dp.,.,....,e»...,
( L=/p.,......,4-d(0(p,, ,e+*<»'îp.,,,....,e*...,
où ■ ^Sw.r...... -^'»W,...o ^%.,^.....
désignent en général les coefficients de e^ dans les expressions des nouveaux coefGcients.
La résultante R, qoi était par hypothèse représentée par la fonction
deviendra
et sera, par conséquent^ de la forme
où Ton a en particulier pour le coefficient de e ,
et <^%,^/....i «n général =:(jp+l)ap+,,^-,»^... t. '
Supposons ttiaititenant que le système {xk, y^* t^, ••• «t) dé valeurs particulières attribuées ailx variables aï, y, 2, ... D soit propre à vérifier les équations (1), on aura dans cette hypothèse
Mais le système (a?^+ey*, y*, «*, ..., v^) sera encore propre à vérifier les équations transformées (3), et, par conséqudBt, on aura encore
R+(J(«)Re+^(2)Re* + ,,.==:0,
ou bien, en vertu de Téquation (6)»
yi)R+cî(2)e+...*=0;
et, comme la quantité e est quelconque, il faudra que
(7) d<OR=:0.
m» PÀftTiË.u.cHAPrtîiË m. iss • .
Ainsi f la résuIttDte R devra sati^raire k l'équâtiôrt aut dérivées partielles fournie par lé second membre de réquaiiori (5) égalée à zéro. Si l'on avait changé y en y+sx, on aurait obtena une autre éqtttttiôn aax dérivées partielles, laquelle» ne différant de la première que pAr réchange des deux premiers indices dans les coefficients a;» ee qui (vd(r page 180) n'altère pas la résultante, n'offrirait aucune équation nouvelle de condition différente de celles que fournirait la première équa* tion aux dérivées partielles, que nous avons déjà eonsidérée. Aiftsi« le nombre des équations aux dérivées partielles indépendantes sera égal au nombre des combinaisons des A variables deux 4 deux, c'est-
Deuxièmb théorème. Les arguthents formés avec les solutions com^ munes sôM pfbpôrHdmÉti aux détimè de ta ¥ésnhàMe prises pॠrapport aux toeffiùients respectifs de des arguments dààs une fhëthè équation, cest-^à^ire quen appelant x, y, z, ».. v /m iBlutiûm «em* munes, on a
(8) a:Py,.r....*:xP'yW::5^:5^^.
Posons, pour abréger, ap^ç^r....i=<*. «p',<7'.»'',...i'=/»'. H est clair qu'9il pourra donner à a et à d' les âccrbissémétlts 9ù, èa^, satis qiié (es «;, y» 2, <^« V cessekit d'être des solutions comnlunes de l'équation fii=:tO| pourvu qu'on les assujettisse à la condition
(9) da xPy^z\ . .v^+ idx^Yz^\ • . v' = 0.
Abri) la réstkl tante fbrttléé avec leà houveâlit coefficients continuera de s'Annuler, et il faudra que
De ces deux équations (9) et (10) on tire évidemment la proposition énoncée. Cette démonstration très-simple est due à M. Seblieffli*
Remarque. Lorsque les fonctions fai ^bi etc., sont les dérivées ^^ ^^ etc., d'une même fonction 9, et qu elles s'annulent, lea argumeats de la fonction f sont proportiodoels au dérivées de la t*é^
sultante prises par rapport aux coefBcients correspondant à ces arguments. En eSet, dans notre hypothèse, la fonction <f devra encore s'annuler, et, par conséquent, les deux équations (9) et (10) continuant dans ce cas à subsister, la proportion (8) , qui en est la conséquence, aura encore lieu.
Troisième théorème. Si dans Véquation proposée on remplace les variables par des fonctions homogènes d'autres variables x', y', z', ... v' définies par les éguations
de sorte que les équations proposées deviennent respectivement
(12) ^«=0, ^ft=0, ^,= 0, ... <t^,=0,
en appelant R' la résultante de ces équations et R celle des équations
(13) ^,=0, ^,= 0, ^3=0, ... ^ = 0, on aura
retr étant des exposants à déterminer dans chaque cas particulier .
Pour le démontrer, nous poserons d'abord un lemme qui, bien qu'évident par lui-même, mérite cependant quelques instants d'attention.
Lemme. Si les équations proposées (1) ont ou n'ont pas une soliUion commune, elles continueront à t avoir ou à ne pas Vavoir, quelque transformation que Von opère sur les variables.
En effet, étant donné un système de valeurs
on pourra toujours trouver un autre système de valeurs
par lequel les équations (11) seront satisfaites. Puis donc que ces valeurs â?'yV... reproduisent les anciennes â?, y, Zy «.., elles seront évi-
m* PARTIE. — CHAPITRE HI. 197
demment des solations oa non des équations transformées, suivant que les œ,y, z^ ... seront ou non des solutions des équations primitives (1). 11 faut cependant observer que lorsque les équations (11) ne sont pas linéaires» il y aura un nombre déterminé a de systèmes de valeurs x\ y , «', ... qui reproduisent le système unique x, y, js, ... Alors 9 en appelant s le nombre des solutions communes aux équations (1), celui des solutions communes aux équations transformées (12) sera es.»
De ce qui précède il suit que les équations primitives ^ et les transformées ^ auront en même temps des solutions communes; ce qui ne peut pas avoir lieu sans que leurs résultantes respectives R et R' s'évanouissent simultanément. On aura donc R'=:P.R, P désignant un facteur à déterminer. D'autre part, les équations transformées 9 et les équations
pourront être aussi satisfaites simultanément par les valeurs x\ y\ Zf ..., distinctes de zéro; car il suffira de trouver les solutions communes au système (1) pour que les <^ soient aussi nécessairement satisfaites. On aura ainsi R'=Q./{^ Q étant un autre facteur à déterminer. Or, des deux équations R'=PR, =Q1{ on déduit évidemment que
Observons maintenant que H doit être une fonction de R et de A seulement; car, si elle contenait d'autres fonctions des coefficients f et ^ différentes de R et de R, on pourrait s'en servir pour annuler R', sans que R et /{ s'évanouissent ; ainsi les transformées auraient des solutions communes, tandis que, comme R et /{ ne s'annulent pas, elles ne devraient pas en avoir. D'ailleurs, R' est une fonction homogène par rapport aux coefficients de (p et de ^ ; donc R' ne pourra être que de la forme
R^=R'^i^^ r et r étant des exposants qu'on peut déterminer comme il suit.
IQg THÉORIE OÉKÉHiLB DE L'ÉLIMINJITION.
{^^9 équations transforn^éa^* coQtienneRt linéaiNinent les andeafl cœf^cient» a, b, ç, Mt { d«3 équati^ni f , ^t au degré a, b, e, ... 1 ret^ pectivemaat le« coefficients df» équations ^ dû substitution « que nras ^uppoieron$i de luème degré égal à ^. Par conséquent^ la résultante R' 4es éqpatieps tr^ni^foirPfiéea, qui sera de dogré
contiendra les coefBcients a, b, c, ... l dtn degré p et las eoeffieientsi de substitution au degré pX>^-%.
Mais les fonetions R, R sont déjà de degré
-(î+E + k-'+î-)'. ^^'-'-' donc fld ^\\jç^
et en6n
(15) R^=Rh-'"">ï>«-».
Mais dans le cas général que nous considérons, il arrive quelque chose de plus. Nous avons vu que si les équations (11) de substitution admettent <r solutions, les transformées des fonctions f^, 9^, Çc, ... ç/ en admettaient c, lorsque celles-ci ont une solution, c'està-dire si R=0. Si donc on appelle T le dernier terme de Tune des. équations transformées
il y aura <r fonctions de la série
qui s'évanouiront en même temps que R, et seulement quand R s'annule. Ces fonctions contiendront donc une puissance de R en facteur, et loutre facteur pourra être composé des coefficients des équations proposées, mêlés à ceux de la substitution.
Supposons, par exemple, que dans les équations
<?^ + (îî< = 0,
Hl* PARTIE, •i- CHAPITRE HI. on fasse la substitution
IM
aï = /u* 4- mut? 4-fit?*, y = (u*+ m'uv + n t?*;
il y aura alors deux fonctions de la série qui s'évanouiront, et l'on aura pour un des deux systèmes
En général , on verra facilement que , pour des fonctions à deux variables, le nombre de ces fonctions qui reproduiront une puissance de la résultante est n, n désignant le degré commun des équations de lubstitutioB.
Remarquée Lorsque les équations f^ soiit linéaires, de la forme
(16) l zt=:a''x + by+c''z +...>^rv\
M aura
en appelant S le déterminant
a(x) 6(x) çix) . . , fx)
On peçit facilement vérifier l'équation (17). Si, en effet, dans les équa* tiens transformées nous remplaçons les variables x, y, z., ,.. t)' ps^r leurs valeurs déduites des équations (16), il faudra retrouver, pour la résultante des nouvelles équations transformées, la fonction R. Or, d'après le théorème ci-déssus, cette résultante, en poiàfit'
MO
rfS dS du
da" da" ' ' ' dâ^i
dS^^ dS dS
db" W • • • dp)
dS di"
dS dS
dr* • • • dï®
sera S'«R. Mais, d'après ane propriété connue de la théorie des déterminants, on a S'=-g. Donc la nonvelle résultante sera
cè qu il fallait démontrer,
QuATRiÉMB THÉORÈME, Étant données des fonctions homogènes définies comme au premier théorème, la résuUanu des équations
est égale à la réiultante R multipliée par une puissance du déterminant
a(x) 5(x) c(i) . . . pd indiquée par le degré de la résultante R, e'est-à-^ire par
En effet, on peut supposer que les équations (19) soient le résultat de la substitution de
^'=9af y'—(fh 2'=?^.... «^'=9/ dans les équations
m- PARTIE. — CHAPrriŒ m. 201
(21) ( *.=aV+6y+cV+..,,
et alors, d'après la formule (17), 00 aura R'=S^R^ S étant le déterminant ci-dessus. Pour déterminer r et r, on n'a qu'à observer que les équations ^ sont linéaires par rapport aux coefficients de substitution, c'est-à-dire par rapport aux coefficients des équations 9 et des éléments du déterminant (20). Par conséquent, r doit être égal à l'unité, et les éléments indiqués entreront dans la résultante au même degré que les coefficients des équations tf, c'est-à^ire au degré
^("" "^h +•••+ r) • ^^^ S ^^* ^^J^ ^^ degré X ; donc
Soit maintenant (f une fonction de X variables x^y, %y ... v et de degré m, qui est transformée dans une autre ^ par une substitution de la forme (16), on démontrera aisément ce théorème :
CfNQUiÂiiB THÉORiMB. La, résultante des équations
est égale à celle des équations
dz — "• •
dv
multipliée par la ptussance m(m — 1)^~^ du déterminant de la substitution.
Sixième théorème. Lorsqu'une fonction est le produit de plusieurs autres fonctions en nombre moindre que celui des variables, son discriminant s^annule.
Soit, par exemple, une fonction (f{x, y. z,.<,,)=:^Kf, f, f, ...), où ^ peut être une fonction non homogène d'autres fonctions homogènes f, f,fdex,y,z,..., sans contenir cependant aucun terme linéaire. Le discriminant sera la résultante des équations
908 THÉORK GÉffÉRALE DE L*tif4MINiTI0N.
dx~df dx'^df dxTdf dx^ "'
d9 d^dl d^df d^dr, n (25) {dy—df dy^dfdy^df dy -t"--^"' d.t^4f,didfdjf^dr ft di~df dz'^df dz"^ df dz "^ "'
lesquelles seront satisfaites dès que les équations
auront lieu. Mais celles-ci, étant en nombre moindre que les variaibles qu'elles contiennent, pourront toujours être satisfaites, indépeodam'ment des valeurs attribuées aux coefficients, et, par conséquent, la résultante des équations (25) devra s'annuler identiquement.
Septième théorème. La résultante des expiations
t«(*. »• «t ••.)4-At(jwî4-gy+...)*=0t
(27) < fèiv. ViZ. ,..)+h^{pX'{^qy+...f:=0, * 9«(«» y» 2, .•,)+fc,(pa?+gi/+...)' = 0.
par rapport aux facteurs h^, h^^ ...y est au plus de degré égal au degré de la résultante par rapport aux coefficients de V équation la moins élevée.
En effet, au moyen d'une variable auxiliaire, le système (27) peut être remplacé par le suivant.,
\ (pa(^, t/,Z, ...) + M'w'=0,
Posons^ comme avant, 7r=abc...l, le degré delà résultante sera -, etc., par rapport aux coefficients des fonctions <pa, et aux coefficients &!<% etc. Soient maintenant i!c, a, ^, ... les çxposants de s, h^s^j h^s^j ...y respeotiyeipent dans un terme de la ^ési^Itante; à
ro PARTIE. -^ CHAPITRE HI, 903
oaoM de réquipollence relative à riodice correspondant h la variable «a, et en remarquant qne oet indices sont respectivement a, b, c, ».., on aura
k+aa-l-pb-^.fcfcsziiir.
Si a est le piqs pçtrt de^ d^gr^Si il viendra d'pù
Huitième théorème. Formons ^ avec les v(iriables x, y, z, ,.., un nombre V d* arguments p, q, . .. (iu même degré d^ et imaginons que Von ait formé avec Y variables Ç, v, Ç, ... tin second système de V équations de degré a\ h\ c , ..., dont les coef^cienis seront ainsi déterminés. — Substituons les premiers V arguments dans les nouvelles équations à la place des variables i« v, C« •••; 0^ obtiendra V fçnctipns de nouveaux arguments, qui seront respectivement de degré da\ Jb\ ^c , ..., nom-hres qui par hypothèse ne dépasseront pas te plus grand des degrés a, b, c, ... des équations proposées. Multiplions ces Y fonctions par des arguments formés avec les variables x, y, z, ... {l'unité comprise) , de teile sorte que €$Uei<i deviennent de même degré que T des équations proposées (1), nimporl^ lesquelles, que nous appellerons les «^ p, y, • . • Prenons les dépvées de la résultante ^ par rapport au^ coefficients deiS équtations<Kf P, y^, ...9 tellement choisis que, en çjmnt ég^rd à Ifur in^ dice, ils représentent les coefficients correspondant aux arguments d^ Y fonctions nouvellement proposées, ce seront cesi dérivées qu on prendra pour coefficients des arguments en Ç, v, (, ... du second système, en les supposant toutefois multipliées par les nombres des combinaisons relatifs à ces arguments. Soit R' la résultante des V équations ainsi <i6tenues après V élimination des variables i, v, Ct ••« E*^ posant
7r^=:aVc\.., <x'=7r'(l+p+^+...),
on aura K' divisible par R^^^', a' désignant par hypothèse le plus petit des degrés a\ b', c...
En effet, en supposant le premier système (1) satisfdit, les dérivées de R sont proportionnelles anx arguments correspondant aux cœfGcients par rapport auxquels on a différence. Par conséquent, les équations du second système pourront se mettre sous la forme
(30) «(î>ç+îv+. ..)•', t'{p^+qy+-'')^'
et seront évidemment satisfaites, si Ton a seulement |)i+jrv+-..=0; ce qui prouve que la résultante R' doit s'évanouir d'elle-même, et oontenii*, par conséquent, en facteur une puissance de K. Pour la trouver, observons qu'un coefGcient c quelconque des équations proposéeSy qui entrerait dans R au degré p, figurera aussi au degré p dans les nouvelles équations (30), excepté dans une, où il n'entrera qu'au degré p — 1. Par conséquent, la résultante R\ qui est de degré o- par rapport à l'ensemble des coefficients du second système, lorsqu'on suppose ceux-ci linéaires , contiendra le coefficient c à la puissance p<r' — ftp, en appelant k le produit des degrés des autres { — 1 équations
où il entre au degré p. Or, la plus grande valeur de k étant ~, la plus petite de po-' — ftp sera pfc' — ^1 , et par conséquent, on est certain que
tous les coefficients entreront au moins à la puissance pl<F' — ^] .dans
R^ Le même théorème a lieu lorsqu'on remplace le système (1) par une seule fonction p et la résultante par son discriminant. Dans ce cas, le second système sera encore remplacé par les dérivées d'une seule fonction.
Soit, par exemple, la fonction
(31) ax^+ 3bx^y+ 3cxy^+ dy^=: 0, dont le discriminant est
(32) R= {ad—bvy--^bd—c'){ac-b') , la nouvelle fonction
(33) .„. Ê^+TJ'^+'é^*+-*
da^ ^ db^ '^ dc^'^dd
aura pour discriminant R'=16R^
m* PARTIE. — CHAPITRE m.
NBUYiixE TfiÉOEiiiB. Le déterminant formé avw nn dérivées équidistantes de la résultante R prises par rapport aux coefficients d'une mime équation est divisible par R"~'. // sera identiquement nuU si n est plus grand du degré de R par rapport aux ^coefficients d^une quel^ conque des équations proposées.
Soit (f[Xf 1/, Zj ...) cette équation de degré a. Pour y représenter convenablement les coefficients équidistants, adoptons pour un instant la notation [«+>}, P+ô, y+X» •••] formée par deux groupes de nombres entiers et positifs a, |3, y, .•. et >?, ô, X' •••> assujettis à la condition
En faisant varier les nombres a, ^, y^ ... du premier groupe, on aura une suite de n éléments, et puis, en faisant varier le second, on obtiendra une série de nn coefScients.
Posons, comme avant, 7r=abc... et représentons par ç(l), ç(2), .•. f(7r), les valeurs de f correspondant aui ir solutions des équations proposées, on aura
Alors une quelconque des dérivées de R, que Ton considère, sera
ou bien =R(piXi+|),Xt+...+pwXw},
en posant j>= r ^^ r X=^*!/^2Tf.,.
Selon que l'on fera varier le groupe a, |3, y^ ••• ou le groupe n, 6^ X, ..., X se changera en Y, Z, ..., etp en ç, r, .•. Supposons ensuite, pour abréger, n=3 et appelons À le déterminant susdit, on aura
Xt Y, Z,
SpX SpY Spl îgX ïjY SfZ Sf« SrY SrZ
Pi Pi
îi 9i
Pir Çic Tir
Xiç Yip Zip
MB THÉORIE OÉITÉRALB Dfi L^ÉLlMmJlTION.
ou bisn, d*éprès bo prineipe connu de la théorie des déierittinants :
Pa Pi Pc
Pi
OÙ le signe 2 s'étend à toutes les combinaisons ahc que Ton peut former avec les indices 1, 2, 3, .., tt. Or, le déterminant S±p<ijf^c a pour dénominateur commun ç(a)9(6)y(c) ; donc, pour rendre entière la fonction sous le signe S, il suffit de la multiplier par R, et, par conséquent, A sera divisible parR*, et en général par R''""^ On aura, par exemple, par les équations (9), p. 137,
dR
da
dR
dR d«
dïi
df
dR
db
dR
dR
dR é.d
dR do
q désignant une fotlttion eritière des coefficients*
Les quatre théorèmes précédents sont dus à M. Schtaéffli. Dixième théorème. La ré$uliai%le dé I équations homogènes à 1 mrif^hs d$ (hgrjé m est la somme de produits isobartquês et de poids m' par rapport à chaque série d'indices qu'on obtient en multipliant en-semble m*^* déiêrminants quelconques formés respectivem^tU par l colonnes de coefficients choisies arbitrairement parmi celles que présentent les équations, en les supposant rangées tUne au-dessous de Vautre terme à t&rme.
Prenons en effet, pour plus de simplicité, les trois fonctions
et supposons-les toutes de degré )M. En tarfu dii ^reiili^t> thébrèiAe général, la résultante sera de degré 3m' et d« poids 3m' par rapport à TenAembte des iodtcts. Considérons maintenant un déterminant qael-
IIP» PARTIE. —CHAPlrrRE ffl.
côbqae Toritté pdf troi» cototines de coeffieiehU, cboistes aFlHtlratre->ment parmi celles que présentent les coefficients des éqaatioiM f, ^^ 6, rangées terme à terme Fane sotis l'aolre, tel qtte
bp,q,r •
Cpff^q'\r"
On pourra former autant de ces déterminants qu'il y a de combinaisons possibles trois à trais de ■ "^ ' j^^"*" - quantités $ et il est éHfi»
dent que tous les tefrties fôtlt*tiîs pai* fe développement de éhaqttë déterminant seront du même poids.
Parmi ces déterminants, cfaoisissons-^ti & volonté m', et multiplions-les ensemble, de sorte cependant que le produit soit de poids m' par rapport à chaque indjce p, g, r. La somme de ious ces produits sera bien une fonction qui satisfera au premier^ théorème ; mais elle satisfera encore au sixième, car le déterminant correspondant fourni par les fonctions transformées #, W, B serait
O' Ûfp,«.r-h6' hp,q,r+c' Cp,q,r^ a' flp'.q'.r'-f-Ô' hp',q',r'+c' Cp\q',r>, a' Op'f ^q*' ,r"+h' bp",q'f,rl'+C^ Cp'f.q'ryff^ ^' Op.q.r +6" h^,q,T-\<!' Cp,q^r, «" <»p',«',r'+6" 6p»,g',r'+c" Cp',q',r', «'* rtp",«",r''4-6" bp'\q",r" + c" Cpff,qff,r"f a'"ap,q,r+b"'bp,q,r+C^"ep,q,r, a'"ap'.g',r'+6"V,«'.«-'+c'"Cp',«',r', a'"ap'\g'^r''-^6^V'»«''.»^^4^%",«".r^
égal, comme on sait, au produit des deux déterminants
bp^q,ry ftp',g',r'i V.9 V" »
D'ailleurs, le déterminant (36), quel qu'il soit, doit bien figurer dans la résultante, car, en supposant nuls tons les autres coefficients ^ excepté les (36), la résultante doit se réduire^ dans ce cas, en tane fonction de ce déterminant.
Ainsi, la résultante sera évidemment une fonctioii linéaire et isobarique de produits des déterminants de la for^e (36). U» fonctions Ky données p. 139 et 191, en sont un exemple.
Onzièmb THÉoiukiiE. Étant données X équatiom ham&gines tntN X
a'Vc'
THÉORIE GÉNÉRALE DE. L*ÉLlMINATION.
variabU$ x, y, z, ••• v définies comme au premier iMc^ime, le diterminant
ï*«9a» I>»?a» ^x<fay ••• I>»9a»
1^X9*» DyJ^, D,Çô, .•. DyÇi,
Da;<P<î. Dy^c» ^z^Cf ••• D„y^,
Djc9/t DyÇ/, D2Ç1, ... Dj^ç/, aiW que ses dérivées par rapport aux diverses variables x, y, z, ... y, s* évanouiront en même temps que les équations proposées pour les va*' liurs des variables, qui leur satisfont simultanément. En effet, on a
xh^(fi,+yDy(fb+* . . + vh^tft^^ mft ,
xD^(fi^ yJ)^i+ . . . + î^D„9/ = m<fi , En admettant que {x, y, ,..v) soit un système de solutions communes, les seconds membres seront nuls, et alors, pour que les premiers membres puissent subsister pour des valeurs des variables distinctes de zéro, il faut| d'après un principe connu, que le déterminant (37) soit nul (*).
On tire maintenant des équations (38), en appelant A le déterminant (37) et en posant
Da?9a» etc« =?««^» etc. ; ^^ = û^^a, etc. ,
Xl= m { f^x.a'^ ^b^xj, + . . . + (flQ^x^l 1 »
DifférentioDS la première de ces équations par rapport à â;^ j/, ... r, et observons qu'on a
^k^aQ'xfi+ D»?6Ûx,ô+- • . + D*y/Ûa;,/= (pour k=y^%,...v),
(*) Cette première partie du théorème aurait encare lieu, en supposant inégaux les degrég des équations.
m» PARTIE. — CHAPITRE lll
il viendra
Chacune des autres équations (39) donnera lieu à un système d'équations de la forme (40). Or, il est évident que, pour un système {x, y, z, v) de solutions communes, les seconds membres (40) disparaissent; il en sera donc de même pour les dérivées de A qui figurent dans les premiers membres. Ce théorème peut être quelquefois utile pour trouver la résultante. Soient, par exemple, les équations
<fz=aa^-^by* + cz*-\- dyz + exz + fxy, 9z=:a:'x^-{-by+c''z*+(ï'yz+é'xz-^fxy. ^
Dans ce cas, les dérivées du déterminant ci-dessus sont de même degré que les proposées, et sont, par conséquent, de la forme
9^= Ax* -+• By* + Cz* -f- Dt/z H- Exz + Fxy, <{;,= AV+By + CV+ D'yz+ E'xz+rxy, 9i=AV+By 4- CV+ h"yz + E"«2+ rxy.
Alors, en considérant x*, y*, a*, yz, xz, xy comme des inconnues, on a
ABCDEF A'B'C'D'E'F'
abc de f a'b'c' d' e' f a'b'c" âr é' f ABC D2A''2A' A'B'Ç'2B' D 2B' A"B"C''2C'2C D
DigitizecI by
car
A=— 3(ae/), A'={abe)—{adf), A''=(o<i«)— («/).
B2=(a6(l)+(6e/), B'=3(6d/), B''=(6de)+(6c/^,
Cr=~{aed)+{cef), C=(«(i/)+(6c«), 0'=— 3(cd«), D=^6c)^2(dc/•), D'=2[(6c/)+(6de)], D"=2[(6ce)— (cdf)],
n E=2[— (oc/)+^de)) ■ r=(a6c)+2(dc/)], ' E''=2[(ce/-)+(acd)], "^ ¥=2[—{adf)+{abe)], F'=2[(a6d)-f.(6e/0]. r=+(a6c)-|-2(de/-);
d'où
Notons , en passant, que le déterminant B peut se mettre 89U9 h forme
(abc) (abd) (abe) (abf) C D E F C D' E' F'
(acd) (ace) (acf) B D E F B' D' E' F'
(bcd) (bce) (bcf) A D E F A' D' E' F'
(aef) (bef) (cef) (def) A B C D A' B' C D' A" B" C" D"
(adf) (bdf) (cdf) A B C E A' B' C E'
(ade) (bde) (cde) A B C F A' B' C F'
par lequel la résiUtante des équations proposées çst mise sons la forme de six détermioants quartenaires, dont chaque élément est de troisième ordre par rapport aux coefficients.
DouziÈMB THÉORÈME. Soient t, t', t", ... K^-*) lei derniers termes des équations (1) dans la supposition v=l. Ces équations admettront p solutions communes, si parmi une qitelconque des suites
m* PARTIE. — CHAPITRE lïl. JU
,. dR ^ £R
^ dt ' dt^ • dt* ' •••'
^. dR d^ (PR
* d^' dt'»' d?«* ••'•
(41) < R îî? ^ ^
» '^' dt"' dr* dr»'
\ u ^^ diR d'R r \
\ » d^^*)* de(^^«'*' rfti^-i)*' •••'. ^•. \
tl y a p fonctî(m$ qui s'anml^t.
Posons, en effet, '
(f>4=ç:(p,=5(iJ?,|/, •.. v, a, b\ c\ „. 0^ ^
et substituons pour un moment à ce système le suivant :
<px=0.
Si la résultante des éqaatîons (42) était de la forme
R=F(a, b, c, ...t; a',b', c', ...t; é'>^-0, t(x-i), ... «(x-o), celle R' des équations (&3) serait
R'=F(a, b, c, ..• t—(ù;. a', b\ c\ ... t; a(>^~0, JCx-d^ ... ^x-d) . ou, par le théorème de Taylor, rhk\ D' u rfR , ^ rf'R 1 .
(44) ^=ï^— d^^+râdF^— +•••
Par conséquent, pour chaque racine (o de Téquation
(JLK\ A — R dR 1 d«R , ,
le système des équations (43) admettra une solution. Si doncp fonctions parmi les suivantes :
|. dR d«R dPR dP+JR
s'évanouissent, Téquation (45) aura p solutions (0=0. Dans ce cas, le système des équations (43) ou l'équivalent (42) admettront pareillement p solutions communes.
On parviendrait à des conséquences semblables si, au lien du système (43), on avait considéré un quelconque des suivants :
<Pi =
cp,=
çp,=0
«px=0
<px=0
<px=w
De là on est naturellement conduit au théorème énoncé, qui comprend celui que Lagrange avait donné pour le cas de deux équations, et que nous avons cité page 84.
