Exemples. — Soit proposé d'extraire la racine carrée

du nombre f 2i5 M- - j avec deux décimales, question déjà

traitée au n** 39.

Pour plus de clarté, reprenons d'abord le raîsoniicroent ordinaire de l'arilbraétiquc.

Soît le plus crahd nombre de centièmes dont le carré

lOO '^ ^

est inférieur à ( 2i5 H- ~ ) ^ on doit avoir

d'où

loo' ^ 7 loo'

x'< ii5oooo -h i^^< (jp + i)^

Extrayant 1 entier contenu dans > et 1 ajoutant a

2i5oooo, il vient

x^ < 2i557 14 4- - <(j? -hi)'.

Maintenant^ on fait voir que la fraction - peut être supprimée sans que la double inégalité soit troublée. En effet, le nombre 2155714 H — étantmoindreque (x-f-i)*,ona,à fortiori, 2i557i4<C (j^-f-i)*', et, d'autre part, a* qui doit être entier et moindre que 21 5571 4 H — ? est au plus égal à 2155714. On peut donc écri re

d'où Ton conclut en6n que x n'est autre que la raeine du plus grand carré contenu dans 2155714. Par suite, ou extrait la racine carrée de ce nombre à une unité près, et il reste à la diviser par 100 pour avoir la racine cherchée.

Voilà bien le calcul tel que le prescrit l'arithmétique ordinaire. Mais est-il nécessaire de connaître les septchifl'res du nombre entier 2155714?

Jl résulte du théorème précédent q^e les quatre premiers-

suffisent : rar on a

^2155714 — ^2 1 55ooo <C. —

Donc 5 dans la pratique , on pourra se borner à chercher le

i.*/T f 1 • 4oooo premier chiflre 5 du quotient 9 ou, ce qui revient au

même, à chercher le chiffre des dixièmes de la fraction -1

eoiix^erlie en décimales. On l'écrira à la droite du nombre entier donné 21 5 ^ ce qui donnera 21 55 qu'on fera suivrede trois zéros. Enfin on extraira la racine de 2i55ooo à moins d'une unité.

Cette racine est 1467 : mais on doit prendre i468, attendu qu'il y a ici deux erreurs superposées : l'une, plus petite

que -1 provenant de ce que l'on a substitué 2i55ooo à

21557145 l'autre, plus petite que 1, provenant de ce que 1467 n'est pas la racine exacte de 2i55ooo. Or il ne faut pas que ces deux erreurs soient de même sens •, autrement elles s'ajouteraient et leur somme pourrait dépasser i. C'est précisément ce qui arriverait dans le cas qui nous occupe, car on peut s'assurer que la racine du plus grand carré contenu dans 2155714 est 1468 et non 1467.

En général y étant donné un nombre entier accompagné d'une fraction ordinaire , dont on demande la racine carrée avec n décimales, quel sera le nombre de chiffres nécessaire à calculer dans la conversion de celte fraction ordinaire en décimales? Distinguons deux cas :

* I**. Le nombre des chiffres de la partie entière du nombre donné est impair 2/7-+-1 . Ce nombre multiplié par 10'" présentera 2p + I + 2 /? chiffres , dont les p -|- // -|- i premiers seront seuls utiles à connaître. Or on a

y? H" /j + I = 2/J4- I 4-(«— /0> él déjà les %p -h i premiers chiffres bont donnés par la partie

^6 THÉORIE GÉmÉRALE

entière du nombre proposé ; donc il reste à calculer n — p chiffres seulement. C'est la conversion de la fraction ordinaire en décimales qui les fournira.

(Nous supposons n^p\ autrement il n'y aurait pas lieu de tenir compte de la fraction ordinaire qui accompagne l'entier , ce dernier fournissant déjà autant ou plus de ctiffres qu'il n'en est besoin.)

On demande , par exemple ,

3456; H — r avec trois décimales.

Ici /i = 3 , y[? = 2 ; d'où n — ;; = 1 ,

Il suffira de chercher le premier chiffre décimal 6 de — r 5

puis d'extraire la racine carrée du nombre 34567600000 , à une unité près.

Si l'on avait demandé la racine carrée de ( 34567 ^ ^ J

avec deux décimales seulement , on aurait eu n — /; ==: o , et

par conséquent la fraction — ne serait intervenue en rien

dans le calcul.

Enfin , si la racine carrée n'avait dû être calculée qu'avec Mwe décimale, on aurait eu n -—p = — i, ce qui aurait signifié que la partie entière 34567 présentait déjà un chiffre de trop et qu'on pouvait se borner à prendre 3456 suivi de trois zéros,

a*'. Le nombre des chiffres delà partie entière du nombre donné est pair, 2/7. Ce nombre multiplié par lo'**, présentera 2/; 4- 2« chiffres, dont les p -4- // 4- i premiers seront seuls utiles à connaître. Or on a

et déjà les 2/> premiers chiffres sont donnés par la partie entière du nombre 5 dbnc il rcsfe à calculer n — p -hi

DES APPROXIMATIOWS NUMÉRIQUES. 87

chiffres^ que l'on prendra sur la fraction ordinaire convertie en décimales.

On demande , par exemple ,

sj'-

2345 H — avec deux décimales.

/i =: 2 , /? =: 2 ; d'où n — /; -4- i := i .

On ne demandera donc qu'un chiffre à la conversion de - en

décimales, etc.

En résumé, selon que le nombre des chiffres de la partie entière du nombre proposé sera égala 2p-f-iO£ià2p,Ofî aura n — p ouu — p-+-i chiffres à chercher dans la coni^ersion de la fraction ordinaire en décimales.

Reprenons encore l'exemple du n" 44 : il s^agissait d'extraire la racine carrée du nombre 1,000694. Or on peut écrire

V I ,ooo6g4 = v^i ,00069^ X I )OOoooo ,

et , remplaçant la moyenne géométrique par la moyenne aritlimélique , il viendra

/ r;— 7 I,0006q4-+-I 0,OOo6l)4

sji ,000694 nr ^ = I + ^-^

résultat conforme à celui déjà obtenu.

Foîmule générale de V approximation.

48. Les formules que nous venons d'exposer pour chacune des six opérations de l'Arithmétique peuvent toutes se déduire d'une formule générale qui comprend, en outre, les cas où il s'agit d'opérations transcendantes, telles que les calculs de logarithmes, de lignes trigonométriques , etc.

Rappelons d'abord quelques propositions relatives aux dérivées de» fonctions continues d'une seule variable.

88 THÉOKIS GÉNÉRALE

I. Si la dérii^ce V [tl) de la fonction continue quelconque f (jx), est positive pour la valeur x = a , la fonction est croissante y c'est-à-dire que Ton a

h étant un nombre positif très-petit.

En effet, la dérivée J' (a) étant la limite du rapport

î L lorsque h tend vers zéro , on a

e ayant pour limite zéro, en même temps que h. Pour de très-petites valeurs de A, le second membre prend le signe de/' [a) , c'est-à-dire Je signe -f- ; donc il en est de même du premier membre , et Ton a y* (a H- A) ^f{^)'

IL On démontre de même que si la dérivée f'(x) est négative pour x = a , la fonction est décroissante , c'est-àdire que Ton ay*(a-f- h) <^f (a).

III. Il suit immédiatement de là que 5/ la dérivée f'(x) reste constamment positive (ou négative)^ tandis que x croit d'une manière continue depuis une valeur a jusqu'à j3, la fonction f (x) sera continuellement croissante (ou dé-, croissante) dans le même intervalle.

Remarque, — Le raisonnement précédent exige que la dérivée ne s'annule pas pour x = a. Cependant, si la dérivée se réduisait à zéro pour une ou plusieurs valeurs de x comprises entre a et [3, sans cesser d'être constamment positive (ou négative) pour les autres valeurs de x , les conclusions précédentes subsisteraient. En effet, supposons que l'on ait

DES APPROXIMATIOKS NUMéHlQLES. 89

lorsque x croît de a à (3, et considérons la fonction

/(j:)-h kx,

k désignant une constante arbitraire, positive. La dérivée /' (x) 4- k restera constamment positive, sans passer par zéro', pour toute valeur de x comprise entre a et (3, Donc la fonction y (x) -f- kx sera croissante , et Ton aura

/(/H- A) 4- A- («f -f- h) >f{a) H- Aa, ou

/(«H-A)~/(a)4-ifr//>o.

11 en résulte qu'on ne saurait avoir

quelque petite que soît la quantité cî; car on pourrait toujours assigner à Tindéterminée h une valeur assez petite pour que l'inégalité

ne subsistât plus. Ainsi, il est impossible que la fonction f{x) aille en décroissant. On démontrerait de même, en donnant à k une valeur négative , que si la dérivée est constamment négative ou nulle, la fonction ne va jamais en croissant.

49. Corollaire I. — La dérivée f [x) ne saurait être nulle pour toute valeur de x, comprise entre a et (3, sans que la fonction/ (a:) se réduise à une constante, dans ce même intervalle. En effet, de ce que la dérivée n'est jamais n^ative, on conclura, comme précédemment, à l'aide du terme auxiliaire hx , que la fonction ne va pas en décroissant; et de ce que la dérivée n'est jamais positive on conclura que la fonction ne va pas en croissant; donc elle est constante pour toute valeur de x comprise entre a et /3.

Corollaire II. -r-^ On dit qu'une valeur x ^= a rend/^ {x)

C)0 THÉORIE GÉMÉHALE

maximum , quand on a la double inégalilé

h élant aussi petit qu'on voudra-, et si les deux signes d'inégalité sont renversés, en sorte que l'on ait

ondilquea: = arendy(j:) minimum. Cela posé, une condition nécessaire et suffisante pour que x = a donne un maximum ou un minimum, c'est que ladérii^éej' [x) change désigne^ lorsque x croît de a — li à a H- /i. Si le changement de signe a lieu de -4- à — , c'est quey'(.r), d'abord croissante en deçà de tf , devient décroissante au delà -, par conséquent il y a maximum. Si le changement de signe a lieu de — à + , il y a au contraire minimum.

Quand la dérivée/' [x) demeure finie et continue pour toutes les valeurs de x que Ton considère, elle ne peut changer de signe qu'en passant par zéro. On obtient donc alors toutes les valeurs de x susceptibles de donner des maxima ou des minima, en résolvant Téquation

toutefois, quand on a trouvé une racine a de cette équation, jl faut, avant de prononcer qu'elle répond à un maximum ou à un minimum, s'assurer que/*'(jc) change bien de signe en^re a — /t et « -f- //, h étant aussi petit qu'on voudra.

50, Cps préliminaires posés, nous pouvons établir la formule générale de Tapproximation. Elle est comprise dans le ihéprcme 3uivant :

Sila Joncliont [n) est telle , que sa dérivée reste finie et continue pour toute valeur d^ x comprise entre a ef a ■+- h , la différence ( [di -h h) — f (a) e5/ égale au produit delipar la valeur que prend la dérivée f (x) pour une certaine im-

DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES^ gi

leur de x intermédiaire entre a e^ a -h h ; e« sorte quon a

[h est ici un nombre donné qui peut n'être pas irès-pelit.)

Supposons d'abord h positif; soit M la plus grande des valeurs que prend f (x)^ quand a: croît d'une manière continue depuis a jusqu'à a H- A. Nous aurons, pour toutes ces valeurs dea:,

Or M — f [^) est évidemment la dérivée, par rapport à x ^ de la fonction

f{a 4- h) —/(jr) -- (« 4- /* — x)M ;

donc cette fonction est croissante ; et, comme elle s'annule pour la plus grande valeur de x, a -f- A , elle est constamment négative entre a et a -h A. Si l'on y fait x = a ^ on aura donc

/(VU- //)-/(«) — //M <o.

En désignant par m la plus petite des valeurs que prend la dérivée/' (x) entre <t et « -f- A , on démontrera de même l'inégalité

La différence/(a -f- A) — f{^) est donc comprise entre hm et A M 5 ou, ce qui revient au même, elle est égale ai^ produit de A par une grandeur moyenne entrç m et M.

Nous avons supposé A positif. Dans le cas contraire, a -h A élant moindre que a , on fera croître x depuis a-^h jusqu'à a, et les deu3ç inégalités précédentes ne feront que changer de sens, La conclusion demeurera donc la même.

Ce qui précède n'exige pas que la dérivée/' [x) soit con?/>ï Me entre a et a + A^ il suffit qu'elle reste yî/w. Maintenant, si ou la suppose continue, elle passera par tous les états de grandeur entre m et M. Donc il existera

g2 l'HÉOniE GÉNÉRALE

iine certaine valeur de x comprise entre a et a 4- A , que l'on peut désigner par a -h Oh^ et pour laquelle /' [x) deviendra précisément égale à la grandeur intermédiaire entre m et M. dont il est question. L^équatlon (i) est donc démontrée.

51 . Remarque, — L équation ( i) admet une interprétation géométrique bien simple^ Posons

et regardons y comme l'ordonnée variable d'une courbe dont X désignera Tabscisse.

Soit C/wD cette courbe {fig* i) , rapportée aux deux axes

Fî^. I.

rectangulaires Ox, ^y\ m ex ni! les deux points qui ont pour coordonnées

OA' = a -h /i, w' A' = /(« -f- A).

Si l'on.mènc ml parallèle à Taxe des a:, le rapport

— ou ''— { — i-i— ,

ml h

DES APPROXI MATIONS NUMÉRIQUES. 93

sera la tangente trigonomé trique de Tangle m'm\ que fait la sécante mm! avec Taxe des .r. On sait d*ailleur» que la dérivéey (.r) représente, pour chaque valeur de a?, la tangente irigonométrique de Tangle que fait avec Taxe des x la tangente au point de la courbe C/wD qui répond à cette abscisse.

\JT , d après 1 équation (i), le rapport -^ — ^ ■ est

égal ày (a 4- 0A). Donc cette équation signifie quV/ existe toujours sur la courbe^ entre m et m\ un point oîi la tangente est parallèle à la sécante mm' . 11 peut d'ailleurs y a\oir plusieurs points , tels qne^ , où la tangente ^T jouisse de cette propriété.

S2. Corollaire I. —La déiîvéey(a:) ne saurait être nulle pour toute valeur de x comprise entre deux nombres donnés a et (3, sans que la fonction y (j?) se réduise à une constante dans ce même intervalle. En effet ^ f [a -h h) étant alors nulle quel que soit h entre zéro et P — ^ a , il suit de Féquation (i) que l'on a constamment/^ (a -+- /*) =f(a) , c'est-à-dire que la fonction ne varie pas avec x. Cette proposition avait déjà été prouvée (48),

Corollaire II. — L'équation (i) fournit l'expression de Terreur que Ton commet dans la règle rie fausse position ou règle des parties proportionnelles , quand on suppose les accroissements d'une Jonction proportionnels aux accroissements très-petits de la variable. En effet, >1 résulte d'abord de la définition même d'une dérivée, que Ton a

t ayant zéro pour limite en même temps que h. Le terme hz est donc infiniment petit par rapport à hf* (a) [pourvu toutefois quey'(a) ne soit pas nulle] j et par conséquent raccroissementy(«-f- À) — f[a) est sensiblement égal à "" hf (a) pour de très-petites valeurs de h , c'est-à-dire qu'il est proportionnel à A.

t)4 THEORIE GÉNÉRALE

De plus, il résulte de Téqualion (i) que ce même accroissement peut s'écrire :

et par suite on voit qvie l'erreur commise en supposant la proportionnalité ci-dessus est une fraction de h marquée par f'[a-^ Bh) — /'(«)• Nous l'apprécierons plus loin sur divers exemples.

33. L'hypothèse de la proportionnalité des accroissements d'une fonction aux accroissements très-petits de la variable, est utile dans un grand nombre de cas, où l'on doit étudier reflet produit sur une grandeur, par une petite variation de l'un des éléments dont cette grandeur dépend.

Par exemple , quand on veut déterminer la hauteur AB {fig- 2) d'un édifice, par la trigonométrie, on mesure une

Fig. 2.

base AC à partir du pied de la verticale, puis l'angle BCA. Désignons par C cet angle, par i la base et par /i la hauteur cherchée. Si l'angle C était connu exactement, on aurait

h= b lang C.

Mais il est impossible d'éviter une certaine erreur absolue dans la mesure de l'angle C. Cette erreur est due, en partie,

DES APPROXIMATIONS MMÉUIQUES.

à rimperfecUon de la gradualîon de riiislrument qui^ne permet pas de lire le nombre exact de degrés , minutes et sccoijdes de Fangle 5 en partie , à la difficulté de pointer juste vers le point B. Désignons celte erreur par a , en sorte que l'angle observé sera C-f-a. L'erreur absolue qui en résultera sur la hauteur cherchée, sera

£ = ^[taDg(C-+- a) — tangC], et Terreur relative correspondante ,

s tarig ( C H- a ) — tang C

Ti ~" tang C

Or, a étant très-petit, l'accroissement tang (C-f-a) — tângC est sensiblement égal (corollaire II) au produit de a par la

dérivée de taneC, c'est-à-dire à — • On aura donc

à sin C ces C sin 2 C

Or c'est un résultat de l'expérience que l'erreur oc est indépendante de la grandeur de l'angle C; mais on voit que

l'erreur relative j change, pour une môme valeur de a,

avec la grandeur de l'angle C. Pour qu'elle soit minimum , il faut que sin 2 C soit maximum ou que C égale 45^*. Ainsi le triangle rectangle le jAus avantageux , c'est-à-dire celui pour lequel une erreur constante, commise sur l'angle observé , influera le moins possible sur la hauteur cherchée, est un triangle isocèle. C'est pourquoi , dans la pratique , on a soin de choisir une base b qui dilïère peu de la hauteur, en sorte que l'angle C se rapproche le plus possible de 4^^- La règle des parties propoitionnelles y employée dans les calculs logarithmiques, consiste à admettre que les différences entre les nombres (ou arcs) sont proportioo-

^6 THÉORIE GÉlVÉtlALÈ

ncll«s aux diflerences entre les logarithmes des nombres (ou lignes trigonométriques des arcs).

Ainsi, soit proposé de calculer le logarithme du sinus de l'arc 35° 8' 47", 5. Les Tables donnent

log sin ( 35« 8' 40^^ ) = 7,760 1 5o8 ;

et la différence tabulaire correspondante, c'est-à-dire l'excès de logsin{35°8'5o") sur le logarithme précédent, est apgdi'^-miiiio'».. Si l'on désigne par d le nombre de dix millionièmes qu'il faut ajouter à log sin (35° 8' 4o'') pour avoir le logarithme demandé, on fait la proportion ,

= -^ — j dou 0=224»

et par suite -

logsin{35« 8'47",5) =7,7601732.

Nous déterminerons (63) une limite supérieure de l'erreur que cette règle comporte.

54. La démonstration donnée au corollaire II du n° 52 exige que la dérivcey^(3t:) ne soit pas nulle pour la valeur particulière .r = a. Si l'on avait/' (/?) = o, le terme hf'[a) disparaîtrait, et il ne serait plus vrai de dire que l'accroissement f[a H- A) — f{^) est sensiblement proportionnel à lu Cet accroissement serait alors comparable à une puissance de h supérieure à la première. C'est ce que l'on verra par la formule de Taylor (65). Ce cas exceptionnel se présentera notamment, quand la fonction /(x) passera, pour la valeur x = a, par un maximum ou un minimum (49).

Soit, par exemple, f{x) = cos.r : partons de la valeur a = o", qui rend cos j; maximum. Il vient

/(o'^H-//)— /(o") = cosA— I = — 2sin»-=:

bES ÀPPROleiMATIONS NtJMÉRIQUËS. 9^

. h sm -

î?our de irès-pelites valeurs de A ^ le facteur —7— diflfère

très-peu de i , et par suite raceroîssement de la fonction cos X, en partant de a: = o**, est sensiblement proportionnel à A'. Il en résulte que cette fonction varie très-lentement dans le voisinage de son maximum. Ce fait a lieu pour toute fonction dont la dérivée est continue.

55. La proportionnalité de l'accroissement d'une fonction à Taccroissement de la variable dont elle dépend, n'aura lieu rigoureusement qu'autant que/' (a + A) sera indépendante de A, ou, ce qui revient au même, que/^'(x) sera une constante. SoîtAcetle constante. Comme/' (a:) — A est la dérivée àefip^ — Ax, il suit de l'équation^' (x) — A=o, que la fonctiony(j:) — kx sera elle-même une constante (49 et 52). Soit B cette seconde constante. On aura donc

/(:t?) z= Ao? 4- B.

Ainsi, pour que l'accroissement d'une fonction de x soit constamment proportionnel à l'accroissement de la variable, il faut et il suffit que cette fonction soit entière et du premier degré en x.

L'interprétation géométrique de ce résultat est trop évidente pour que nous nous y arrêtions.

56. La règle de fausse position , ou des parties proportionnelles ^ sert à résoudre approximativement une équation de degré quelconque à l'aide de deux suppositions successives faites sur la valeur de l'inconnue.

Soient M et N deux grandeurs (deux temps, deux distances , deux volumes, etc.) qui dépendent d'une inconnue Xy qu'il s'agit de déterminer de manière que ces grandeurs deviennent égalés. Si Ton substitue dans l'équa

98 fHÉORIE GÉNÉRALE

tion

à la place de x, une valeur a arbitraire, mais déjà ap-^ prc»chée de la racine cherchée, M ne sera pas égale à N, et la différence M — N prendra une certaine valeur A. Pour une seconde supposition a H- A faite sur l'inconnue, M — N prendra une autre valeur que nous désignerons par A-hAAj AA sera donc raccroissement (positif ou négatif) que prend la fonction M — N pour l'accroissement h donné à la variable. Cela posé, en admettant la proportionnalité, on dira : Si pour un accroissement h donné à x, la fonction prend Taccroissement AA, quel sera l'accroissement X à donner à a:, pour que la fonction prenne l'accroissement — A , c'est-à-dire se réduise à zéro ? d'où la proportion

X —A ^ hh

Dans le cas où cette proportion sera exacte , a 4- X ,

AA c'est-à-dire a ? sera la valeur de l'inconnue qui vérifie

l'équation M — N = o ; c'est ce qui aura lieu si la fonction M — N est du premier degré en x. Dans le cas contraire , la proportion ne fournira qu'une approximation plus ou moins grande ,^ selon le degré de petitesse de A et de A.

Nous donnerons de nombreuses applications de cette règle dans le calcul approché des racines des équations numériques (n^' 79 et suivants).

57. Quel que soit le calcul à faire sur une grandeur a y on peut représenter par /(a) le résultat chei'ché j/'(a — a) sera le résultat correspondant à la valeur approchée a — a. L'erreur commise , que nous désignerons par s , sera la valeur absolue de la différence /(«)—/(« — «) 7 et le

bE8 APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 99

signe de cette difierence apprendra si le résultat du calcul est approché par défaut ou par excès.

Or, si Ton remplace, dans l'équation (i)^ h par a et a par a — « , il vient

/(«)-/(^-*)=ra/'(«-.9«).

@ n'est plus le même que dans Féquation (i) \ mais c'est toujours un nombre compris entre o et i , en sorte que a — 6a. est encore une moyenne entre a et la valeur a — a. On a donc, en prenant la valeur absolue du second membre,

Si Ton opérait sur un nombre en excès , a -4- a , on trouverait de même pour l'expression numérique de l'erreur ,

(2 bis.) fi' = o.f'{a-\- 9a);

a-k-^oL est encore une valeur moyenne entre a et la valeur a -i- a employée dans le calcul.

Ainsi , r erreur absolue commise dans un calcul quelconque fait sur une grandeur a dont on n'a qu'une valeur approchée a dz a , est égale au produit de a par la valeur que prend la défisse de la fonction qui représente le résultat du calcul à effectuer^ lorsquon y remplace a par une moyenne entre a et le nombre employé dans le calcul.

A la vérité, cette valeur moyenne n'est pas connue*, mais on saura, dans chaque cas particulier, par une substitution convenable, tirer de la formule précédente une limite supérieure de l'erreur commise, et c'est cette limite seule qu'il importe d'avoir. Donnons des exemples.