I" PARTIE. — CHAPITRE I

cette fonctioD se réduira elle-même à

D'ailleurs, comme nous l'avons déjà observé, il faudra, dans la

même hypothèse, diviser le second membre (21) par 1.2.3.../. On

aura donc

V ^ 1Ï ^ ^ V^ M-^ i9-i )g^( fe-i)^^ . . {i-iY(i) j' /' /

ou

m 2«....=l(-)-^,^(^)'(¥)"...(ïr.

sous les conditions

<T=g+K-h...+i' et g'g-hKh+...+i'i=l.

Application. Le coefGcient a/ d'une équation est égal à

(— ySaia2...a/.

Posons pourtant 7r=l dans cette dernière formule et supposons, ce qui est toujours permis,

gf=l, ^==2,...»=:/ et 9=^1» K='k^...i'=Xi;

il viendra

sous la condition A|+2X, +.../>/=/.

On aura, par exemple.

Les formules (4) et (21) cependant , quoiqu'elles conduisent au but désiré, ne cessent pas de donner encore lieu à des calculs assez longs. Il en est ainsi de toute expression qui s'appuie sur les sommes des puissances semblables des racines. Cela dépend de ce que l'on a à tenir compte, dans ces sortes d'expressions, d'une multitude de termes qui, finissant nécessairement par se détruire dans le résultat

JO THÉORIE GÉNÉRALE DÇ L'ÉLIMIJÏATÏON.

final| ne servent qu'à prolonger ipijflile|i)pnt les calculs. SnppoçooSi pour 6xer les idées, qu'on ait à calculer I9 fonction Sa*(3*^, et posons pour un moment a^=l. On aura ^ d'après ce qui précède,

«1= — ai, «j=ai* — 2aia, 53= — ai^+Saia, — Sa^j 54= ai* — 4ai*a^4-4aia8+2a2* — 4a4, «f =î— ^ai?4- &ai*a^ — &(ifiaa* — 5(?i*a8+§a4a^4- Sa^ih-^^a^ ,

et l'on trouvera

Ainsi, les quatre premiers termes de 5^, les deux premiers de ^4 et le premier de 8^ étaient étrangers au résultat, et n'ont eu d'autre effet que de rendre le calcul plus pénible. Mais on peut maintenant éviter l'introduction de ces termes et écrire même d'avance la forme littérale de la fonction des coefficients , qui représente une fonction donnée des rfiçin^s, à l'aidç^ d'un t'fi^ofèrne important, dû à J^. Caylej çt à M. Brioscbi, et dont j'ai déjà donné, dans les Annales ^e Tortolini (septembre 1855), une démonstration extrêmement simple. Voici le tbéorème.

Quatrième propriété. La fonction des coefficients qui exprime la fonction des racines

{25 bis) ç=2«iPa.V..-=2^^i^'^«^'^»^'— H-

est de degré égal au plus grand des exposants p, q, r..., et les indices avec les exposants qui figurent dans chaque terme satisfont à V équation

(26) A|H-2ij+ 3X5H-...=|) + î+^+..-=5omm« des exposants.

Pour le démontrer, nous partirons de cette remarque aussi simple que féconde, à savoir, que les coefficients de l'équation donnée (1) sont des fonctions linéaires par rapport à une quelconque des racines.

n Nous supposons ici, pour plus de simplicité, ao=l.

l'? PARTIE. —CHAPITRE L H

Ed effet, quel qae soit t, le coefBcieDt a«- sera, en général, de h fpfme

(27) a, = M/Oa^ + N/0,

M/*\ N/^ désignant les fonctions des autres racines, hormis la racine O;, choisie arbitrairement parmi les racines at, a,, «s.*. Par conséquent, si dans la fonction

on remplace les coefBcients «i, a,, «;„ par leurs valeurs (27) , on aura

et le plus grand exposant dont sera affectée la racine quelconque «j sera la plus grande valeur de la somme des exposants,

^lH~^t • ^8 • • • • ^m >

qui devra être égale à la valeur maximum des exposants p, q, r..., que nous appellerons, pour plus de clarté, tt. D'un autre côté, la somme i|+A,+X8 4-..-+Xm représente précisément le degré de la fonction <f, considérée par rapport aux coefficients ; donc le plus haut degré de ces termes ou, en un mot, le degré de la fonction, sera bien égal au plus haut exposant de la fonction donnée des racines.

L'autre partie du théorème se démontre avec la même facilité. Supposons que les racines a, ^, y,... deviennent respectivement fca, Ép, fcy,..., la fonction y deviendra ftP-^^-+-»^*-.y; mais en même temps les coefficients de l'équation proposée se seront changés en

hax, k\, k\,

et ils auront gagn^ autant de facteurs k qu'il y a d'unjtés dans lei|rs indices. Par conséquent, chaque terme de la fonction f des coefficients aura gagné le facteur

Il faudra donc bien, pour que l'égalité (25 bis) continue à subsister, que l'exposant de k dans le second membre soit constant et égal précisément à la somme des exposants des racines dans le premier.

Reinarque. La fonction Ai4-2X,+ 3A3+... + wA„„ c'est-à-dire la somme des produits des exposants par les indices des coefficients appartenant à an même terme d'une fonction donnée, joue un grand rôle dans l'analyse que nous allons exposer, et en général dans tous les développements réels ou symboliques des fonctions. Il sera donc convenable, pour mieux préciser et faciliter par suite le raisonnement, de lui assigner un nom spécial. Nous l'appellerons le poids de la fonction» et quand ce poids sera constant, nous dirons que la fonction est isobarique. Ainsi, dans le cas actuel, on dira simplement que la fonction <f des coefficients est isobarique et de poids p+ q+ r+... ("). En se rappelant ce que nous avons dit page 6, on en conclurait aussi que la fonction f des sommes s est isobarique et de poids p + î-hr+...

Application. Prenons, par exemple, la fonction Sa^fS. Ici, le plus grand exposant est ir=3, et la somme des exposants |)+9+r+...=4. Donc la fonction des coefficients, qui la représente, sera de degré 3, isobarique et de poids 4. Donc elle sera de la forme

Aa/a,+Baia8+Ca,*+Da4.

Les coefficients numériques A, B, C, D pourront se déterminer de plusieurs manières. On peut se servir des sommes des puissances semblables , si elles sont connues , en y négligeant tous les termes qui seraient d'un degré supérieur à 3, comme on aurait pu le faire dans le cas de la fonction 2a*p*y traité ci*dessus, si Ton avait connu le théorème en question. On peut encore employer des équations dont les racines soient connues. Ainsi, les équations

0?'— 1=0, a?*— 2aj+l=0, a?'— 3«*+3aî+l=0, x*— 2x'+l=0

nous auraient fourni les équations de condition

d'où

A=sl, B=— 1, C=— 2, D=4.

(*] Nous appellôrons aussi équipoUence Télal d'une fonction satisfaisant à ces conditions*

l*^ PARTIE. — CHAPITRE I. 13

Si Ton introduisait de nouveau le coefficient a^, alors <f deviendrait

(28) (p= ['^Y^Cao^^(ii^' «î^'^3^'- • -«m^ t

et Ton pourrait énoncer le théorème précédent sous cette forme :

La fonction <f , par rapport aux coefficients, est, à une puissance pris de a^, homogène et de degré tt, isobarique et de poids p+9+r...

M. Caucby a donné, dans ses Exercices de Mathématiques, une méthode très-ingénieuse pour calculer les fonctions symétriques des racines en fonction des coefBcients. Elle consiste à éliminer de la fonction proposée (f successivement toutes les racines au moyen des^ équations qui lient les coefBcients d'une équation aux racines, à

savoir :

ûi + «1+01+ «s +--.aii-i+a„=0 , Û8 — (aiai+aia5+...a,a8+...+ a„-ia„)=0, (29) { a8+(aiata8+ata8a4+.-.+an-ia«-2ait)=0,

ûn± «i Of «8 •••«/! ==0.

A cet effet, en supposant que Ton veuille éliminer successivement les racines dans Tordre «„, «„«|, a„«2,... «j, «i, on prépare les équations susdites , de sorte que les racines

s'y trouvent éliminées. Ces équations se transformeront ainsi dans les suivantes :

<at + 01+0,+ «5-1-... 0,^=0,

i ««+ai(«i+at . . .+a^i)+ai*+a,*+a8*+. . .+ai-i+aia,^t+. . .a,»-tO^j=0, (30) ^03+0,(01+0,+.. .a„^)+ai(oi«+o,«+...a2^...)+Oi»+o,»+...aLi=0,

an+ On-i ai+ an-8«*+. . • «i" ,

dont la dernière ne sera que /*(oi) = 0.

On s'apercevra aisément que ces équations, prises à rebours, sont identiques aux équations

14 THÉORIE bÉNÈRÀLE DÉ t'ËLlMlNATION.

X,=Xa. = 0,

led seconds membres étant ce que deviennent les fonctions sand ^a^ rentbèse, lorsqu'on y fait successivement

car, les racines pouvant être toujours supposées indépendante^, léà équations de même degré entre un même nombre de racines ne peuvent djfl^rer entre elles.

Comme les équations (30) mises sous cette forme sont plus faciles à écrire, ce seront elles qui, à partir de la dernière et en remontant, nous serviront à éliminer successivement de la fonction f toutes les racines.

• Dnè foi^, par exemple, qu'on aura ëliniihé a^ dans la fonction 9 au iHoyeri de là dernière équation, qdi est linéaire par rapport a â„, on éliminera a„«i au moyen de Tavant-dernière, qui ne contient pliis a„. La fonction 9 sera ainsi transformée dans une autre, indépendante de a„ et de a^i. On pourra ensuite éliminer a^.2» en ayant recours à l'équation qui précédera les deux dernières, et, en continuant de la sorte, on arrivera à un résultat indépendant des racines, et qui sera la fonction formée. La série des éliniinations ^u'it fôiidrâit faire présenterait de grandes difficultés, si M. Csluchy n'avait j^ââ tfoûfé en même temps, dabs le tbéorème qui suit, un ftioyen dé lès évitei*.

Cinquième i^ropriété. Soit P la valeur de 9 considérée comme fonc» tton d* ordre p d^une certaine racine a et ordonnée suivant les puissances descendantes de a. Soit Q = une équation quelconque d* ordre p ou moindre que p, considérée aussi t;omm^ fonction de a. Si Von divise P par Q, le reste sera indépendant de ol.

P* PARTIE. — CHAt>lTRE I. 15

En effet, si Ton appelle q le quotient et R le resté, on atira

P = Qg+R.

Mais coUnle, ()at hypothèse, Q = , il Taiidra qde P=R. Or, si nous supposons que Q soit de degré p, le reste sera de degré au moins p — i et de la forme

On aura donc

Hais P est line fonction Symétrique pat* rapfiort à toutes les racines; ainsi cette équation sûtisisteràh pour ioutes lés n racines , pendant qu'elle est seulement de p — 1 ordre, ce qui est imposstible. Donc les coefficients des diverses puissances de a doivent être nuls. Il viendra doùC

le reste sera donc indépendant de a ; ce qu'il fallait démontrer. En profitant de ce théorème, oit opérera de la nianière suivante : On divisera (f, eotisidéré, par exemple, comme fonction de a„, par le premier membre de la dernière équation, c'est-à-dire par X„; on aura un premier reste indépendant de a„. En divisant ensuite celui-ci, considéré comme une fonction de a„i par X„«i, on obtiendra un deuxième reste indépendant de a„ et de (x„.|. En procédant dé la sorte, on arrivera à un reste indépendant de «„, a«-i,... a,, et en le divisant par X|, on arrivera enfin à ciri reste indépendant de (x„, a„-i,... a,, (Xi et, par conséquent, de toutes les racines, et qui sera la fonction cherchée.

Application. Cherchons à calculer par cette méthode la fonction

Il suffira d'abord de considérer Téquation «

on aura par suite

(]él)p=P*+(*»+«)P*+(«»+«**+OP+a»-l-o.«+oa.*+««, Le premier reste, dans ce cas, est

a*p*+ «y + pY+(«« + «H- P+ y) V+P*+ T*)

=Y*4-2Y'(a,a+p)4-Y*{(oi+«4-P)*4-2a»+2p*} + a*p»

+(a»+p«)(a, + a+p)*+2Y(«*+P*)(aiH-a+p).

qui, divisé par 7 r-7 — r: , en Toarnit un deuxième.

2p'(a| + a)+ 2p\a,4-a)*4-2(ai+a)p(aa+:aia+a,*)p +(a,+ 0ia7+ a«(a/+ 2aia).

On trouvera pareillement 9 pour troisième reste,

— (2a*— 2a,a'+2a,a*+2a3a+2aia8— 0,'); et Ton arrivera enfin au quatrième reste, ou à la fonction cherchée :

a,* — 2oia3+a4.

SixiÈMit PROPRIÉTÉ. La fonction 7 satisfait à l'équation aux dért-' fiées partielles.

Démonstration. Diaprés in deuxième propriété et la note page 2, (f est une fonction des sommes 5, qui à leur tour sont des fonctions des coefficients, et réciproquement. On a donc

^^ d8r~daidsr^d7,d^'^da^ rf^r"^'"'"*" (/a„ rf^r ' /Q*\ doi ^^, ^î^^i . dOj dcLm

^ ^ dSr~ d«, dSr "^ da, rf5r "*"• • •"*" do^ dSr '