rt
Il résulte de ce qui précède , que :
Pour des valeurs suffisamment petites de r et de t^ ces deux formules s'accorderont à donner sensiblement la même fraction de a. Si, par exemple, r = o,o5 et que le nombre d'années t ne dépasse pas 2 , la différence des nombres fournis par les deux modes d'escompte sera moindre que la centième partie de la valeur du plus grand de ces nombres.
Èlei^ation aux puissances.
34. Quand on doit calculer approximativement une puissance d'un nombre de plusieurs chiffres, ce qu'il y a de plus simple ordinairement, c'est de recourir aux logarithmes 5 on est ainsi ramené au cas de la multiplication déjà traité. Cependant il est utile de savoir assigner une limite de l'erreur commise sur a" , lorsqu'au lieu de a on emploie la valeur approchée a — a. Cette limite se déduit immédiatement du théorème du n** 20, relatif au produit de plusieurs facteurs 5 il suffit de supposer que les n facteurs a, J, c, etc., deviennent égaux entre eux, et l'on voit que l'erreur absolue de a" sera moindre que na"~"* .a,
et l'erreur relative moindre que n - • Ainsi l'on a ce théorème :
Uerreur relatwe d'une puissance d'un nombre est moindre que le produit de l'erreur relative de ce nombre par le degré de la puissance.
35. Les seules applications usuelles de ces limites concernent les carrés et les cubes.
Exemples. — 1°. Sachant qu'une valeur approchée de la toise en mètre est 1^,9490 à moins d'une unité du dernier ordre décimal , on propose d'évaluer la toise carrée en mètres carrés.
On a a < 2 , a < — •] donc l'erreur absolue sur la valeur
DES APPROXIMATIOJVS NUMÉRIQUES. 63
de la toîse carrée sera moindre que — ^ = — • on pourra
^ lO* lO^ ^
donc compter sur les Iroîs premières décimales du carré
de 1,9490 ,
(i»949o)' = 3,798601 ; donc
Si Ton veut ne conserver que les décimètres carrés , on augmentera d'une unité le chifire des centièmes, et il viendra
itq=:3"*i,8o,
valeur approchée par excès à moins d'un demi -décimètre carré près.
Ici la considération de l'erreur relative n'aurait pas eu d'avantage sur celle de Terreur absolue.
n^. Les mêmes choses étant posées que dans le problème précédent, on demande la valeur du pied carré en centimètres carrés.
D'après le calcul ci-dessus, on peut poser
En prenant la trente-sixième partie de ce résultat, on aura la valeur du pied carré,
iPi^o-i.ioSS-î-ç, ^ç<i-^).
Ainsi le pied carré vaut io55 centimètres carrés , à moins d'un demi-centimètre carré près.
En divisant par i44 le résultat ci-dessus , on aurait la valeur du pouce carré ,
et ainsi de suite.
3^. On propose d'évaluer la contenance du pied cube en litres.
De la valeur de la toise en mètres, i'",949o, on conclut
64 THÉORIE GÉKÉllAL^
celle du pied en décimètres ,
à moins d'une unité décimale du dernier ordre. La valeur du pied cube en litres sera donc exprimée approximativement par le cube de 3 , 248.
Ici nous avons a <^ 4 ? « < — ^ • Terreur sur le cube sera
moindre que -— p == 0,048, et, à fortiori, moindre que —
On ne pourra donc compter que sur les décilitres. En opérant par logarithmes, on trouve (3,a48)'= 34y264-.* Donc,
1^*^ = 34**S3 , à moins d'un décilitre.
36. Quel sera le nombre des chiffres à employer pour a, afin que la puissance Ti'*'"* soit calculée avec m chiffres exacts ?
Il suffit que Terreur relative de a" soit inférieure à ?
et, par suite , que celle de a soit inférieure à . Donc ,
^ ^ n.iom
si le premier chiffre de a égale ou surpasse n , on calculera
ce nombre avec m-h 1 chiffres \ sinon il en faudra /n -f- 2.
[On suppose le degré w < 10.]
Extraction des racines,
37. Nous avons donné (20) une limite inférieure de r erreur absolue d'un produit de plusieurs facteurs approchés par défaut. Si Ton suppose ces facteurs égaux entre eux, on en conclura que Terreur absolue commise sur a", lorsqu'au lieu de a on prend a — a , est plus grande que/i (a — a)"^^ a.
Cette limite va nous servir pour établir assez simplement
une limite supérieure de Terreur commise sur y/a , quand ? au lieu de a , on emploie la valeur approchée a — a.
En effet, on peut regarder a comme la puissance n*^""
DES APPROXIMATIONS NtJMÉAlQUES. 65
de sa racine n'*'"'' ; donc , en désignant para: l'erreur commise sur ^a, on aura
d'où
Les seules apj^IicatioDS de cette limite , qui méritent d'être
mentionnées, répondent à/ï = 2et/2 = 3.
Pour /i = 2 , on à x <^
pour 71 = 3 « on a a- <r —
Telles sont les limites supérieures de l'erreur absolue commise sur une- racine carrée et cubique.
Passons à l'erreur relative \ on déduit de la formule précédente ;
JG^T^ «(«-«)
Or l'erreur relative — = est plus petite que -, donc,
à fortiori ,
V erreur relative de la racine n*^"** d^un nombre est moindre que la n'*"** partie de l'erreur relatiy^e de ce nombre pris ai^ec sa valeur approchée par défaut.
Dans le calcul de cette limite, on pourra remplacer a — a par un nombre plus petit , par exemple le nombre d'unités du premier chifffe de a,
