I" PARTIE. —CHAPITRE I
en admettant que le sigoe 2 s*étende à tons les produits que Ton peut obtenir en combinant ensemble, 2 à 2, 3 à 3, etc., les lettres p, q, r, t, ^ qui figarent dans les indices.
En général, on obtiendra :
(18; (fi = 2j^i' «2* «8 •••«/ =*/^«i a2...a/«j,
— Zj^i ^ • • '«/-t>
d*oà il suit qu'en supposant connue la fonction
le second membre de Téquation précédente sera déterminé ; car il n'y aura qu'à changer les indices tti, Tig, tt/^j, respectivement, en îff+îf/» 7^,4-71/^, 7r/«|+wo pour calculer tous les termes qu'il contient. Par la même raison, la détermination de 9/.1 dépendra de 9/^2! celle de 9/^2 ^^ f/^s? ^tc. Il suffira donc de connaître les premières fonctions ^t, 9^, 93, 94, 9^, que nous avons données ci-dessus, pour en conclure toutes les autres.
De ces simples considérations et de l'inspection de cas particuliers donnés, on peut déduire une formule propre a fournir l'expression de (f en fonction des sommes des puissances semblables des racines.
Appelons Igy A/^, Aj^... X^-, les sommes de g^h, k...i exposants quelconques pris parmi lesiri, tt^..., tt/, sous la condition
et désignons par
la^omme de tous les produits que l'on aura en combinant dans les indices Xg, >/(, >^...Aj tous les g. A, k^... i exposants choisis g kg^ hk h^ k k k^ etc., parmi les exposants (?r)«
6 THÉORIE GÉPÎÉRAUE DE L'ÉLîMipïATION.
|l est clair (|qe f $er§ le fésujtat de raadjfijpp (|e pf9fre||Iç^ SfQT^TPÇI multiplié^^ chacune^ par cgrtaiqs pQ^fQcjpQt^ pppq^irjfm^^, D'ailiears, on aura pour chaque terme
(20) Xg+lH+h+ . . .+>«='":t + ?r, -(-... -^Trr,
car si l'on change les racines a en /^a, il faudra que chaque terme du second membre gagne le facteur p^i+^a-^i, dont se trouvera multiplié le premier, ce aui ne ppurra pas arriver à moins de la condition posée ci-dessus.
Il nous reste seulement à trouver les coefficients. A cet effet j'observe que, d'après (18), ^i {x^^i est le coefficient de
«wi-i-irH-...wj dans la fonction y^^ , celui de terme semblable
57ci+wj-^..,ici, dan^ la onction ç/, sera — (/ — l)^/-i.
Ge terme est le seul qui ait gagné un exposant à l'indice ; les aulres auront au plus le même nombre d'exposants à l'indice que les termes de la foqction f/.i, et en auront conservé les mêmes coefficients nomériques. Par la même raison , tous les termes ^ /.^ auront des coefficients identiques k ceux de (fi^2 « excepté le terme en
dont l'indice contiendra un exposant de plus que les autres, et dont le coefficient sera — (/ — 2) fois celui de 5^,^^,4.773-+. . ..«/«, dans la fonction 9/^2- ^^ suivant bien ainsi de près la formation des coefficients, on arrivera aux conclusions que voici :
1^ Les coefficients varient seulement lors de la variation du nombre des exposants dans un indice, et, au contraire, ils restent les mêmes tant que ce nombre demeure inaltérable ; /
2"* Le gain d'un exposant dans un indice qui affecte la lettre s et se compose de p — 1 exposants , ne commence à se faire que lors du passage de la fonction (pp.| à la fonction ^p. Hais comme, dans ce passage, |e coefficient acquiert le facteur — l (p — 1), op peut dirq que chaque fois que l'indice gagne un p*^"** exposant de plus, le coefficient gagne aussi un facteur ( — l)(p — 1) de plus.
lî' PARTIE. — ClUPITRR I. 7
Il $pjt (je là immédiatement gqis la lettre $, affect;|iQ 4' m iodiep composée de p exposants, aura pour coefBcient
(l)»-iQ,lj(p 2)(p— 3)...3.2.1=(~l)î^^r(pi fois celui de
fi=iff, qui est 1.
Donc le terme en
aura pour coefficient
(i)a-i-Hi-t-i-...«-i r(^)r(A) . . , rj[i) ,
pt i\ vjeqdrA en^n
(21) <f=^{-iy-^T{g)T{h)..X{{j'^sx^^^
(T étant le pombre de groupes g, h^ k^... i danç loquet l a ^t^ partagé. On n'oubliera pas que plusieurs des nombres g, ft,...t peuvent être égaux. Dans ce cas, si i exposants deviennent égaux entre eux, chaque terme exprimé en fonction des racines dans les deux nombres de la formule sera répété 1. 2. 3.. .t fois de trop. Ainsi, pour avoir la juste valeur de f ,il faudra diviser le second menâbre par 1.2.3.. .l'exposants. Une fois qu'à l'aide de cette formule on aura exprimé f en fonction des sommes <, on calculera pes diverses sommes au moyen de la formule (4) en fonction des coefGcients, et alors la fonction f se trouvera en dernier lieu exprimée par les coefficients de l'équation proposée. Comme les seconds membres des formules (3) et (4) sont entiers 4
une puissance près de •— , il s'ensuit que, en supposant a^z^i : t
Troisiëne propriété. Une fonction quelconque entière et symé-' trique des racines s'exprima par une fonction entière des coefficients.
Remarque. La formule (21) nous conduit à une relation intéressante : ^lle donne
^=(i>.-T(j,)2(-iy— «-«r(ft)...r(i)2**^»...*x„
(22) c'est-à^lire ^=(— l)^-'r(j)y/^,
(fi^g étant ce que devient f lorsqu'on y péglige les facteurs contenant
les exposants qui figurent dans l'indice X^. Ainsi, on aura {voir l'exetnpie (17))
Lorsque, par suite de la nature des exposants, il arrivera que deux ou plusieurs des indices X^, A/^, etc., seront numériquement égaux, il faudra ajouter au second membre de la relation (22) autant de termes semblables en ç/^^, etc.
Remarque II. Si Ton proposait de trouver le nombre de termes dans la fonction ^sxg sxi, sx,g...$\i , ce nombre, en supposant g y A, k...i différents entre eux, sera évidemment
— {g){h)(kU.(tr
car la série des indices dans un terme sera une combinaison des exposants pris 9 à 9, suivie d'une combinaison des {l — g) exposants différents des premiers et des seconds pris.ft à fc, et ainsi de suite. Mais lorsque g' nombres g, h, fc, etc., deviendront égaux à g, la série des indices X^ , X/^, X^,.., se trouvera répétée 1.2. 3... 9' fois de trop, et dans ce cas il faudra encore diviser le nombre N par 1.2. 3.. .9', pour avoir le nombre correspondant des termes dans la fonction sus- ^te. Supposons ainsi g' groupes d'exposants en nombre g^ K groupes t d'exposants en nombre A, etc., dans la série des indices dont la lettre s est affectée, le nombre N sera
sous la condition g'g+Kh+. .,%'% = l.
Cherchons maintenant ce que devient la formule (21), lorsqu'on suppose tous les exposants égaux à tt. Alors, comme dans
tous ces termes se réduiront à
g' hf i'
