JMiQ"-f(in) d d d ^(t,t....tn

((,-«J((.-a.)...((n-ocn) ^ ^ ^(t,,h, ... tn) dt.dt.'" dtn(ft,)f(Q...f(tny

où f{t) désigne une équation de degré n, dont les racine^ sont a^, a„ ... «n; et

ff(t«, ^. •••^n) le produit de tontes les différences des quantités ^4, f., ... fn, que Ton considère comme des variables. Il est sous-entendu que le signe 2, qui figure dans le premier membre, ft'étehd ft toutes les permutations que Ton peut faire dans les racines ««^ a,, a». Si maintenant on développe les deux membres suivant les puissances descendantes de l«, e,, ... tn^ et si Ton compare les coefficients des mêmes arguments en l«, e„ ,.. tn, on aura dans le prenïler membre une fonction symétrique quelconque 2atPia,pa...anPii, dont la valeur en fonction des coefficients de Téquatlon proposée f{l) sera fournie par le coefficient correspondant du même argument dans le second membre.

Exemple. Posons /■(()=: l*4-ftt-h<?, ^=a?, tr=y, ««=«, ««=p. On aura

(aï — aj (y—*.) (a?— a.)(y — ««)

En développant cett« expresaion suivant les painsaneed deMendintes de

œ, y, on aura, par la comparaison des arguments avec ceux de la série ci-dessus, les valeurs de toutes les fonctions symétriques que Ton peut former avec les racioei d'une équation de second degré.

M. Betti a généralisé cette formule de Borcbardt poQr le cas d*UD nombre quelconque d'équations algébriques à plusieurs variables (Annali di Maternalîca, Rome, 1858).