JO THÉORIE GÉNÉRALE
7°. On propose de calculer la valeur approchée , à une
unité près, de \/-^- » le nombre SjSSoo étant considéré comme exact.
La partie entière de la racine aura évidemment trois chiffres. Par conséquent, on devra calculer le quotient
-^ avec quatre chiffres exacts , et , de plus , il faudra
que l'on sache si , réduit à ces quatre chiffres , ce quotient reste approché par défaut. A cet effet, on opérera comme si Ton devait connaître cm y chiffres exacts. Or on voit tout de suite que le premier chiffre k du quotient sera i , en sorte que le premier chiffre du diviseur t surpasse Ar -f- i -, donc (29) il suffira de cinq chiffres pour t: : soit donc tt = 3, 1 4i6.
Les cinq premiers chiffres du quotient ^ r n forment le
nombre 1 19465 le cinquième étant plus petit que 9, on est sûr qu'en le négligeant on aura pour valeur approchée de ce quotient, 1 19400, à une centaine près : car
-^ =119400 -h g, 6<!70®-Hïoo ou <^ooo.
TT
(On aperçoit la nécessité de calculer, comme ci-dessus y un chiffre de plus qu'on n'en veut définitivement conserver; autrement , comme ou doit faire deux erreurs successives et de même sens , on ne saurait pas si le quotient approché par défaut est 11 94 ou 1196 centaines, à une centaine près. On avait déjà vu des exemples de cette précaution aux n^Ml et 22.)
Il reste à extraire la racine carrée de 1 19400 à une unité près; celte racine est 345. On prendra définitivement 346
pour la valeur de W -^ approchée à moins d'une unité.
Les derniers exemples que nous venons de traiter montrent la marche à suivre dans les opérations complexes où
DES àppuoximàtioivs numériques. 71
le résultat cherché exige plusieurs calculs approximatifs superposés, et lorsqu'on ne peut pas recourir aux logarithmes. On applique successivement à chaque opération la formule d'approximation qui lui est propre. L'ordre à suivre dans l'application de ces diverses limites est inverse, selon qu'il s'agit de répondre à la première ou à la deuxième question du n^ 1 . Dans le premier cas , on applique d'abord la limite qui convient à celle des opérations qui doit être effectuée la première. Dans le second cas , on commence par celle qui doit être effectuée la dernière. Mais quand il arrive, comme dans la question précédente, qu'il n'entre dans le calcul qu'une seule quantité dont la valeur soit approchée , toutes les autres étant prises avec leurs valeurs exactes, il est plus simple d'employer la Jormule générale de Vapproxinia^ tion, qui sera exposée plus loin (48).
Extraction de la racine carrée abi^gée.
40. Supposons que l'on connaisse une première valeur approchée par défaut a de la racine carrée du nombre entier N {a sera, par exemple, la racine du plus grand carré contenu dans la dernière tranche à gauche de N, suivie d'autant de zéros qu'il y a de tranches moins une). En divisant N par a , on aura un quotient plus grand que a , qu'on peut représenter par a-^-b. Nous allons prouver que la racine carrée de N sera comprise entre a et a -j
En effet, soit a 4- ^ la valeur exacte de cette racine 5 on aura en même temps
N = (« -f- a:)' = a' -4- 2ax -f- x\ N = fl (fl -h ft) = «' H- flô ; égalant ces deux valeurs de N , on en tire
Cette équation montre que x est moindre que -*, par
72 THÉORIE GÉSÉRALE
suite , a H — est une valeor approchée par excès de la racine. De plus, on voit qu^en prenant - à la place de x, on
n^lige — ; or X est moindre que - ; donc rerreur est
moindre que 3—. En résumé, b
Nous avons supposé que a était approchée par défaut. Si le contraire avait lieu, on pourrait toujours poser
- = a -I- i ^ b serait n^atif. il serait encore vrai de dire
que (a-\ — | est approchée par excès ^ car on a, quel que soit le signe de b^
a H — est une ^valeur approchée par excès de VN , à moins de ;
éi' -Mf^ H- -=. = N 4--r->N.
Mais la limite supérieure de Verreur, -^y n'aurait plus
lieu^ car, x et b étant négatifs, l'équation (i) montre que
la "Valeur numérique de x est plus grande que celle de -\
par conséquent , l'erreur commise serait phis grande que ^»
Pour avoir une limite de l'erreur qui convienne aux deux cas, supposons que la valeur a d'où l'on part soit approchée à moins de e (e sera moindre que -9 si a est par dé^ faut) » La valeur numérique de x sera moindre que e , et celle de — moindre que — ; donc, en désignant par e' l'erreur
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. ji
que comporte a-\ — j on aura toujours
g'< — , ou e'<g.— .
2 fl 7.a
Ainsi e' sera moindre que e, et Tapproximation ira croissant, si e est moindre que 2a, ou, ce qui revient au même, si a surpasse le tiers de la racine cherchée. Cette condition sera toujours remplie dans la pratique.
Pour approcher davantage de la racine , posons
et, raisonnant sur a^ comme sur a, nous serons conduits à diviser N par ûi, puis à retrancher a^ du quotient. Soit
«1 = ij (il sera négatif) •, une nouvelle valeur appro-
chée de la racine sera
et, désignant par g'' Terreur qu'elle comporte, on aura
9," <C — ) et, à fortiori, s" <
En continuant ainsi, on aura des valeurs de plus en plus approchées.
41 . L'approximation en décimales , qui est seule usitée, marche avec une régularité et une rapidité remarquables.
En effet , supposons que a soit approchée à — près , cette
valeur étant d'ailleurs plus grande que i \ on aura
Le nombre de décimales exactes que présentent les valeurs
approchées
ira donc constamment en doublant. D'après cela, comme dans le calcul de ai = a H — > on peut seulement répondre de l'exactitude des deux premiers chiffres décimaux , on ne prendra le quotient - qu'avec deux décimales, et, négligeant les suivantes, on en conclura - à près. On fera
^ 2 lOO ^
ici une nouvelle erreur en sens contraire de l'erreur théorique c', puisque a-\ — est en excès ; et , par suite , la valeur de Ui réduite à deux décimales ne cessera pas d'être approchée de la racine à près. Seulement , elle pourra
se troui^er par défaut.
Le sens de l'erreur est mis en évidence , dans la seconde
approximation, par le calcul du quotient —5 où le diviseur
ai est réduit à deux décimales. Si ce quotient surpasse a^, on en conclut que a^ est une valeur par défaut , et dans ce cas il n'est plus négatif.
Pour continuer la méthode , on calculera le quotient —
avec quatre décimales seulement. En général , on prendra chaque quotient avec un nombre de chiffres décimaux double de celui du diviseur.
Appliquons cette marche au calcul approché de sf^. En partant de la valeur 1,4 9 voici le tableau des opérations : ,2 , b
«=1,4; j-7-=ï42...; - = o,oi;
«i = i4m j-ji=^A^H"'y ~ = 0,0042;
^72= 1,4142; — 7-7- = ï>4ï4227ï2; — = o,ooooi356;
I ,cL 1 4-2 2
DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. yS
Cette dernière valeur est approchée avec huit décimales exactes.
Ce qui précède suppose simplement « > i ^ mais si Ton a
l'approximation marchera encore plus rapidement^ car^ en supposant toujours que a soit approchée à — près de la racine , il vient
lO 10""^* ^ lo^"-^*
en sorte que le nombre des décimales exactes que chaque approximation fournit^ surpasse au moins de n unités le double du nombre des décimales fournies par l'approximation précédente. Dans ce cas , si l'on partait d'une valeur a approchée à une unité près, la division de N par a
fournirait tout de suite une valeur a^ approchée à — - près \
car on aurait
42. Si l'on demande quelle doit être la valeur de a pour que y dès la première dii^ision^ a-f-~ soit approchée à moins d'une unité ^ on posera la condition
or, en désignant par p le nombre des chiffres entiers qui restent à trouver, on a
76 THÉORIE GÉIÎÉRALE
La condition précédente revient donc à
2«^ lO''',
et 9 comme la valeur approchée a se termine par y:? zéros , il suffira que Von connaisse déjà p + i , ou plus de la moitié des chiffres de la racine y mais cela ne sera pas toujours nécessaire.
Remarque, — Nous retrouvons ici la condition connue y pour qu'en partant d'une valeur approchée a y on puisse obtenir tous les autres chiffres entiers de la racine par une simple division. Et, en effet, la règle qu'on donne ordinairement et qui consiste à calculer la partie entière du quotient de (N — a') par 2 a, ne diffère pas , au fond, de celle que nous venons d'exposer, puisque Ton a
Mais elle se prête moins bien au calcul de la racine par approximations successives 5 le procédé que nous suivons évite la formation du carré de chaque valeur approchée telle que a , et celle du carré de chaque quotient, opérations assez longues et nécessaires quand on veut appliquer la règle ordinaire.
Remarquons de plus que chaque division sert de preuve et de correctif à la précédente , et manifeste le sens de l'ap-* proximation déjà obtenue. Car la vraie racine est nécessairement comprise entre le diviseur et le quotient correspondant.
43. Exemples, — i**. On propose de calculer approximativement la racine carrée du nombre 396854.
La racine du plus grand carré contenu dans Sp étant 6, la racine cherchée est comprise entre 600 et 700. Partons
de a = 600 ; il vient
d'où
A = 61,.. , -=:3o, ..., fl-4-- =:63o,. . . ,
Donc 63o est déjà la racine à une unité près. Dans l'approximation suivante, on ira jusqu'aux millièmes^ car
on a e'' <" — <1 — :• On trouve ^ 2fl ^ 10'
Ce quotient étant moindre que le diviseur, on en conclut que 63o est une valeur par excès \ de plus on a
ainsi la racine, à un millième près, est 629,963 (^). Dans l'approximation suivante, on aura
( * ) On évite les deux soustractions qu'exigent le calcul de ft^ et celui de
h la somme a^-\ — i- 9 en remarquant que
.. + ^ = 630 +52MH6z:6!2 = 6»a -h ?^ii9î^=^ = 6.9 + 12926.
Il suffit donc à^ ajouter au diviseur j diminué d'une unité de l'ordre de son der-^ nier chiffre, la moitié de la différence entre le diviseur et le quotient, dijjfe^ rence dont le premier chiffre à gauche est augmenté de to. Ainsi, après avoir écrit 629 } on dira : La moitié de 19 est 9, etc.
yS THÉORIE GÉNÉRALE
on poussera donc le quotient ^T^ it jusqu'à la neuvième
décimale , d'où l'on conclura une valeur approchée de la racine à moins d'une unité du neuvième ordre décimal. On voit combien Tapproximation est rapide. On abrégerait -encore ces calcids en combinant la méthode avec le procédé de la division abrégée exposé au n? 31 .
2,^. Proposons-nous encore le calcul approché de v^ Voici le tableau des opérations en partant de a = 2.
a H — =2,2, valeur approchée k — près;
a^-^ — - = 2 ,23, valeur approchée à près ( «i est en défaut) ;
fl2 = 2-23, z =2,2421..., —' = 0,0060..., e'" <C — :;
«î H = 2,236o, valeur approchée à près (oj est en défaut);
^4 = 2,23606797, valeur approchée avec huit décimales exactes.
Si l'on s'arrête à CiBtte approximation , et qu'on veuille la
vérifier et en reconnaître le sens , on calculera le quotient
suivant , ^tt^—t^ ? en se bornant aux huit premières dé-
cimales. On trouvera 2,23606798... -, les sept premières décimales sont les mêmes que celles du diviseur, et la huitième est plus grande d'une unité. Par conséquent, la valeur a^
est bien approchée à moins de — -y et elle l'est par défaut.
DES APPROXlMATIOIiS NUMÉRIQUES. JQ
44. C'est ici le lieu d'exposer quelques formules d'approximation auxquelles on a souvent recours dans l'extraction des racines carrées et cubiques.
Si l'on fait le carré de i H — » on trouve i -h 6 H — j ré-
sultat qui diffère peu de 1+89 quand s est une petite fraction de l'unité. On est ainsi conduit à prendre i H pour
valeur approchée de ^i -h e.
L'erreur commise est
OU bien, en multipliant et divisant par la somme
