Si Ton fait le cube de i H- ^» on trouve i+e -f-^ H

résultat qui ne diffère de i •+• c que par des termes d'ordre supérieur à e. On est ainsi conduit h prendre i -i- ^ pour

valeur approchée de y'i-h e.

L'erreur commise est

ou bien, en multipliant et divisant par une quantité telle ^ que le numérateur devienne la différence des cubes de i-+- ^ etde V^i-he (*),

L' il

d'où

( * ) Si Ton pose en général (i-hM=aetJ^n-e=.J, la transformation dont il s'agit est un cas particulier de la formule connue,

d'où

DÈS ÀPPRÔXiMÀTtON^ IfUMÉRIQUES. 8l

Ainsi, pour extraire la racine cubique d'un nombre 14- s qui surpasse peu V unité, il suffit d* ajouter à r unité le tiers de e. Le résultat est approché par excès à

moins de q« o

Ces formules s'étendraient aux racines de tous les degrés.

Mais il ne faut pas chercher, par des transformations analo-

gués aux précédentes, une limite supérieure de Terreur que

l'on fait en remplaçant y/i-Hs par i -H — , attendu que la

formule générale des approximations, qui sera exposée plus loin(74), y conduira d'une manière beaucoup plus simple.

46 Lorsque deux nombres entiers a, b ont un même nombre de chiffres , et que plus de la moitié de ces chiffres sont communs à partir de la gauche y on a

s/a — \/^ <r - et Jnb < tt ;

c'est-à-dire qa on peut remplacer la racine carrée de a par celle de h , sans que V erreur atteigne une demi-unité ; et la moyenne arithmétique entre di et b par leur moyenne géométrique, sans que l'erreur s' élevée à un huitième d'unité.

En effet, le nombre des chiffres de la différence a — b étant, par hypothèse, moindre que la moitié du nombre des chiffres de 6, et, d'autre part, le nombre des chiffres d'un carré étant au plus égal au double du nombre des chiffres de sa racine , on aura

ou bien encore

Il en résulte

>Ja-fb<:

cl , à fortiori ,

Enfin, élevant au carré les deux membres , il vient

d'où

^ab <; ^- c. Q. F. D.

D'après l'inégalité v^ — \/i < -> on voit qu'on pourra ,

sans altérer d'une demi-unité la racine carrée d'un nombre, modifier à volonté des chiffres sur la droite , les réduire h des zéros par exemple, pourvu que les modifications ne portent pas sur la première moitié des chiffres h partir de la gauche.

'Remarque. — Nous avons supposé que a et i étaient des nombres entiers. Mais la formule précédente s'applique aussi à deux nombres décimaux, dont les parties décimales ont le même nombre de chiffres. Seulement, l'unité simple sera remplacée par Tunité décimale du dernier ordre : ceci demande quelque éclaircissement.

Lorsque a et i sont des nombres décimaux, // ne faut vas croire que la différence >fâ — ^b soit moindre quune demi-unité du dernier ordre décimal. En effet , soit p le npmbre des chiffres décimaux de a ou de &, et posons

a.\oP = a\ b.ioP= b\ a' çt V étant des nombres entiers qui ont plus de la moi-

bES At»i?KOXlMATlOKS tdUMÉtllQUteS. 83

lié de leurs chiffres communs , on aura , par ce qui précède ,

a ou

et, divisant par \/io^^

2 ^lOP

Ainsi , pour avoir la limite de l'erreur commise en prenant \a pour V^Â , il faut diviser - par la racine carrée de

la puissance de lO maixjuée par le nombre des chiffres décimaux.

Si , par exemple, a et b ont chacun quatre chiffres décimaux, et plus de la moitié de leurs chiffres communs sur la gauche, Terreur, commise en confondant ^a avec v^ sera moindre qu'un demi-cenlième, et non pas moindre qu'une demi-unité de Tordre des dix-millièmes.

Au contraire, /a limite supérieure de l'erreur commise en confondant la moyenne arithmétique avec la mtyyenne géométrique est toujours un huitième de V unité du dernier ordre décimaL Cela tient à ce que Pélévation au carré des deux membres de l'inégalité précédente fait disparaître ^lo'', et qu'il vient