Quel sera le nombre des chiffres à employer pour a

afin que sa racine n'*"*' soit calculée avec m chiffres exacts? Il suffit que l'erreur relative de la racine soit moindre

que — - i et, par suite, on doit avoir

.<-^, d'où -<:

a — a ^10" a lO^H-zi

Or, dans les applications, n sera toujours moindre que lo"*,

et d'ailleurs n est au moins égal à 2 5 donc il suffira qu'on

ait

a ^ 2 a ^ I - <r ou ~ <r 9

a io'"H-io™ a lo"

condition remplie si a présente m 4- i chiffres exacts.

Ainsi , pour que \/a. soit calculée avec m chiffres, il suffira que a soit calculé par défaut a\^ec m -f- i chiffres.

En faisant usage des premiers chiffres de a et de !^a , lesquels sont souvent connus immédiatement, on peut abaisser la limite précédente. En effet, si k désigne le premier chiffre à gauche de ^a , il suffit que l'on ait

i» ff CL '

-.< ... .^.„.- ' d'où -<

^ ' — ' — ïo"*-' -f- I

Donc , si le premier chiffre de a surpasse ^, ou même

s'il est égal à ce nombre et que les chiffres suivants ne soient pas tous des zéros , on pourra se borner à calculer a avec m chiffres.

Quand il s'agit de calculer la racine carrée ou la racine cubique d'un nombre a avec m décimales , les règles ordinaires de l'arithmétique prescrivent de chercher la valeur de ce nombre avec 2 m décimales daSs le premier cas , avec 3 m dans le second. On voit que ces règles entraînent le plus souvent une complication inutile.

DES APPROXlMATlOjyS NUMÉRIQUES. 67

39, Exemples. — i^. Calculer iV- avec trois décimales exactes.

Ici m = 3 ; on cherchera donc les quatre premiers chiffres

décimaux de la fraction - y ou o,4^85^ que l'on fera suivre

de cinq zéros ; puis on appliquera la règle ordinaire. La racine cherchée est 0,753.

tP, Calculer i/ 2i5 -f- - avec deux décimales exactes.

Comme cette racine aura évidemment deux chiffres a sa partie entière, c'est quatre chiffres exacts qu'il s'agit de connaître en ^définitive. Ainsi m = 4] d'ailleurs le

premier chîflFre k de la racine est i , d'où = i .

Donc (38) il suffira de calculer le nombre (aiS-h-j

avec m ou quatre chiffres. Or on connaît déjà les trois premiers; on cherchera seulement la première décimale de la

fraction -> et, la faisant suivre de trois zéros, on extraira la

7 ^ racine carrée de 2i55ooo à une unité près. Cette racine

est 1467. Enfin, on aura

2i5h- - = i4,68, à moins de .

La règle ordinaire de l'arithmétique aurait prescrit de chercher les quatre premières décimales de -• Nous retrouverons encore cette simplification au n^ 47 par d'autres considérations , et nous ferons ressortir ce qu'elle ofïre de général.

3°. Le nombre 23456 étant supposé fautif de moins d'une unité, combien de chiffres exacts comportera sa racine carrée ?

68 THÉORIB GÉNÉRALE

Il sera plus court de calculer ici l'erreur absolue de la

racine. Cette erreur est moindre crue — , > et» à for-

tiori, moindre que -, ainsi on pourra compter sur les

deux premières décimales de la racine, aussi bien que si le nombre proposé eût été calculé avec quatre chiffres décimaux exacts. On trouvera

v/ïï3pb= i53,i6 par excès.

4*^. Calculer avec trois chiffres exacts le côté du carré équivalent au cercle dont le rayon est i mètre.

Ce côté est exprimé par ^tt ; on a m = 3 ; on prendra tt avec trois chiffres seulement, attendu que le premier chiffre k de la racine sera i . La question est ramenée à extraire la racine carrée du nombre 3,i4 avec deux décimales. On trouve

Le côté du carré cherché est donc i",78, à moins d'un centimètre.

5*^. Calculer avec trois chiffres exacts l'expression

( Ce radical composé se présente dans la formule du côté du

Vio-f-2v^5 — v^(v^—

zv%^5:zl)l,

pentédécagone régulier, qui est

en prenant pour unité le rayon du cercle circonscrit.) On mettra d'abord le radical proposé sous la forme

^10 4- ^20 \ et puisqu'on demande trois chiffres exacts dans le résultat final, on devra calculer ^20 avec quatre chiffres.

Soit donc V20 = 4947^' La racine carrée de 14,472 est 3,80. . . •, par conséquent 3,8 1 est la valeur cherchée. 6^. Sachant que l'aire d'un cercle est égale à 645 déci-

iTxètres carrés, à une unité près , on propose de calculer la valeur approchée du rayon. (Question posée au n° 2.)

L'^expressîon du rayon est 1/--'--? or, quelle que soit P approximation du diviseur tt, le quotient --^ est dé|à

affecté d'une erreur relative qui a pour limite ^ — > à cause

que le dividende est approché à une unité près (26). On ne saurait donc se proposer de calculer ce quotient avec plus de trois chiffres exacts^ et encore faudra-t-il, pour cela, que Ton emploie une valeur suffisamment approchée de tt. En prenant ce nombre avec trois décimales , par excès

(3,14^)5 Terreur relative da quotient . s'augmentera d'une quantité moindre que ^ ; somme toute, elle sera

moindre que ( ^ f- ^ j ou ^ — ; et , par suite ,

comme

le premier chiffre du quotient est 2 , son erreur absolue sera

3oo

"ti — ^

moindre que ^ — ou 0,6. On trouve

En négligeant le chiffre des dixièmes et les suivants , l'erreur qui affectera la partie entière 2o5 sera moindre que 0.3, et cette erreur, jointe à la précédente, donnera une somme moindre que 0,9. Donc enfin 2o5 est la valeur par

défaut de -^ à moins d'une unité. Il reste à extraire la

TT

racine carrée de 2o5 , laquelle aura trois chiffres exacts (37^ sl^o5 = i4,3. . . .

Le rayon cherché sera donc 14^®*"' ,4 5 et il ne serait pas possible, sans changer les données, de l'obtenir avec une approximation décimale plus grande.