La réciproque du théorème précédent n est pas vraie
Si Terreur relative d'un nombre est moindre que -i ?
il ne s'ensuit pas que les m premiers chiffres de la valeur approchée de ce nombre soient exacts , nî même que Terreur absolue soit moindre qu'une unité de Tordre du m'^'"* chiffre.
En effet , comme on a , en général ,
il est clair que l'inégalité
a ^ X. lO
peut subsister sans que l'on ait a <[ i .
Par exemple , soit a = 398,2345.
Si l'on prend pour valeur approchée 397 , on fera une erreur absolue a= i,2345. . . plus grande que i. L'erreur relative ^ ' !t sera visiblement plus petite que
7: -^ et cependant le troisième chiffre 7 de la valeur approchée sera fautif.
Voici comment l'énoncé de la réciproque doit être formulé.
7. Théorème. — *&* V erreur relaUVe d'un nombre dont le premier chiffre est k , est moindre que jr v — i^z] ? les
m premiers chiffres de la valeur approchée de ce nombre seront exacts^ ou, du moins, cette valeur ne sera pas fautii^e d'une unité de l'ordre du m**'"* chiffre. En effet , par hypothèse , on a
«^(A--hi) 10"'-' mais on a, évidemment,
«<;(^-f- i) 10™-"'^ donc
Corollaire. — Lorsque le chiffre k des plus hautes unités du nombre n'est pas en évidence, on peut remplacer la
limite ^^^^'^^^, par ^; en effet, k est au plus égal
à 9. L'énoncé du théorème précédent se change alors dans celui'ci : Si l'erreur relatiy^e d'un nombre est moindre que
~-^ 7 les m premiers chiffres de la valeur approchée de ce
nombre seront exacts^ ou, du moins, cette valeur ne sera pas fautive d'une unité de F ordre du m'*'"* chiffre.
8. Remarque. — Dans Texemple cité plus haut, où a = 398,2345. . ., si Ton prend pour valeur approchée
397,4 , Terreur relative sera moindre que -7 ^ ; ici 7/2 = 3 ,
et l'on peut dire, conformément au théorème, que cette valeur 397,4 n'est pas fautive d'une unité : maïs on voit que le troisième chiffre 7 de la valeur approchée n'est pas exact. Si Ton tient à la réduire (comme d'ordinaire) à ses trois premiers chiffres , on ne saurait prendre 397, puisque l'erreur définitive surpasserait Funité. On ferait ainsi deux erreurs successif es et de même sens, la première résultant de ce que 397,4 n'est déjà qu'une valeur approchée par défaut , la seconde provenant de la suppression des chiflres qui suivent celui des unités. Chacune de ces erreurs est, à la vérité, moindre que i ; mais leur somme est plus grande que i .
Cependant il y a un moyen bien simple et général de former une valeur approchée à moins d'une unité , tout en la réduisant à ses m premiers chiffres : c'est d'augmenter de I le dernier des chiffres conservés. Ainsi , dans le cas qui nous occupe, si l'on prend 398, les deux erreurs, au lieu de s'ajouter, se retranchent l'une de l'autre, et, comme chacune est moindre que i , leur différence est à fortiori moindre que i. Seulement, comme on ignore ordinairement laquelle de ces deux erreurs prédomine, on ne sait pas si le résultat définitif est approché par défaut ou par excès. Cette incertitude a peu d'importance dans la pratique; au reste, nous montrerons plus loin comment elle peut être levée.
De tout ce qui précède , on conclut la règle suivante , qui est d'un emploi fréquent :
Si V erreur rclativ'e d'un nombre approché par défaut
8 THÉORIE GÉJNÉRALE
est moindre que — - [ou même, si elle est moindre que
s. V — ^zTi^ ^ désignant le chiffre des plus hautes unités),
ne conservez que les m premiers chiffres du nombre dont il s'agit, en ayant soin d'augmenter de \ le dernier des chiffres conservés, et le résultat sera approché à moins d^une unité de V ordre de ce dernier chiffre*
Désormais, quand nous dirons que le résultat d'un calcul est connu avec m diifiTres exacts , c'est dans le sens de cette règle qu'il faudra l'entendre.
Nous allons appliquer ces considérations générales à chacune des six opérations de l'arithmétique.
Remarque. — Dans les calculs numériques , il arrive souvent que l'on doit tenir compte de plusieurs erreurs qui se superposent. Pour que Ton puisse appliquer à la fin du calcul la règle précédente , il est nécessaire que les approximations aient été dirigées de manière que l'on n'ait pas de doute, sur le sens de l'erreur finale qui affecte le résultat non réduit à ses m premiers cbiifres.
Addition,
9. Soient a , i , c, etc., plusieurs nombres dont on a des valeurs approchées par défaut a — a, h — /3, c — y, etc. L'erreur absolue de la somme sera
ou
c'est-à-dire la somme des erreurs partielles des termes a , i, c, etc. Ici le résultat [a — a-hft — (3 + c — 7+...) est approché par défaut. Si les erreurs partielles a , (3, y, etc. , étaient, les unes par défaut, les autres par excès, les premières entreraient avec le signe -h et les secondes avec le signe — dans l'expression de l'erreur finale dont la valeur
DES AFPR0XIMÀT10X9S NUMÉREQUES. 9
absolue serait évidemment plus petite que la somme a -H jS -h y -I- ... -, mais , comme on ne connaît pas d'ordinaire les valeurs mêmes des erreurs a , P , y , mais seulement des limites que chacune ne dépasse pas , on ne pourrait plus se prononcer sur le sens de Terreur finale.
Pour ne pas compliquer les notations, nous pouvons convenir que a, (3, y désignent respectivement les limites supérieures des erreurs commises sur ^ , &, c, etc. , et alors nous dirons que Terreur absolue commise sur la somme a + i -+- c -+-... , est, dans tous les cas, moindre que «+i3 -f-y , et Terreur relative sera moindre que
On sait que cette fraction a une valeur moindre que la plus
srande des fractions -» Ç9 -• Donc V erreur relati\^e d'une ° abc
somme est moindre que la plus grande des erreurs rela-
tïues des termes qui la composent.
Cette limite est simple , mais elle a l'inconvénient d'être
souvent trop élevée , et , par suite , de ne pas donner une
idée exacte du degré d'approximation obtenu. C'est ce qui
arrivera, par exemple, si , parmi les termes a, i, c, etc.,
il en est un beaucoup plus petit que les autres. Ce terme
influera très-peu sur la somme , et cependant son erreur
relative pourra être beaucoup plus grande que celle des
autres. Ainsi , supposons qu'il s'agisse d'ajouter les nombres
2,34 et 0,07, tous deux approchés à moins d'une unité du
dernier ordre , c'est-à-dire à moins de -^ — • L'erreur abso- ' 100
lue de la somme 2,4i sera moindre que — 5 et Terreur '^ ^ 100
relative sera moindre que —7- ou que > tandis que la
limite assignée par 1 erreur relative du terme 0,07 serait - •
lO THÉORIE GÉNÉRALE
Ainsi la limite fournie par le théorème précédent ne devra être employée qu'autant que les nombres à ajouter seront du même ordre de grandeur.
Remarqué, — Puisque, dans l'addition , les erreurs partielles a, j3,y, etc., s'ajoutent, il convient qu'elles soient toutes à peu près égales entre elles, c'est-à-dire que les nombres a, b^ c , elc, soient tous approchés à moins d'une unité décimale du même ordre. Par exemple, si l'on a
rt = 47?8, à moins de — 9 et que l'on doive ajouier à ce
nombre v^ -f- \/45, ce serait procéder peu judicieusement que de rechercher les valeurs de ces deux racines carrées à
moins de
lOOOO
La somme ainsi calculée serait 56, 2402, avec une erreur moindre que 0,10002; par conséquent, on ne pourrait pas compter sur le chiffre des dixièmes , mais seulement sur celui des unités , de même que si l'on s'était contenté de calculer chaque racine avec une seule décimale.
10. Passons maintenant à la seconde question des approximations numériques : quel devra être le degré d'approximation de chaque terme d'une somme pour que celle-ci soit connue avec m chiffres exacts?
L'erreur relative de la somme doit être moindre que
— - (7, CorolL). Or on sait que cette erreur est moindre
que la plus grande des erreurs relatives des termes de la somme (9) ; donc // suffira que chaque terme soit éi^alué k
moins d'une erreur relative éo;ale à ? c'est-à-dire ai^ec
m -\-i chiffres ^ à partir du chiffre de ses plus hautes unités.
DES APPROXIMATIONS MUMÉRIQUES. 11
Mais, comme on l'a vu dans le paragraphe précédent, cette lîmîle du nombre des chiffres à calculer pour chaque terme de la somme pourra être trop élevée, surtout quand ils ne seront pas du même ordre de grandeur.
C'est pourquoi , dans ce cas , au lieu de suivre la règle précédente qui assujettit les différents termes à une même erreur relalwe, il est préférable de les assujettir à une même erreur absolue. Soit donc a la limite inconnue que cette erreur ne doit pas dépasser, et désignons par s la somme cherchée, par p le nombre de ses termes. L'erreur
relative de la somme sera moindre que — ? et Ton posera
Tinégalité
pet. 1 ., , s
lo'" p. iC"
Dans l'évaluation démette limite de a , on pourra remplacer 5^ par un nombre inférieur, que fournira immédiatement l'addition des plus hautes unités des nombres proposés.
Des deux règles que nous venons de donner pour apprécier le degré d'approximation de chaque terme d'une somme, la première est la plus facile à appliquer -, elle n'exige aucun calcul. On la suivra toutes les fois que les nombres à ajouter ne différeront pas beaucoup les uns des autres.
H . Exemples : i^. Soit à calculer la somme
avec trois chiffres exacts.
Ici m = 3 5 en suivant la première règle, on devra donc calculer chaque racine avec quatre chiffres exacts^ on trouve
La somme 2i,36o n'est approchée qu'à moins d'une unité de Tordre de son troisième chiffre, c'est-à-dire à moins
la THÉORIE GÉNÉRALE
de — • Ses deux derniers chiffres 6,0 peuvent être fautifs de
plusieurs unités 5 c'est pourquoi on ne les conserve pas ; mais, en les supprimant, il faut, conformément à la règle du n^ 8 5 augmenter d'une unité le dernier chiffre , et l'on a
21,4, pour la valeur demandée de la somme ^ -+- v^ H- v'^67 réduite à trois chiffres. Elle est approchée à moins de
.de sa valeur (5).
La réduction que nous venons de faire a déjà été expliquée au n° 85 mais , comme elle se présentera constamment dans les calculs suivants, il ne sera pas inutile d'insister pour en bien fixer le sens. En désignant par s la somme
^ exacte des trois radicaux , on a
.y = 2i,36o-h8, ( 8<[ — J ; ,36o = 2i,4 — *,, U<;-Lj :
mais
donc
sz=2i ,4h-{« — «)•
Le signe de e — m n'est pas connu, mais la valeur absolue de
cette différence est moindre que — • Par conséquent , on peut
prendre 21,4 pour valeur approchée de 5 à moins d'une unité de l'ordre de son dernier chiffre. Seulement on ignore si 21,4 est approché par excès ou par défaut.
Si l'on tenait à lever ce doute, on n'aurait qu'à recommencer le calcul de manière à assurer une décimale exacte de plus à la somme , c'est-à-dire qu'on calculerait un chiffre de plus à chaque radical. On trouverait
D£S APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l3
La somme 21,3622 serait approchée à moins de ? et
Ton aurait
Or
donc
5=2I,3622-|-X, h.<Lj.
. 21,3622= 21, 3 -f.fA, U<-2-J 5
■=2f,3-l-(X + fx), (x + p<— <-i.^:
21,3 est donc une valeur approchée par défaut à moins de
— 5 et 21,4 l'est par excès.
Le doute sur le sens de l'erreur commise n'eût pas été levé, s'il était arrivé que le chiffre des centièmes du nombre
2 1, 362 2 fut un 0: car alors on aurait eu X-l-pKC' 5 d'oùTon
n'aurait pu conclure que 21 ,3 est approché à moins de — •
Dans ce cas, il faudrait encore recommencer le calcul avec une décimale de plus, et continuer ainsi jusqu'à ce que le chiffre de Tordre marqué par Tapproximation à laquelle on parvient, cessât d'être un 9. On ne saurait d'ailleurs trouver indéfiniment des 9^ car la somme 21,399999. * - serait alors commensurable et exactement égale à 21,4.
Dans l'exemple qui vient d'être traité, il n'y aurait pas eu d'avantage à employer la seconde règle donnée au n° 10. Cette règle nous aurait conduit à poser
a<j-^, ou «<3^;^» (usurpasse ïo),
et, en prenant l'unité décimale de l'ordre immédiatement
l4 THÉORIE GÉKéRALE
inférieur,
lOOO
On aurait donc calculé chaque radical avec trois décimales, et c'est aussi ce qu'a prescrit la première règle, à l'exception de la troisième racine (v/167) pour laquelle deux décimales ont suffi. On peut même remarquer que, d'après le théorème du n**7j on aurait pu se borner à calculer v45 avec trois chiffres au lieu de quatre, et écrire ^ f\^ =#6,70, attendu que le premier chiffre 6 de cette racine surpasse A -h i (h désignant le premier chiffre de la somme, chiffre que l'on reconnaît tout de suite ne pouvoir dépasser 2).
2°. Voici un autre exemple du cas où, les nombres à ajouter étant de grandeurs très-différentes , il faut recourir à la seconde règle.
On propose de calculer le logarithme népérien du nombre 2 avec sept décimales exactes.
On sait que ce logarithme est fourni par la série
et que si l'on désigne par e l'erreur commise en s'arrêtant au 71'*"** terme de la série, on a
Dans cette question , on prévoit qu'il faudra tenir compte
( ") En général, on a pour déterminer /(r-+- 1) connaissant //, la série
et l'erreur e , commise en s'arrêtant au n''"^ terme, est moindre que le double
produit du terme suivant — ^ —-^7 multiplié par la somme des
(•2n-+-i)(-2rH-0
DÉS APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l5
de plusieurs erreurs^ la première, résultant de ce qu'on ne prendra qu'un certain nombre de termes de la série ; la seconde, résultant de ce qu'on négligera les chiffres décimaux
d'un certain ordre dans la conversion des fractions ^5 ô~27'
=—^5? etc., en décimales 5 la troisième, résultant de ce qu'on
supprimera dans la somme les décimales qui suivent la septième figure.
C'est pourquoi il convient de rendre chacune de ces
erreurs moindre que — ^5 et pour cela on posera d'abord l'inégalité
ou
4(2^^ -Hi)32"-'> 10».
A l'aide de quelques essais , on reconnaît que cette inégalité
est satisfaite pour n^S.
Ainsi, en prenant les huit premiers termes de la série, on aura
termes de la progression géométrique 1 i -+■ , -+- -, -h. . . 1 :
^ ^ ^ L (îr-Hi)' (2rH-i)' J
cette somme est —-: -^ ; on a doiic
'(2MH-l)('.irH-l)"* '.2/(r-|-l)
Dans le cas de Z2, il faut faire ^ = i, d'où
(2nH-i)3'
l6 THÉORIE GÉNÉRALE
Maintenant, il faut faire en sorte que Terreur qui aflTectera la somme de ces fractions, par suite de leur conversion en
décimales , soit aussi moindre que — ■ • Comme nous avons
huit fractions, il suffira évidemment que chacune soit calculée avec neuf décimales.
On a d'abord
et, en prenant le neuvième de ce résultat,
Continuant à prendre le neuvième de chaque résultat obtenu , il vient successivement
~ = 0,000 lOIDIO,
Il reste à diviser les sept dernières fractions décimales res-
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. ly
pcctiveiuent par 3 , 5 , 7, 9 , 1 1 , i3 , 1 5, et il vient
— 5- = O^OOOOI I 2QO 9.3» ' ^
Somme... =0,693147177
En désignant par a Terreur provenant des décimales négligées , nous aurons donc
1 2 = 0,693 147 177 -f- c -f- a, ^« + a < -^J ; maïs il faut réduire ce nombre à ses sept premiers chiffres 5
de là une troisième erreur (3 <; — ^^ attendu que le huitième chiffre est un j.
Ainsi
I2 = 0,6931471 -4- e + ôt H-p,
e -h a H- p < — • ou < — :• •^ ^ io' ÎO'
Donc 0,6931471 est une valeur approchée par défaut de I2
à moins de — -• 10'
l8 THÉOmE GÉNÉRALE
Si le huitième chiflfre du nombre 0,693147177 avait été
8 OU 9 , on aurait eu |3 ]> — ;> et, par suite, on n'aurait pas
été certain que 0,6931471 approchât de /2 à moins de
— ^5 mais alors on aurait , conformément à la règle du n° 8,
augmenté d'une unité le dernier des chiffres conservés, et le nombre résultant 0,6931472 aurait certainement eu l'approximation requise. Ici, ce nombre serait approché par
excès à moins de — :• 10'
Nota. — Si l'on avait suivi dans ce calcul la première règle du n® 10, qui assujettit tous les termes de la somme à une même erreur relcUive, on aurait été conduit à calculer la
fraction ^ ^^^ avec neuf chiffres , à partir du chiffre significatif des plus hautes unités, c'est-à-dire avec dix-sept décimales, puisque les huit premières sont des zéros. On voit quelle complication cette règle eût apportée.
Soustraction.
12. Soient a eib deux nombres dont on veut calculer approximativement la différence a — b. Afin d'avoir une valeur approchée par défaut, nous prendrons b par excès et a par défaut. Soient a — a et 6 + jS les valeurs approchées de ces deux nombres , l'erreur absolue de la différence sera
a — ^— [a — a— (6 + p)] ou a + P;
les erreurs s'ajoutent, et l'erreur finale est plus petite que le double de la plus grande des deux erreurs faites sur les nombres a et b.
Si l'on avait pris les valeurs de aeib toutes deux par défaut, a — ocyb — 13, l'erreur de la différence eût été ±: (a — (3) ,
et , par conséquent , plus petite que la plus grande des deux erreurs a, |3 ; mais comme on n'a que des limites supérieures de a, |3, et non les valeurs mêmes de ces erreurs, on ignorerait laquelle prédomine, et, par suite , on ne pourrait plus appliquer à la fin du calcul la règle de réduction du n° 8.
Il n'en est plus ici comme dans T addition , où nous assignions une limite supérieure du résultat au moyen des
est évidemment plus grande que -? et elle surpassera
erreurs relatives de ses deux termes. L'erreur relative ,
aussi ^ toutes les fois qu'on aura y — | < 2. Ainsi,
soient a = 120 , b = 100, a = i, p = — L erreur \ ou
7— surpasse - ou — et y ou ( * ) .
Cette différence de résultats s'explique en observant que si b diffère peu de a , la différence a — b pourra être trèspetite, et d'un ordre très-inférieur à celui de a ou de &. Par
suite ^ la fraction ^ pourra être beaucoup plus grande que chacune des fractions -> t*
43. Si l'on propose de calculer la différence a — b avec m chiffres exacts, quel devra être le nombre des chiffres à employer pour chacun des termes a et è ?
D'après ce qui précède, on calculera a par défaut et b par
(*) Si Ton prenait Terreur relative de la différence, sous la forme __^^
qui convient au cas où les deux termes a, b sont calculés par défaut; il y aurait un cas où Terreur relative de la difiërence serait plus petite que la plus petite des erreurs relatives des deux termes. C'est celui où Ton aurait
a> /3 et - < f-. En effet, il est aisé d'en conclure 7 < —
excès, chacun à moins de la fraction ? ou mieux ,
2 io« '
à moins de Tunité décimale immédiatement inférieure à cette fraction. (Comme a et 6 ne sont pas connus exactement, on remplîfbera, dans cette estimation, a par un nombre inférieur et h par un nombre supérieur, approchés. L'inspection du chiflre des plus hautes unités de a et de i fournira immédiatement ces deux nombres.) La soustraction faite, on saura que le résultat est approché par défaut, puis on ne conservera que les m premiers chiffres , suivant la règle du n° 8.
Maintenant, on voit aisément ce qu'il faudrait faire, si l'on avait à calculer approximativement une expression telle que
composée de termes additifs et soustractifs. Pour obtenir le résultat avec m chiffres exacts , on calculera séparément la somme des termes additifs [a + b -hd) par défaut et la somme [c -+- e) par excès , chacune à moins de l'unité décimale immédiatement inférieure à — — '•
2 lO"
Puis, l'opération s'achèvera comme dans le cas précédent.
1 4. Quand on emploie les Tables de Callet au calcul approché d'un produit ou d'un quotient, on est conduit à ajouter ou retrancher des logarithmes dont les erreurs absolues ont toutes une même limite supérieure, savoir : une demi-unité
du septième ordre décimal , ou — ^ *, mais on ne sait pas dans
quel sens est Terreur, ce qui est une imperfection des Tables. On connaît du moins une limite supérieure de l'erreur qui affecte la somme ou la différence des logarithmes ; on en déduit le nombre de chiffres exacts que comporte le retour des logarithmes aux nombres.
Soit, par exemple, à calculer par logarithmes le produit 2,9456 X 3,4567 X i5,234 X 63,98 x 46,369.
La somme des logarithmes des cinq facteurs est
et si on les suppose tous fautifs dans le même sens, de — j?
Terreur absolue de la somme aura pour limite supérieure
— ■ ou — ^»
lO* lO'
Ainsi, l'erreur possible sur le logarithme produit est moindre que (24--) unités du septième ordre 5 le logarithme qui approche le plus en moins dans la Table est 5 ,6629 1 83^ qui répond au nombre 460 1 7 . Ce logarithme est
lui-même fautif de moins de- unité du même ordre. Donc
la différence 3 1 des deux logarithmes est fautive de moins de 3 unités. D'ailleurs la différence tabulaire 94 est approchée à moins de -• L'erreur correspondante du quotient
—: aura pour limite o,o3 (comme on Texpliquera au
n° 24). On ne pourra donc compter que sur le chiffre des dixièmes du quotient. La Table des parties proportionnelles fournissant pour ce quotient o,33 , on n'en conservera que le premier chiffre, et ce sera celui des unités du produit, vu la caractéristique 5. Le nombre 460173 sera la valeur approchée du produit demandé à moins (Tune
unité, c'est-à-dire à moins de de sa valeur.
Il y a bien ici une autre cause d'erreur dont nous ne tenons pas compte -, c'est V hypothèse de la proportionnalité de la différence des logarithmes à la différence des nombres , proportionnalité qui n'est pas rigoureusement exacte. Mais
on verra plus loin que, pour les nombres au-dessus de loooo, l'erreur qnî résulte de la règle des parties proportionnelles n'influe pas même sur les quatre premières décimales de la fraction complémentaire.
IS. Comme exemple de la marche à suivre pour obtenir une approximation déterminée , dans un calcul où entrent divers termes, les uns additifs, les autres soustractifs, citons encore le calcul approché du rapport de la circonférence au diamètre , par la sétie ,
A^ X» JC' X»
(i) arctangjr = a: — -rr -^ -=■ 1 ••••
Si l'on désigne par a Tare dont la tangente est ^9 et par |3 Tare dont la tangente est -^9 on sait que l'on a
-j=^a — p, OU 7r=i6a — 4Pî
et les valeurs de a et de |3 sont fournies par la série (i), dans
laquelle on remplace x par ^^ puis par —5- :
239 3.239^ 5.239* *** Soit proposé de calculer tt avec 9 décimales. On calculera i6a par défaut à moins de — - et 4 P par excès avec la même
approximation. De cette manière, Terreur qui en résultera
pour TT sera moindre que — -'i et à fortiori moindre que — -g,
1**. Calcul de 160c par défaut à moins de — j^« On sait
DES APPROXIMATIOIfS NUMÉRIQUES. ^3
que l'erreur commise en s'arrètant au »**"** terme de la
série (i) est moindre que le terme qui suit, ou que •
Par conséquent, pour la série qui exprime i6a, l'erreur provenant de ce qu'on s'arrêtera au n**"** terme sera moindre
"ï^® (2^i + f)5»'H-. ' Nous poserons doic
[in -h i)5'
afin que cette erreur, ajoutée à celles qui vont suivre, n'affecte pas la dixième décimale de i6«.
On s'assure par quelques essais que celle inégalité est satisfaite par Ji ^ 8 . Ainsi l'on prendra huit termes de cette
série. Le dernier sera négatif, ce qui doit être pour que l'approximation ait lieu par défaut.
Maintenant, on calculera chacun de ces huit termes avec 12 décimales, afi,n que l'erreur de la somme soit moindre
aussi que — -• On aura d'abord ^ 10"
Puis, comme -rr = -^ • -=- = -= —t il suffira de multi-
plier par 4 la fraction décimale précédente, et d'avancer
de deux rangs vers la droite le produit obtenu,
-=- =r 0, 1 200 OOOO OOOO.
Or
Le quotient -^ se déduit du précédent de la même manière ,
24 THÉOEIE GÉNÉRALE
et ainsi de suite :
-p- = o,oo5i 2000 000a,
— - = 0,0002 0400 oooa, 5'
Il reste à diviser ces fractions, à partir de la seconde, respectivement par les nombres 3, 5, 7^ 9, n, i3 et i5, et l'on a soin de prendre par excès les quotients de deux en deux (qui sont négatifs dans la série). Il vient :
-I =- =r 0,0000 OOQl 0222,
p-pTr == 0,0000 oooaoo35.
DES APPROXIMATIONS WUMÉRfQUES. sS
Ajoutant séparément les termes positifs et les termes négatifs , on a pour différence
3,20102491 i23o — 0,042695953635 = 3,158328957595, et, par conséquent,
2^. Calcul de ^^ par excès , à moins de — ^• En posant
on trouve que zi ^ 2 satisfait; mais comme j3 doit être calculé par excès y on ne peut s'arrêter à un terme négatif de la série; il convient donc de prendre trois termes. Chacun d'eux sera calculé avec douze décimales : les deux termes positifs par excès, le négatif par défaut.
On trouve
quant aux deux autres termes , comme ils n'auront pas plus de six chiffres significatifs (vu que la caractéristique du logarithme de J" >^ est — 7)5 on pourra s'aider des Tables ordinaires de logarithmes à sept décimales ; il viendra
d'où
;g^=,2,on,oo49,
26 THÉOKIE GÉNÉRALE
d'où
On aura donc
5(239)^-"'^ 4P = 0,0167 363o4oio — ç, ( ç < — j •
Enfin,
TT = 16a — 4P = 3,i583 28957595 — 0,0167 363o4oio -ht-hK
On supprime maintenant les* décimales qui suivent la neuvième , et il reste
Ainsi la valeur approchée du rapport de la circonférence au diamètre avec neuf décimales, par défaut, est
JVota. — Des trois décimales 585 que noms avons supprimées à la iîn du calcul , les deux premières se trouvent encore exactes ; en sorte que si l'on ne supprimait que la dernière , on aurait de fait le nombre tt avec onze décimales. Mais nous ne pouvions répondre d^avance que ce degré d'approximation serait atteint. Si l'approximation surpasse ce que nous attendions de nos formules ^ cela tient à ce que nous avons constamment procédé par à fortiori , en posant des limites supérieures aux erreurs commises. Ainsi Ton s'assure aisément qu'en prenant trois termes de la série qui exprime 4|3 , l'erreur provenant des termes négligés est non-seulement moindre que — -9 mais même que
— -; et comme d'ailleurs on n'a que trois fractions à convertir en décimales, l'erreur totale Ç qui affecte 4|3 est réellement moindre que — ^« On verrait de même que Terreur e commise sur 1 6 a est moindre que -^, ; et par suite , « -^ ç <; -~.
Donc , en prenant les dix premiers chiffres décimaux obtenus dans le calcul précédent , et négligeant seulement les deux derniers, on ferait une erreur définitive, moindre que
-^ — = ^^ 9 ou moindre que — -• Ainsi , 1 on recon-
naît bien à posteriori que
est une valeur approchée par défaut de tt avec dix décimales. De plus , on voit qu'en prenant onze décimales , c'est-à-dire 3,14159265358, on ne se tromperait pas de deux unités du dernier ordre. Mais rien n'autoriserait à adopter cette onzième décimale comme exacte.
Multiplication .
16. Théorème. — L'erreur relatii^e d!un produit approché par défaut est moindre que la somme des erreurs rela-^ tii^es des facteurs de ce produit.
Considérons d'abord le cas de deux facteurs a, b dont les valeurs approchées sont a — a , b — P 5 le produit sera approché par défaut, et l'erreur absolue sera
«Ô — (ûT — a) (^ — P) ou «p + ^a — ap,
quantité plus petite que a(3-|- Aa. Ainsi l'erreur absolue du produit est moindre que la somme des produits qu'on obtient en multipliant Terreur commise sur chaque facteur par l'autre facteur.
2t8 THÉORIE GÉNÉRALE
Par suite. Terreur relative est plus petite que
-^-— r— ou - H- jao a à
Le théorème est donc démontré pour deux facteurs.
Prouvons maintenant que s'il est vrai pour un produit de p facteurs û , i , c ,...,/. il sera encore vrai pour un produi t renfermant un facteur m de plus . Soient a,(3,y,...,X,(:x les erreurs commises sur ces facteurs , E Terreur relative du produit des p premiers facteurs ; on a, par hypothèse,
E<^--f-T-+-- + ..'-^- Or on peut regarder le produit
abc .,. Im comme composé de deux facteurs abc ... /et m 5 donc Terreur relative de ce produit sera moindre que
— -4- E , et à fortiori moindre que --+-T + -H- ••• 4-7-1- -^• m ^ a b c l m
Cela posé, la proposition ayant été établie pour un produit de deux facteurs, elle sera vraie pour trois facteurs 5 étant vraie pour trois , elle le sera pour quatre, et ainsi de suite 5 donc elle est générale.
Dans Tévaluation de la somme - -h Ç + - -h • • • > on sub-
abc
stituera pour a, P, 7, etc., les limites supérieures de ces erreurs qui sont seules données , et pour a , i , c , etc. , des nombres approchés par défaut.
Si quelqu'un des facteurs, tel que a, entrait dans le produit avec sa valeur exacte, on ferait a = o, et les conclusions précédentes subsisteraient, avec cette seule modification que, dans le cas de deux facteurs, Terreur relative du produit serait précisément égale à celle du facteur unique dont la valeur est approchée.
17. Si di eth sont donnés approximati^^ement ^ avec m chiffres exacts y quel sera le nombre des chiffres sur lesquels on pourra compter dans le produit?
DES APPROXIMAtlONS NtJMÉRIQUES. 2^
On voit tout de suite que le produit présentera toujours m — 2 chiffres exacts, à partir du premier chiffre significatif à gauche. En effet , l'erreur relative de chaque facteur
étant moindre que — ';;^^'> celle du produit sera moindre que -9 et, à fortiori , moindre que •
1 lo"—' ^ 10*"""'
18. En faisant intervenir dans les erreurs relatives les premiers chiffres à gauche des deux facteurs, ainsi que le premier chiffre à gauche du produit (comme on l'a vu dans les n°® S et 7), on peut aisément reconnaître que le produit présentera le plus souvent ni — i chiffres exacts.
En effet , soient A: et A' les premiers chiffres à gauche de a et de i; Terreur relative du produit a pour limite supérieure
— ^iT ( 7 "^ p ) ' ^^^ conséquent , si k et k' sont tous deux
plus grands que i , cette erreur sera moindre que — -^^^ > et
dans ce cas très-étendu on pourra compter sur les m. — i premiers chiffres du produit.
Si k et W sont tous deux égaux à i , Terreur relative du
produit aura pour limite supérieure — ^^ = -= ^^^^ 5 mais
alors le premier chiffre à gauche du produit est moindre que 4 î puisque Ton a
ûf <^2.io"'-', ô<;2.io'"-', d'où ab<^^, 10^"*"*.
Donc, eu égard au théorème du u° 7, on pourra compter encore sur les m — i premiers chiffres du produit.
Enfin, si un seul des chiffres V, k' est égal à i^ la conclusion sera encore la même toutes les fois que le premier chiffre à gauche du produit ne dépassera pas 4.
Ainsi le seul cas où Ton ne soit pas certain que le produit ait m — I chiffres exacts, est celui ou un seul des chiffres^A",
3o THÉORIE GÉffÉRALE
k est égal à i , tandis que le premier chiffre à gauclie du pro duit est supérieur à 4*
Nous avons supposé que a et & étaient donnés avec le niême nombre de chiffres. Dans le cas contraire , les conclusions précédentes seront encore applicables , en prenant pour m le nombre des chiffres de celui des deux facteurs qui en a le moins.
