Exemples, — 1°. On propose d'évaluer l'erreur du produit
sachant que chaque facteur est approché par défaut, à moins d'une unité de Tordre de son dernier chiffre.
Ici m = 5 ^ A et A/ sont plus grands que i . On pourra compter sur les quatre premiers chiffres du produit , et comme la partie entière aura cinq chiffres, on ne connaîtra ce produit qu'à une dizaine près. La multiplication, faite à la manière ordinaire, donnerait six décimales dont pas une n'est à conserver, puisque le chiffre des unités peut même être fautif. Nous reviendrons sur ce calcul après avoir exposé le procédé de la multiplication abrégée (23)^ qui a pour but de ne faire concourir à la formation des produits partiels que les seuls chiffres efficaces.
Le produit en question est 27136,2..., ou, d'après la règle du n** 8 ,
27 i4o , à une dizaine près.
2*^. Soit encore le produit
dont chaque facteur est approché par défaut à moins d'une unité de son dernier chiffre.
On am = 5, h = i Qtk'>i\ c'est le cas où, d'après la discussion du numéro précédent, on n'est pas certain que le
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 3l
produit ait plus de m — % ou de trois chiffres exacts. Mais si l'on prend la peine de séparer les deux erreurs relatives, on
voit que celle du multiplicande est moindre que — ^ ? et
celle du multiplicateur moindre que -= -> En somme,
l'erreur du produit et donc moindre que — ;■ ( h ^ ) 5 et à
fortiori est-elle plus petite que — j- Donc (7) on pourra
encore compter sur quatre âx\Sr es au produit, et comme la partie entière aura précisément quatre chiffres, le produit sera connu à moins d'une unité près. 3°. Considérons enfin le produit 9087 X 1000,
dont chaque facteur est supposé approché par défaut à
moins d'un unité.
On a
/w = 4 , ^ = I et X ' ^ ï .
Ici encore on a est pas certain à priori que le produit 9087000 ait plus de m — 2 ou de deux chiffres exacts. Cependant) si l'on remarque que l'erreur absolue du produit est moindre (16) que la somme 10087 ^^^ deux facteurs , somme inférieure à 1 1000 , on verra qu'en augmentant d'une unité le troisième chiffre 8, et négligeant les suivants, le résultat 9090000 sera une valeur approchée du produit à moins d'une dizaine de mille.
20. Le théorème démontré au n** 16 fournit immédiatement une limite supérieure de l'erreur absolue d'un produit ^m facteurs a, 6, c, . . . , /. En la désignant par R , il est démontré qu'on a
abc, , , l a b c ** /
Chassant les dénominateurs , il vient
K<Ca.bc. , J-hp.ac. ..l-\-y.ab. ..l -{-
Ainsi V erreur absolue d'un produit de m facteurs approchés par défaut est moindre que la somme des produits qiion obtient en multipliant Terreur de chaque J acteur par le produit des m — i autres facteurs.
Dans l'évaluation de cette somme , comme il ne s'agit que d'avoir une limite supérieure, il est entendu qu'on remplacera a, |3, y, etc., par leurs limites, données, et a , i, c, etc., par des nombres en excès.
Il est utile aussi, dans certains cas, notamment dans l'extraction des racines (32), d'avoir une limite inférieure de Terreur absolue. Or, si l'on considère d'abord deux facteurs a, i, Terreur absolue
«p 4- ba. — ap
est évidemment plus grande que
ou que la somme des produits de Terreur de chaque facteur multiplié par l'autre facteur , prisa^ec sa valeur approchée par défaut. On est ainsi conduit à ce théorème :
L'erreur absolue d'un produit de m facteurs approchés par défaut est plus grande que la somme des produits quon obtient en multipliant Terreur de chaque facteur par le produit des m -^ i autres facteurs pris av^ec leurs valeurs par défaut.
En supposant cette proposition vraie pour un produit de p facteurs a, i, c, . . . ,/, on prouvera, comme on Ta fait (16) pour Terreur relative, qu'elle est encore vraie pour un produit renfermant un facteur m de plus. ^
21 . Passons à la seconde question des approximations. Il s'agit de savoir combien de chiffres il faut employer dans '
DES APPROXIMATIONS lîUMÉRIQUES. 33
chacun des facteurs a, &, c, etc., pour que Ton puisse compter sur les m premiers chiffres du produit.
Il suffira (7) que l'erreur relative du produit effectué
soit moindre que ou moindre que — ; ^ (h étant
le chiffre des plus hautes unités du produit). Et, pour cela, la somme des erreurs relatives des facteurs devra être, au plus , égale à cette même fraction.
L'erreur relative de chaque facteur reste donc indéterminée, pourvu que la somme ne dépasse pas cette limite. Soit/? le nombre des facteurs. Ce qu'il y a de plus simple à faire, c'est de rendre chaque erreur relative inférieure à
la p''"*' partie de la limite — - : on posera donc
ou mieux (lorsque le chiffre A: sera en évidence)
/?(/- + ! )i Qu'-
Ainsi Terreur absolue de chaque facteur sera proportionnelle (ou à peu près) à ce facteur ^ et, selon la grandeur de p^ nous saurons combien de chiffres il faudra employer pour chaque facteur. Dans la pratique, p ne dépassera pas 4 ou 5; autrement, on devrait procéder par logarithmes. Supposons donc p<^iO'^ nous pourrons formuler la règle pratique suivante :
Il suffira Je m4- i chiffres pour tout facteur dont le
premier cnijfre sera égal ou supérieur a p [ou a ^— ^ ^>
si l'on peut faire usage de A. Il suffirait même de m chiffres
34 TBÉOUE GÉSÉRAl^
pour nu facteor dont le premier cbiflre serait ^al ou sa-
périenr à p (A + 1 ) ]-
Dans le cas contraire, on emploiera m + s chiffres, S^il s'agit de deux facteurs a, b, dont Tun b soit pris
avec sa râleur exacte^ on doit faire p = ij c'est-à-dire
satisfaire à Yinée^ié-<^j^ r -• Ainsi, m+i cliif-
fres suffiront toujours pour a, lorsque b sera exact.
Dans les applications, on emploiera avec avantage le procédé de la multiplication abrégée que nous ferons bientôt connaître.
22. L'exemple suivant montrera les précautions à prendre pour éviter des calculs trop longs.
On propose de calculer avec trois chiffres exacts (ou
bien à moins de de sa valeur) le produit
lOO I r
On a/; = 3, /n = 3, et le premier chiffre de chaque facteur est égal ou supérieur à p. Donc (21) il suffira de m + I ou quatre chiffres pour chacun.
Il vient
et si Ton désigne par P le produit exact, dont la partie entière aura évidemment deux chiffres, on aura
DES ÂPPROXIMÂTIOJNS NUMÉRIQUES. 35
La valeur du produit (v^3 H- 2) (^45 — i) (v^8+ i), à
moins de de sa valeur, est donc 81,6.
Nota. — En effectuant les deux multiplications successives à la manière ordinaire, le produit 81 ,545... jC7ré5enterait /lei// décimales , dont une seule serait à conserver. Afin d^ abréger ces calculs, la première question qui se présente , c'est de savoir combien de chiffres il est utile de conserver dans le premier produit, celui de, 3, 78 2 par 5,708. Or, si nous considérons le produit P — €, ou
abstraction faite des radicaux dont il provient , nous n'avons besoin de connaître sa valeur qu'avec trois chiffres exacts -, et, de plus, il faut qu'en la réduisant à ces trois chiffres seulement , nous soyons certains que cette valeur reste approchée par défaut y afin de pouvoir compenser à la fin du calcul l'erreur e par une erreur de sens contraire (8).
C'est pourquoi il convient d'opérer, comme au n° H, «n assurant au prodj^it P — e, un chiffre de plus, en tout quatre chiffres. Or ce produit peut être regardé comme composé de deux facteurs dont un seul (3,732.5,708) sera pris approximativement. Donc il suffira (21 ) que ce dernier soit calculé avec m-Hi ou cinq chiffres 5 et comme il aura évidemment deux chiffres à sa partie entière , c'est à la troisième décimale qu'on s'arrêtera. On trouve ainsi 2i,3o2 pour valeur approchée du facteur (3,732 . 5,708 ) , et il reste à la multiplier par 3,828, ce qui donne
•^ \ »^^o *oo ^ 10/
36 *TnÉORlE GÉNÉRALE
Procédé de la multiplication abrégée,
23. Dans les multiplications qu'on vient de faire , le procédé de la multiplication abrégée n'aurait pas d'avantage notable sur la règle ordinaire, parce que les facteurs ne sont pas composés d'un grand nombre de chiffres. C'est pourquoi, pour faire mieux ressortir la simplification attachée à ce procédé , nous préférons l'exposer sur un autre exemple.
Proposons- nous de calcider le produit
5o , 76948 X 32 ,98375 , à moins de de sa valeur, c'est-à-dire avec quatre chîf-
lOOO ^
fres exacts. Comme la partie entière aura évidemment quatre chiffres, c'est à celui des unités qu'on s'arrêtera finalement 5 mais il est clair que . pour pouvoir répondre du chiffre des unités du produit, il faudra connaître les dixièmes de chaque produit partiel , à cause des unités de retenues que ces dixièmes peuvent fournir. Ainsi chaque produit partiel
sera calculé à moins de — • A cet effet, on donne ordinai-
lO
rement au calcul la disposition suivante :
Produit = 1674,37 On renverse l'ordre des chiffres du multiplicateur, qui de-
vient 5738923 , €t on l'écrit ainsi renversé, de manière qu« le chiffre 2, de ses unîtes soit placé au-dessous du chiffre 6 des centièmes du multiplicande (en général , au-dessous du chiffre du multiplicande qui eicprime des unités inférieures de deux ordres à l'unité qui marque l'approximation cherchée) . Il résulte de cette disposition que chaque chiffre du multiplicateur correspond à celui du multiplicande, dont le produit par ce chiffre donne des centièmes. Cela posé, on multiplie successivement par chaque chiffre du multiplicateur la partie du multiplicande située à gauche et terminée au rang du chiffre multiplicateur. Ainsi, pour le premier produit partiel, on n'a égard qu'à la partie Sojdp, et l'on dit 3 fois 9 font 27, etc., ce qui donne 162307 centièmes. Pour le second produit partiel, on n'emploie que la partie 6076 qui, multipliée par 2, donne ioi52 centièmes , etc. On s'arrête au dernier des chiffres du multiplicateur qui a son correspondant supérieur dans le multiplicande , c'est-à-dire au chiffre 3 y lequel donne pour cinquième et dernier produit partiel, i5 centièmes. Enfin, additionnant tous ces produits, on obtient 1674,37.
Pour apprécier l'erreur commise, remarquons que chaque produit partiel est approché à moins d'un nombre de centièmes marqué par le chiffre qui a servi de multiplicateur. Ainsi, le produit partiel 1 5 2307 centièmes est approché à moins de 3 centièmes \ car la partie négligée du multiplicande est moindre qu'une unité de l'ordre du dernier chiffre employé 9 •, et cette unité , multipliée par le chiffre 3 du multiplicateur, donnerait 3 centièmes < D'après cela, l'erreur commise sur la somme des cinq produits partiels est moindre que
38 THÉORIE GÉ^ÉRALE
mais ce n'est pas encore la lîmîle supérieure de l'erreur totale, parce qu'il faut tenir compte de la partie 7 5 , négligée au multiplicateur. Or cette partie est moindre qu'une unité de l'ordre du dernier chiffre employé 3 5 et cette unité ^ multipliant le 5 du multiplicande, donnerait un produit égal à 5 centièmes, avec une erreur moindre que i centième. Donc l'erreur résultant de ce qu'on a négligé les chiffres du multiplicateur qui n'ont pas de correspondant supérieur dans le multiplicande, est moindre que (5 -h i) cen« tièmes.
Enfin , l'erreur totale qui peut affecter le produit 16^ ^^Zj a pour limite supérieure ,
0,01 (3 + 24-9-t-8H-3-h5-|-i) ou o,3i.
Maintenant, si Ion réduit ce produit à ses quatre premiers chiffres, on fera une nouvelle erreur de 0,37 qui, ajoutée à la limite précédente , donnera 0,68 <^ i . Donc 1674 est la valeur par défaut du produit cherché», à moins d'une unité.
Dans le cas où l'erreur provenant de la réduction du produit à ses quatre premiers chiffres, ajoutée à la limite d'erreur précédemment obtenue , aurait donné une somme plus grande que i, on aurait pris 1675, conformément à la règle du n® 8. Seulement , le sens de l'approximation serait resté incertain. Si l'on tenait à lever ce doute, il aurait fallu calculer le produit avec xui chiffre exact de plus , c'est-àdire avec cinq chiffres.
Remarque. — Si le multiplicande ne s'était pas prolongé vers la droite, au delà du chiffre 9 auquel correspond le dernier chiffre à droite du multiplicateur, en sorte que la partie 48 n'eût pas existé , le premier produit partiel 1 5 2307 n'eût pas été fautif; et , par suite , dans l'expression ci-dessus de la limite d'erreur, le chiffre 3 qui a servi de multi-
plicateur à ce produit partiel aurait disparu de la somme ( 3 + 2 4- 9 -h 8 -f- . . . ) , et la limite d'erreur se serait réduite à 0,01 (2-1-9-+-.. .-f-S-hi).
Si Ton supposait que le multiplicande perdit encore un chiffre vers la droite et se réduisît à 60,76, on le compléterait on écrivant un zéro à la droite du 6 , afin que le chiffre 3 du multiplicateur eût son correspondant. Mais alors on voit que les deux premiers produits partiels cesseraient d'être fautifs, et, par suite, leurs multiplicateurs i et 2 cesse-raient de figurer dans la limite de l'erreur qui se réduirait à 0,01 (9 H- 8 -f- 3 -H 5 -h i) ; et ainsi de suite.
De même, si le multiplicateur ne s'était pas prolongé vers la gauche , au delà du chiffre 3 auquel correspond le premier chiffre du multiplicande, en sorte que la partie yS n'eût pas existé, on aurait dû supprimer (5-f-i) de la somme précédente, ce qui aurait réduit d'autant de centièmes la limite de l'erreur, etc.
De ce qui précède, on conclut cette règle générale pour apprécier le degré d'erreur que comporte le procédé de la multiplication abrégée :
On fait la somme des chiffres du m,idtiplicateiir ren^ v^erséy à partir du premier de ceux des chiffres à droite dont le correspondant multiplicande est suivi d'un ou plusieurs chiffres significatif s y jusqu'au dernier de ceux qui ont un correspondant multiplicande ; et, si le multiplicateur se prolonge à gauche du multiplicande, on ajoute à cette somme le premier chiffre à gauche du multiplicande y augmenté de i, — Puis, on multiplie le tout par l'unité inférieure de deux ordres à celle qui marque l'approximation demandée. Le produit qui en résulte est une limite supérieure de l'erreur commise.
Tant que le nombre des produits partiels ne dépassera pas 10, la somme des chiffres du multiplicateur et du pre-
4o THÉORIE GÉIfÉ&AI.E
mier chiffre du multiplicande , plus i , sera au plus égale à (9 X lo H- 9 -h i) ou 100. Par conséquent, Terreur commise sur le produit total sera moindre qu'une unité de Tordre qui marque T approximation demandée.
Si le nombre des produits partiels dépassait 10, Tapproximation pourrait n'être plus suffisante. Il faudrait alors avancer d'un rang vers la droite le multiplicateur, de sorte que chacun des chiffres de ce facteur fût placé sous celui du multiplicande dont le produit par ce chiffre donne des unités inférieures de trois ordres à l'unité qui marque T approximation demandée.
Au contraire, il pourra arriver qu'il suffise de placer le multiplicateur renversé de manière que le chiffre de ses unités soit sous le chiffre du multiplicande qui exprime des unités inférieures dun ordre seulement à Tunité qui marque l'approximation demandée. Il en sera ainsi , quand la somme des chiffres à employer comme facteurs dans le multiplicateur ainsi disposé, augmentée du premier chiffre à gauche du multiplicande 5 sera moindre que 10. En effet, soit u Tunité de Tordre qui marque l'approximation qu'on doit atteindre \ Terreur commise sur le produit sera
moindre que 1 1 — ; et comme le dernier chiffre à droite qui est à négliger dans le produit, est au plus égal à 9, sa valeur relative sera au plus 9 — • Somme toute, Terreur définitive sera moindre que 20 — ou 211. Donc, en augmentant de I le dernier des chiffres conservés, on aura le produit à moins de m, comme il était demandé. Le sens de l'approximation restera incertain.
Il est entendu que si le multiplicande n'avait pas assez de chiffres vers la droite pour que les chiffres du multiplicateur pussent être placés selon les règles précédentes,
on compléterait le multiplicande en écrivant des zéros à sa droite.
24. Comi|ie il importe de se familiariser avec les règles qui viennent d'être exposées, nous placerons ici d'autres exercices.
1**. Reprenons d'abord l'exemple du n*^ 19. On disposera le calcul ainsi :
En considérant les deux facteurs i85o,34 et 3,4567 comme exacts, 6396 est une valeur approchée de leur produit à moins de 0,01 (4 -H 5 -4- 6 -h 7) ou 0,22 5 mais comme ces facteurs ne sont eux-mêmes qu'approchés à moins d'une unité de l'ordre du dernier chiffre décimal , nous savons (19) que leur produit est déjà affecté d'une erreur qui a pour limite supérieure l'unité. Pour compenser ces deux erreurs (8) , on augmentera d'une unité le quatrième chiffre , et 6397 satisfera à la question.
Il est à propos de remarquer que si l'on n'avait pas d'avance apprécié l'erreur qui provient de ce que les deux facteurs ne sont pas exacts, la règle donnée au n^ 23 aurait pu fournir la limite de l'erreur totale. En effet, le multiplicande n'étant pas fautif d'un centième, le premier produit partiel 555 102 est approché à moins de 0,01 X 3, et, par conséquent , on aura égard à l'approximation du multiplicande en rétablissant dans la limite de l'erreur le facteur 3 , comme si le dernier chiffre 4 du multiplicande était
4a THÉORIE GÉNÉRALE
suivi d'autres chiffres. De même, pour tenir compte de l'approximation du multiplicateur, il suffit de remarquer que ce facteur est en défaut de moins d'une unité de l'ordre de son dernier chiffre 7, et que cette unité donnerait moins de 0,01 (iS + i) dans le produit. Donc enfin la limite de l'erreur totale est
o,oi(3-h4H-54-6+ 7+18 + 1), ou o,44<i,
et , par conséquent , nous savons maintenant que 6896 est une "valeur approchée par défaut, à moins d'une unité.
7?. On propose de calculer l'aire d'un cercle dont le rayon est 4"*>7î^ 9 sachant que la valeur de ce rayon est approchée à moins de i centimètre.
L'aire cherchée est un produit dont l'un des facteurs est le carré du rayon , et l'autre le nombre tt. Or l'erreur relative du rayon 4^9 7^ étant par hypothèse moindre que 7 — 9
l'erreur relative de son carré sera moindre crue 7 — > ou
? et cette dernière fraction sera nécessairement une par-
tie de la limite de l'erreur finale. Ainsi, quelle que soit
V approximation du facteur tt, on ne saurait répondre que
l'erreur relative de l'aire sera moindre gue - — • On peut
seulement se proposer de la rendre inférieure à ? et,
pour cela, il suffira (16) que Terreur relative de la valeur approchée de tt soit moindre elle-même que • On prendra donc TT = 3,i4 , et le produit
(4,72)^3,I4, ou 22,2784x3,14?
sera une valeur approchée de Faire du cercle avec deux chiffres exacts. Comme la partie entière aura évidemment
deux chiffres, on voit que Taîre sera connue à moins de I mètre carré seulement.
La question est ramenée à calculer le produit
avec deux chiffres exacts ou à moins d'une unité. D'après la règle de la multiplication abrégée, on disposera le calcul ainsi :
Le nombre 69,91 est une valeur approchée par défaut du produit (4,72)'. 3, i4j à moins de 0,01 (3 4-1 + 4)5 ou de 0,08; et, par suite, 69 est une valeur du même produit, approchée par défaut à moins de 0,99 ou de i. Donc enfin l'aire du cercle est égale à 70 mètres carrés , à i mètre carré près.
3°. On propose de calculer avec quatre chiffres exacts la longueur de la circonférence qui a pour rayon le côté du décagone régulier étoile, inscrit dans le cerclé de rayon i .
Le nombre à calculer est exprimé par
puisque Ton veut quatre chîflVes exacts à ce produit, on prendra (21) chaque facteur avec cinq chiffres, c'est-àdire
Le produit ayant deux chiffres à sa partie entière, c'est au chiffre des centièmes qu'on devra s'arrêter. La multiplication abrégée fournit le nombre io,i655 approché à moins
44 TBÉORIE GÉNÉRALE
de o,ooi I, et , en n^ligeant les deox derniers chJflres, ou a io,i6 , qui est approché à moins de 0,0066, et à fortiori à moins de 0,01. Enfin , on a
4^. Calculer, à moins de i centimètre près, la longueur d'une circonférence dont le rayon est la diagonale du carre qui a I mètre de côté.
La longueur cherchée est exprimée par 2 t: v^ ou tt yS , et, comme ce produit sera moindre que 10, la question revient à le calculer avec trois chiffres exacts. Pour cela, on prendra chaque facteur avec quatre chiffires; soient donc
Le produit calculé par le procédé abr^é est 8,8824, à moins de 0,001; et en le réduisant à 8,88, on a une valeur par défaut approchée à moins de 0.0 1. Donc enfin, la longueur de la circonférence cherchée est 8", 89, à moins de I centimètre près.
Div^ision.
25. Théorème. — L'erreur relati\^e d^un quotient approché par défaut est moindre que la somme des erreurs relatildes de ses deux termes.
Soient a — a, i H- j3, les valeurs approchées des deux
termes du quotient j 9 la première par défaut et la seconde
par excès. Le quotient -j sera approché par défaut, et
son erreur absolue sera'
a a — a a p -{- b ex.
quantité moindre que -^—j- — 5 et, en divisant par -, ou voit que l'erreur relative sera inférieure à
Cette limite est la même que pour la multiplication (16)5 el Ton s'explique cette coïncidence en regardant - comme
le produit de a par-r»
26. Si le dividende a était pris par excès ainsi que le diviseur, on ne saurait pas si le résultat t ^ serait approché
par défaut ou par excès; l'erreur relative aurait alors pour limite zh ( jU différence des erreurs relatives des deux
termes. On pourrait donc, à fortiori, assigner à l'erreur la limite supérieure posée dans le théorème précédent 5 mais cette limite n'a plus lieu rigoureusement quand le diviseur b est pris avec une valeur par défaut (*).
Si le diviseur b est pris avec sa valeur exacte , il faudra faire /3 = o, et l'erreur relative du quotient sera précisément égale à celle du dividende ; si c'est le dividende qui est pris
(*) En général, soient a' et b' deux Yaleurs approchées par défaut de a et de 6; a, /3 leurs approximations respectives. L'erreur commise sera, dans tous Us cas, moindre que la difTérence
û'-ha a' b' a. -h a' ji -i- a/3
~' ï^+^' ^" fc'(6'4-/3) '
a' et, si Ton divise par -; — - > l'erreur relative sera toujours moindre que
46 THÉO&IE GÉHÉILALE
exactement, Terreur relative du quotient sera moindre que celle du diviseur.
Un cas qui se présente fréquenunent dans les calculs logarithmiques , est celui où il s'agit d'une fraction proprement dite T' dont les deux termes sont approchés à moins
d'une demi-unité, sans qu'on sache dans quel sens. Alors on a
Si l'on suppose d'abord que a soit pris par défaut et b par excès , l'erreur absolue du quotient sera moindre que
— — , et, à fortiori , moindre que - • -;- ou t*
Si a est pris par excès et b par défaut, le quotient sera
approché par excès, et son erreur absolue sera moindre
la 1 a-h b ^ 1 ^ 1 ^
que T ou — — -, r-« Ur a est au plus eeai a
b — 15 donc cette fraction est au plus égale à I 2b —1 2 I
même limite que ci-dessus.
Enfin, si a et b sont pris tous deux par défaut ou tous deux par excès, Terreur du quotient sera évidemn^ent plus petite que dans l'un des cas précédents.
Donc , en tout cas , on a pour limite supérieure de Terreur
commise, y> c'est-à-dire Y unité dwisée par le dénominateur de la fraction proposée,
