SUR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES DES RACINES ET SUR LEURS PROPRIÉTÉS

Soit réquation

(1) aoaî""-haiaf»'"^+aaa?'"-'^-h. . . 4-a'"=0, dont nous désigneroDS par «i , a^..., ^ les racines.

Une fonction donnée des racines est appelée symétrique, lorsqu'elle reste la même, quelque échange que Ton opère entre les racines. On conçoit facilement que si cette fonction est entière, elle pourra toujours être décomposée en une somme d'autres fonctions symétriques plus simples, qui seront toutes de la forme

(2) (p/ = SaiPaa««3'*a4'.-»

le signe S s'étendant à toutes les combinaisons I à / des indices 1, 2, 3..., m, et / désignant le nombre des racines qui figurent dans chaque terme.

Lorsque la fonction ^ ne contient qu'une seule racine dans chaque terme, c'est-à-dire lorsqu'on a ç = SaP, elle prend le nom de somme des puissances semblables des racines, et on la désigne par le symbole Sp.

Comme nous alIoD^ yoir, eeà fonctions , qui jouent un grand vàle dans l'analyse algébrique, sont douées de propriétés remarquables.

pREHiiRE PROpkiÈtÉ. Les îorhmes des puissances Semblables dès rtcineê s*èa:j^rtnlènt en foncliôh entière dés ôoefjicienls.

On a en effet, pour une somme quelconque Spj les deux formules suivantes , dont la seconde est due S Waring :

a, ÛQ ...

Sa, ai û^ ...

Sa, A] Al Aq • . .

ap.3. . .ai

où (A) et (p— A^— i) exprîtoènt, pour hhtt^et, lès produite l.â.3..-X et 1.2. 3. ..(p — X^ — 1); Xt , Xj...X^ étant d'ailleurs des nombres entiers assujettis à vériGer les'deux équations de condition «

(5) Xo 4- Xi + A^ + ^3 H- •- ^iii=P»

(6) Xi+2X,+3X3+4X4+...mX^=|>.

La première formule se déduit en tirant les valeurs de s^ des relations connuies éhiiré les soilimes s et les coef6cients, à savoir :

aoSi+l.ai==0, ao««+aiSt4-2aa=0, a58+a4«g+a2«i+3a,=0 (*),

qu*oh trouvé en comparant les coefGcients d'une même puissance de

(*) De ces mêmes équations on tire la valeur d*un coefficient exprimé en fonetiOB 4és sommes s. On aura, en efTet,

.kHz:^

«tf^...«l

!'• PARTIE. — CHAPITRE î. 3

X dans les dérivées de Téqaation X=^ 6, coiiàidéi*ée éomme fonction des coefficients, on comme fonction des ràciîieà. Dans le premier cas, on a

(8) X=maoa:™""^+(w— l)a|a^-*-h...+a,,,.i=0 ; dans le second,

Ponr démontrer la formule de Waring , nouii remarquerons ^âê la (9) donne

d*où il résulte que Sp est le coefficient de — ^ dans le dévéloppertient de la fonction

suivant les puissances asceùdantëâ de -. En posant -=y, Jâ série de Taylor nous fournira pour ce coefficient Texpres^ion

Or, d'après un théorème que nous avons inséré dans lès Annales âè Torlolini, 1855, cette dérivée se calcule aisément. Étant donnée, éû effet, une fonction quelconque 9 de la variable x liée avec une autre par une équation de la forme

la dérivée n*^^ d'ordre quelconque de la fonction <f exprimée éà fonction de la nouvelle variable y sera fournie par l'équation

où le signe 2 s'étend à toutes les valeurs entières et positives de p» fti» k^y ^•••f Ky qui vérifient les équations

TiNésignant, en général, le produit 1.2.3.../. Dans le cas actuel , on a ^ = log a; :

^(y)=«o+aiy+a«y*+...»

et en général [D/(p]=-(--l)'r((/), (t:2X::^)=V-

Il n'y aura donc qu'à faire convenablement ces substitutions dans la formule (12) et à la multiplier par ( — ir(p))""*, pour retrouver la formule (4).

Deuxième propriété. La fonction quelconque (f peut s'exprimer en ^fonction des sommes Sp. '

Pour cela, observons qu'on a évidemment

d'où (14) ?,=SaiP«j^= Vg-r «P+ç î

d'où S«iPa2««,''= «,Sa,Pa2^— Sa4P^-''«2?— Sa,P«j«^ > et, au moyen de la première ,

(15) Ç3=SaiP«j<î'a/= Sp Vr— «p4^«''— «p+r«ç— «<?+r«p— ^^i^H^r i <f—ZoLfa^9a{aJ=S,^OL,^OL^^a;-'^a,^^^

qui, par la précédente, deviendra

(16) ff^=: SpSgSfSi— {Sp^S^t--^ Sp^rSqSi + Sp+iSgSr) ,

De même,

(17) ç,= "toL^a^^a^aia^^ SpSgSfSfi^ — SSp+^^^s,, ,

+1.2.3.4Sip.^^^4.^,^,