OU

lOO/ lOO

et, à fortiori 5 moindre que m. c. q. f. d.

Revenons enfin au quotient (A) ^ nous devrons, conformément à la règle du n° 8 , augmenter d'une unité le dernier chiffre du quotient précédent, et rétablissant la virgule à son rang , nous aurons

pour la valeur approchée qu'il s'agissait d'obtenir.

Eu ayant soin , comme nous l'avons prescrit, d'augmenter d'une unité l'avant-dernier chiffre du diviseur, en même temps qu'on supprime le dernier, tous les quotients successifs sont approchés par défaut, et il n'est pas possible qu'on rencontre lo pour quotient de Tune des divisions partielles, ce qui pourrait au contraire arriver si l'on ne prenait pas la précaution indiquée.

Règle générale. — Lorsque le dwidende et le dmseur sont composés d'un grand nombre de chiffres entiers ou décimaux j et que l'on ojeut seulement obtenir au quotient m chiffres exacts à partir du chiffre significatif des plus hautes unités, on ne consente que les m. -^ 2 premiers chiffres du dis^idende et du diviseur y et, en faisant abstraction des virgules , on calcule comme à V ordinaire les deux premiers chiffres du quotient. Cela fait , on supprime le dernier chiffre du div>iseur, en augmentant d'une unité V avant-dernier y et l'on divise, par le nombre résultant , le reste qui provient du calcul dès deux premiers chiffres du quotient. Cette division fournit le troisième chiffre du quotient.

Pour avoir le suivant, on opère sur le diviseur précédent comme sur le diviseur primitif , c'est-à-dire que Von supprime son dernier chiffre en ayant soin d'augmenter

DES APPROXIMATIONS NUMÉaiQUES. 5q

l 'aidant-dernier d'une unité ^ puis on dmse , par le nombre résultant, le reste de la dwision précédente ^ et ainsi de suite.

Enfin, on augmente d^une unité le m^^""^ chiffre troui^é au quotient.

Remarques, — I. Dans l'exemple ci-dessus , la fraction complémentaire eût encore été négligeable, lors même que sa

valeur aurait atteint -^ u. En général, puisque l'erreur apportée par la division abrégée sur un quotient de m chiffres

a pour limite u [u désignant toujours l'unité du m'^'"*^

cliiffre), tant que la fraction complémentaire ne dépassera pas ( I j u , elle sera négligeable ^ sans que le quotient cesse d'avoir l'approximation requise. C'est ce qui arrivera d'ordinaire. Cependant, dans le cas contraire, la règle précédente devrait être modifiée , en ce sens que les réductions sur le diviseur ne devraient commencer qu'après avoir trouvé, par la règle ordinaire, les trois premiers chiffres du quotient, etc.

n. Si l'on se contentait de chercher seulement le premier chiffre du quotient (au lieu des deux premiers que prescrit notre règle) , puis que l'on procédât immédiatement aux réductions successives du diviseur, comme elles viennent d'être indiquées , Terreur apportée par ce mode de division

abrégée, aurait pour limite supérieure u(u ayant le

même sens que ci-dessus). Par exemple , dans le calcul qui vient d'être fait, cette limite serait — z* 5 et, eu égard à

la fraction complémentaire qui est moindre que — m , on aurait — u pour limite supérieure de Terreur totale. On ne pourrait donc plus affirmer que cette erreur est moindre

6o THÉORIE GÉNÉRALE

que M. Par suite, on ne connaîtrait plus le quotient (B) par défaut, à moins de k, ce qui est cependant nécessaire pour qu'on puisse remonter au quotient (A). Ainsi ce procédé serait souvent défectueux.

32. Nous indiquerons ici une formule d'approximation très-simple, dont Tusage est fréquent^ elle s'applique au cas où le dmseur surpasse peu r unité , et elle a pour eflet de remplacer ce dîuùeur par un multiplicateur inférieur à V unité de la même quantité.

Soit proposé de calculer approximativement le quotient

— — j a désignant un nombre quelconque et x un nombre

très-petit dont la valeur exacte peut n'être pas connue. Si d'abord on néglige x , on aura une première valeur approchée par excès, a.

Pour approcher davantage , divisons a par i -f- a? , en nous arrêtant au second terme du quotient ; il vient

= a — ax H =•« (I — X) -\ •

Si l'on prend a (i — a:) pour valeur approchée du quotient, on néglige la fraction L'erreur relative , qui correspond à cette seconde approximation, est donc

ax"^ a . , , : 1 ou, simplement, x'.

Elle est d'un ordre de grandeur inférieur à celui de x, ce qui est la condition d'une bonne approximation.

Si, par exemple, on a a:<^o,o3i, d'où a:*<^ 0,000961, l'erreur commise en prenant a(i — x) pour le quotient sera moindre que la millième partie de la valeur de ce même quotient.

Corollaire» — Si l'on considère la fraction -, > dans

laquelle h est supposé petit relativement à «r, on aura sen-

DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 6l

sibleiïient

En elTet,

fl-h ^

a-hb