Celte limite trouve son application dans le calcul

approché du nombre correspondant à un logarithme donné. Si â désigne la différence entre le logarithme donné et celui qui en approche le plus en moins, A la différence tabulaire , la règle des parties proportionnelles conduit à calculer la

fraction -9 où (î et A sont approchés à moins d'une demiunité de l'ordre de leur dernier chiffre 5 l'erreur absolue du quotient est donc moindre que -» et, par suite, l'approximation est d'autant plus grande que A est plus grand. Dans les Tables de Callet , ce nombre A a deux ou irois chiffres au

plus. C'est pourquoi, dans la conversion de -- en décimales^

on ne pousse pas le calcul au delà du chiffre des centièmes. Dans la recherche de l'arc correspondant à un logarithmesinus, ou logarithme-cosinus, ou logarithme-tangente, la règle des parties proportionnelles conduit à multiplier 10''

par la fraction — L'erreur provenant de ce que (J et A ne sont approchés qu'à une demi-unité près, est donc une fraction de I o'^ moindre que - ; ou , ce qui revient au même ,

elle est une fraction de 1'' moindre que — » Par exemple,

soit

log tang X = 1 ,2323674»

Le logarithme qui approche le plus en moins est i , 2323 1 89, et il répond à l'arc de (9*^41' 20''). La différence tabulaire A= 1269, et l'on a (î = 485. Le nombre de secondes à

ajouter à l'arc précédent est donc lo^^-^-rr-j et, dans ce

quotient, on pourra répondre de — ^ de seconde. En poussant la division jusqu'aux centièmes , oiî trouve 3",82 : d'où

l'on conclut

Si le même arc avait dû être calculé par son logarithmecosinus, le diviseur 1269 eût été remplacé par la différence tabulaire 36 relative au cosinus, et l'on n'aurait pu répondre dans le quotient que de -5 de seconde.

Avec le logarithme-sinus, l'approximation eût été à peu près la même qu'avec la tangente , cependant un peu moindre, puisque le diviseur A eût été i233.

Si l'on désigne par A, A', A'' les différences tabulaires correspondantes aux trois lignes trigonométriques tangente, sinus, cosinus d'un même arc, on a toujours

par conséquent , l'approximation fournie par la tangente est toujours supérieure à celle que donnent les deux autres lignes trigonométriques.

28. Si a et b sont donnés approximativement chacun ai^ec m chiffres , quel sera le nombre des chiffres sur lesquels on pourra compter dans le quotient ?

L'erreur relative du quotient ayant même limite supérieure que celle du produit, on voit tout de suite, comme au n° 17, quel'o» pourra toujours compter sur les m — 2 premiers chiffres du quotient.

Puis , en faisant intervenir les premiers chiffres à gauche k et k' de a et de &, on reconnaît, comme au n° 18, que si k et k^ sont tous deux plus grands que i , on pourra compter sur m — 1 chiffres.

Mais si k et A' sont tous deux égaux à i, on ne peut plus dire que le premier chiffre à gauche du quotient soit, comme celui du produit, moindre que 4- Par exemple,

on ne peut donc pas affirmer que le quotient présentera, dans ce cas, m — i chiffres. La dernière conclusion du n*^ 18 doit être ainsi modifiée :

Si k ef k' sont égaux ài^ ou que l'un d'eux seulement soit égal ài^on pounn compter sur m — i chiures au quotient toutes les fois que le premier chiffre du quotient ne dépassera pas 4-

29. Passons à la question inverse. Combien de chiffres faut-il employer dans les termes a et i, pour que l'on puisse

compter sur les m premiers chiffres du quotient - ?

Bien que la réponse à cette question résulte implicitement de la discussion précédente, il ne sera pas inutile, comme exercice , de la chercher directement.

Il suffit que l'erreur relative du quotient spit moindre que

— ;-^9 et, par suite, que les erreurs relatives de a et b soient moindres que

Donc , si le premier chiffre à gauche de a ou dfsh est plus grand que i , il suffira de calculer ce nombre av^ec m -f- i chiffres^ sinon , on en prendra m -h 2.

/n -H I chiffres suffiront toujours pour l'un des nombres a ou i, quand l'autre sera exact. •

En faisant usage du premier chiffre du quotient , chiffre que l'on peut souvent avoir à l'inspection de a et de J, les limites que nous venons d'assigner s'abaissent. En effet, si le premier chiffre du quotient ne dépasse pas 4 ? il suffit, pour que l'on puisse compter sur ses m premiers chiffres ,

que son erreur relative soit inférieure à t? ^ : 5 et,

^ (4+i)io'«-'

par suite , que les erreurs relatives de « et i soient moindres que —r-, ^^ : ou que — • Donc alors m 4- i chiffres

^ 2(4 -h l) IO'«-' ^10" *^

5o THÉORIE GÉNÉRALE

suffiront pour a e£ b, lors même que leur premier chiffre à gauche serait i .

En définitive , il n'y a lieu d'employer /» 4- 2 chiffres que lorsque le premier chiffre de « ou de i est i , et que le premier chiffre du quotient dépasse 4 (*)•