Soit d'abord

f{x)=x^, d'où /'(a:)=iwa:'"-';

on aura, par la formule (2)

E =: W ( fl — a ) "-' a*

lOO THÉORIE GÉNÉRALE

Cette formule convient à toute valeur de m. Si m est plus grand que i, on en tire

f <^ /lia*"' a y ce qui est conforme au résulut fcouvë (35).

Si m est plus petit que i , soit m =± - ; /i > i • L'équatiori précédente devient

/iv^(a — ea)«-' d'où Ton tire

comme on l'a vu (37).

Exemple. Soit proposé de calculer 4 /?2£^ à une unité près. Posons

/(.) = //S22, d'où /'(.) = -^^I2^.

L'erreur e , commise en prenant pour a:, tt -h a au lieii de 71, sera, par la formule (a bis) ,

et, à fortiori, l'on aura

^8oûr^ e<— •<ioaî

or la question demande que e soit moindre que i : il suffit donc de poser

DES ÀPPROXIMATIOlfS NUMÉRIQUES. lOI

Ainsi l'on prendra pour tt la valeur par excès 3,2, et il restera à extraire la racine cubique du quotient —^ à

une unité près. A cet effet on calculera seulement les trois premiers chiffres 1 1 7 de ce quotient (38) . La racine cubique de 1 17000 est 48 , et par conséquent 49 est la valeur approchée de //M^ à une unité près.

Cette méthode s'appliquera très-bien à toutes les opérations complexes du même genre, dans lesquelles on n'aura à considérer qu'une seule grandeur incommensurable. Son principal avantage est de déterminer V approximation par une seule formule y tandis qu'autrement il faut successivement recourir, dans une même question , à plusieurs formules distinctes et propres à chaque espèce d'opérations. C*est ce qu'on a fait au n** 39. Au surplus, l'emploi des Tables de logarithmes dans les questions de celte nature fournira beaucoup plus rapidement Tapproximation demandée.

59. La formule générale que nous venons d'exposer s'applique sans plus de difficulté au cas où la fonction /(x) est transcendante.

Ainsi, soit

f{x) = \o^x, d'où /'(a;) = ^,

e désignant la base des logarithmes népériens. Si le logarithme que nous considérons est pris dans la base 10, le

module loge ou j — est égal (30) à 0,434^9* . .» et, par

conséquent, moindre que —

Or l'erreiir e que l'on commettra sur loga, en prenant, au lieu de a, la valeur approchée a — a, sera, d'après la formule (2),

a logé?

lOa THÉORIE GÉNÉRALE

et, puisque Ton a loge < -^ et 0<; i, il viendra

Supposons , par exemple , a — a = 345^7 et a <^ — i on

aura

« < 57^ — ou « < 5

ainsi Ton ne pourra compter que sur les trois premières décimales du logarithme du nombre qui a pour valeur approchée 345,7 à — près. Il serait donc illusoire, en pareil

cas, de faire usage des sept décimales que donnent les Tables de Callet. Si Ton prend, dans ces Tables, les logarithmes de deux nombres consécutifs 345,7 et 345,8, entre lesquels tombe le nombre a dont il s'agit, on trouve

log345,7 = 2,5386994, log 345,8 =2,5388250,

et l'on voit, en effet, que ces deux logarithmes n'ont que les trois premières décimales communes.

60. Pour que l'erreur e qui affecte log (a — a) soit moindre qu'une unité du septième ordre décimal , il faudra que a satisfasse â la condition

ï al

% a — a \o' d'où

û ^ 10' -f- 2 ' Celte inégalité sera évidemment satisfaite si Foi) a

«^ 10' Donc (5) le nombre a devra être connu avec huit chiffres

DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. Io3

exacts. En général y il faut connaître un chiffre déplus 4ians le nombre a quon rCen veut avoir dans son logarithme. Par exemple , soit proposé de calculer, à l'aide des Tables de Callet , le logarithme du nombre tt avec sept chiffres. On prendra tt avec huit chiffres, ou tt = 3,i4i59si6, et l'on trouvera

Comme on ne doit conserver que sept décimales , il convient (8) d'augmenter de i la dernière, et l'on a définitivement ,

log7r = 0,4971499.

Ce résultat est même approché à moins d'une demi-unité du dernier ordre.

Nous n'avons pas égard ici à l'erreur qui provient de la règle des parties proportionnelles , attendu qu'elle n'influe pas, comme on va le voir, sur les sept premières décimales du logarithme : la discussion de cette erreur fera l'objet des paragraphes suivants.

61 . Supposons d'abord qu'il s'agisse de calculer le logarithme d'un nombre donné.

Comme la question se ramène toujours à chercher le logarithme d'un nombre compris entre deux termes consécutifs de la Table , nous désignerons ce nombre par a -f- A, a étant l'entier immédiatement inférieur, dont le logarithme se lit dans la Table. En posant

f[x) =log.r, on a

et, d'après l'équation (i) du n^ 50,

Pour /i = i , il vient

1 loge

log(«-hi)-logflr = — -y;

I04 TDÉORIB GÉNÉHÀLE

a changé, parce qu'il dépend de A; c'est pourquoi nous mettons di. Du reste 9i, comme 6, est toujours compris entre o et i .

Désignons , pour abréger, les premiers membres des deux égalités précédentes par c^ et A^ et retranchons de la pre^ mière le produit de la seconde par h , il viendra