Exemples, — 1°. On propose de calculer avec dix
chiffres exacts et par défaut la valeur du module M = - — -, ^ / 10
par lequel on doit multiplier les logarithmes népériens pour
les transformer en logarilhmes vulgaires.
On a déjà vu (H) un exemple du calcul approché d'un logarithme népérien avec telle approximation qu'on voudra : il s'agissait de /a. Le logarithme de 1 o s'obtiendra en ajoutant I2 k 15 calculé par la même méthode. Mais combien faudra-t-il de décimales exactes pour chacun de ces deux logarithmes ?
Comme on tient à connaître le sens de Tapproximatiou
du module - — réduit à ses dix premiers chiffres^ on devra
opérer comme s'il s'agissait de calculer ce quotient avec onze chiffres. Or le diviseur /lo est seul approximatif^ donc il suffira de m 4- 1 ou douze chiffres pour ce diviseur. ( Nous disons douze chiffres et non pas douze décimales , car la partie entière de /lo aura un chiffre. Ainsi c'est onze décimales seulement qu'il faut chercher pour / 10.)
A cet effet, il suffira d'avoir /a et /5 chacun avec douze décimales exactes (10). On trouve
( *) Quand le premier chiffre de l'un des termes a ou & égalera ou surpassera 2(À + 1) (À étant le premier chiffre à gauche du quotient), m chiffres &u(!iront pour ce terme.
ll-QÙ
Dï:S APPllOXIMATIOlSS NUMÉÏIIQUES. 5l
/ lo = 2,3o258 50929 93 + £ f e < y^J
Afin d'avoir le module par défaut, on augmentera de i Je onzième chiffre de /lo, en sorte qu'on adoptera pour diviseur
On aura ainsi
- {'<ir)-
/ I o 2 , 3o2585o93oo
Le quotient évalué en décimales donne
Donc, en le réduisant à* ses dix premiers chiffres, on aura
Ainsi la valeur demandée du module est M :=: 0,43429 443i9- Nota, — Si Ton conservait les onze premiers chiffres du quotient, et qu'on augmentât de i le dernier, on pourrait adopter 0,434^9 448i9 i pour valeur du module à moins
de — 1^ ; mais on ne saurait pas si cette valeur est approchée
par défaut ou par excès.
En multipliant par le module, ainsi calculé avec dix chiffres exacts et par défaut, les logarithmes népériens de la suite naturelle des nombres calculés eux-mêmes avec dix chiffres exacts , on aura (18) les valeurs des logarithmes vulgaires, approchées à moins d'une unité du huitième ordre décimal. Puis, en supprimant les chiffres décimaux qui suivent le septième, et augmentant ce dernier de i toutes les fois que le huitième sera égal ou supérieur à 5 , on obtiendra les logarithmes vulgaires approchés à moins de
Sa THÉORIE GÉNÉRALE
'j tels qu'ils sont donnés dans les Tables de Callet. A
partir du nombre 8 et pour les nombres supérieurs, les logarithmes népériens ont une partie entière égale ou supérieure à 2 ; et comme le premier chiffre à gauche du module est aussi plus grand que i , on pourra toujours compter sur m — I ou neuf chiffres dans les produits dont il s'agit. Toutefois ceci ne veut pas dire que les logarithmes vulgaires seront ainsi connus à moins d'une unité du neuvième ordre décimal^ car, à partir du logarithme de lo, qui est égal à I , les logarithmes des nombres 1 1 , 1 3, 1 7, etc. , auront une caractéristique qui comptera pour un dans le nombre des chiffres exacts que présenteront ces mêmes logarithmes. On emploiera avec succès , dans ce genre de calcul , le procédé de la multiplication abrégée (23), lequel rendra bien compte du degré d'approximation obtenu. Soit, par exemple, à calculer le logarithme vulgaire de 7. Les deux facteurs du produit sont
M =: o , 434^9 448 ' 9* Comme on veut conserver 8 chiffres dans le produit, on écrira le module M renversé, au-dessous du multiplicande ly^ de manière que le chiffre 4 des dixièmes corresponde au neuvième chiffre décimal de ce multiplicande :
175 iSiq
DES ÀPPK0XIM\T10NS NUMÉRIQUES. 53
l-.'erreur totale de ce produit, eu égard au degré d'approximation de chaque facteur, a pour limite supérieure (24)
7^0 ( 4 -^ 3 -+- 4 + 2 -f- 9 + 4 -4- 4 -f- 8 4- iH- 9 H- 2 ) ^
ou
IO'«"~ lO»"
On a donc
log 7 = 0,84509 80377 -^ a L < — j
On voit par là qu'on ne peut pas répondre de l'exactitude du huitième chiffre 3 ^ mais comme il n'est pas fautif de rieux unités , on est sûr que sa vraie valeur est moindre que 5 *, et, par suite, en le supprimant, on aura
log 7=0, 84509 80 , à moins de
2^. Dans la construction des Tables trigonométriques , on a besoin de connaître la valeur de l'arc de i o secondes dans le cercle dont le rayon est i, avec i3 décimales exactes.
L'expression de cet arc est jtt^ — ? et comme les quatre premières décimales sont des zéros, le nombre m des chiffres à calculer, à partir du premier chiffre significatifs est seulement i3 — 4 ou. 9. On prendra donc le dividende n avec m 4- I ou dix chiffres 5 soit tt = 3 , i4i 592653. Le quotient
— "^,./ ) converti en décimales , donnera
0,000048481 368 I , pour valeur de l'arc de 10 secondes, à moins de — j^
Dans un cas simple comme celui qui précède , on peut préférer la recherche directe de l'erreur absolue à Temploi de la règle générale. Alors on dira : Soit a Terreur à commettre sur TT 5 l'erreur qui en résultera pour le quotient est
jT-rr, — ; or elle doit être moindre que — • : donc il faut que 64^00' ^ io'3 ^
a salistasse a 1 inégalité rrrr. — <Z — r,' a ou a <r —- : et,
^ 64600 ^ IO'2 ^ lO'"» '
pour cela, il suffit que a soit moindre que — - ou — ^•
On prendra donc la valeur de tt avec neuf décimales , ou avec dix chiffres , y compris la partie entière, résultat conforme à celui déjà obtenu.
3°. On propose de calculer avec trois chiffres exacts le rayon d'une circonférence dont la longueur est exprimée par s[Z..
La valeur du rayon est — ? et Ton a
En divisant 17 par 6, on voit tout de suite que le premier chiffre k du quotient est 2. Par conséquent (29) il suffira de prendre m ou trois chiffres pour le diviseur dont le premier chiffre est 6 5 et , pour le dividende dont le premier chiffre est I , on prendra m-f- i ou quatre chiffres. Les valeurs approchées de \/3 et de 2 7r qui entreront dans le calcul, seront donc respectivement
1,732 et 6^29.
En divisant 1732 par 629, on trouve pour quotient 275..., abstraction faite de l'ordre des utiités qu'il représente.. Enfin , on augmentera d'une unité le troisième chiffre , et rétablissant la virgule, on aura
0,276 pour la valeur cherchée du rayon , à moins d'un millième de l'unité linéaire.
Procédé de la division abrégée.
31 . Lorsque le dividende et le diviseur sont composés d'un grand nombre de chiffres , il n'est pas nécessaire , pour avoir Tapproximalion demandée au quotient, de les conserver tous jusqu'à la fin de l'opération. On peut alors employer avec avantage le procédé de la division abrégée que nous allons exposer.
Soit proposé de calculer le quotient
à moins de de sa valeur, c'est-à-dire avec cinq chiffres
1 nnnn *
exacts. Il suffira de /n -{- 2 ou sept chiffres, tant au dividende qu'au diviseur (29) 5 faisons abstraction des virgules, puisqu'il sera facile d'en tenir compte à la fin du calcul , et augmentons d'une unité le septième chiffre du diviseur, afin que le quotient soit approché par défaut. La question est ramenée à calculer les cinq premiers chiffres entiers ou décimaux du quotient
dont les deux termes seront traités comme des nombres exacts , et nous savons que ce quotient sera approché par défaut, à moins d'une unité de l'ordre de son cinquième chiffre. Voici le tableau des opérations :
11 n'y a rien de changé à la règle ordinaire pour les deux
premiers chiffres du quotient. Ainsi, après avoir ajouté un
zéro à la droite du dividende (vu qu'il est plus petit que le
diviseur), on a divisé 12062720 par i473568, ce qui a
donné le chiffre 8 et le reste 274176 \ on a ajouté un zéro à
la droite de ce reste, et une seconde division a donné le
chiffre i avec le reste 1268 192. H y a encore trois chiffres à
trouver^ or ils ne sont autres que les trois premiers duquo-
tient / o/rfiQ ^ ^^ 1 ^^ sait que pour les obtenir il n est pas
nécessaire de conserver sept chiffres au diviseur; les quatre premiers suffiraient (29), puisqu'ici le dividende 1268 192 est considéré comme exact, et que le diviseur seul sera altéré. Mais , afin que les erreurs qui vont s'accumuler dans le cours du calcul ne puissent rendre douteux le cinquième chiffre du quotient demandé, il convient de supprimer seulement le dernier chiffre 8 du diviseur, que Ton barre d'un trait, et Ton a soin de remplacer l'avant-dernier par le chiffre supérieur d'une unité, 7, que l'on écrit au-dessus, c^est-à-dire que Ton divise 1 268192 par 147357. De cette manière le quotient ne cessera pas d'être approché par défaut, et l'erreur possible sera moindre qu'une unité inférieure de deux ordres à l'unité du cinquième chiffre du quotient. La division de 1268192 par 147357 fournit le chiffre 8 et le reste 89336. En raisonnant sur ce reste comme sur le précédent, on est conduit à biffer le dernier chiffre du nouveau diviseur, qui se réduità i4736, et à diviser par ce nombre le reste 89336. L'erreur qui résulte de cette nouvelle simplification est de même sens que la précédente, et a aussi pour limite supérieure — de l'unité du cinquième chiffre du quotient. On
trouve ainsi le chiffre 6 elle reste 920 qui , divisé par i474? donne le cinquième chiffre o. 11 est utile, pour apprécier l'erreur qui proviendra du rejet de la fraction complémen-
DES APPROXIMATIONS HUMÉRIQUES. 5j
taire -^—7 » de calculer encore le chiffre suivant, en divisant
920 par 148 : ce chiffre est 6. Cela posé, 0,81860 est une valeur par défaut du quotient (B) , approchée à moins d'une unité de l'ordre du cinquième chiffre.
En effet , si l'on désigne par u cette unité , on a successivement laoe^TS ^ 1268102*^*"'**"** rt 1268102"^"-
= 0,818 H — -f-^ h a, =0,818 -H -^-^^ hoL,
Ce tableau met en évidence l'accumulation des erreurs qui résultent des réductions opérées sur les diviseurs successifs. Dans notre exemple, l'erreur «3 a pour limite supérieure En général, sur un quotient de m chiffres, Terreur apportée par cette méthode aura pour limite supérieure
[m — 2) M . .1 /» •••11? j ■— : mais il laut y joindre 1 erreur provenant du rejet
de la fraction complémentaire. Dans l'exemple qui nous occupe, le premier des chiffres que donnerait cette fraction
^7—7 serait un 6, et ce chiffre représente des unités égales à — ; donc l'erreur totale qui affecte le quotient 0,81860
est moindre que
\IO lOO
