v • . iplog
logsinia -+- lo") — logsma ou A = -, ? -rr arc i •
° ^ / o tang(fl + 0, .10''^
ou
Retranchons de la première égalité le produit de la se-
nde par — : il vient • *^ 10^ ^
— A = Alogtf.arci"! ; T-7-\ — : 7 — tt; 7r\ v
10 ^ Ltang{fl-+- 0^) tang(a4-6|.io")J
.,. ^ h -, ,, sin(ô, .10" — ÔA)
^^' lo ^ sin(a4-0A)sm(a + ô,.io")
La valeur numérique du second nombre est l'erreur commise sur cî, lorsqu'on prend, conformément à la règle
usuelle , J = — A . Or on a '10
log<?< - » A<^io, sin(0, 10" — Ô^Xlsin lo^^arcio",
et
Bin(a -h Bh)sin(a 4- ô,. io")>> sin^a;
donc Terreur commise est moindre que
(arcio^O»
2 sin'a D^ailleurs, on a
arc !o"=r -72 — := o, ooooiS. . . <[ :
donc enfin l'erreur commise par la proportion des Tables a pour limite supérieure
8.io*sin*û Si l'on part d'un arc a = 5^ , on trouve que cette limite se réduit sensiblement à — ^ • Ainsi Ton pourrait craindre
lO'.OjO ^
que la septième décimale ne fût fautive d'une unité. Mais cela n'a même pas lieu. On verra en effet (73) que la limite d'erreur trouvée ci-dessus peut être réduite au quart de sa valeur, ou à
32«io'.sm'âr
Si l'on adopte ce dernier nombre , l'erreur effective , pour un arc a = 5^, et à fortiori pour un arc plus grand, a pour
limite supérieure — ;; r ou une demi-unité du septième
'^ Io^2,4
ordre.
Mais pour un arc compris entre o et 5 degrés , et surtout s'il est voisin de o degré, on ne saurait répondre que Ter-*
108 THÉOniE GÉNÉRALE
reur provenant de la proportion des Tables n'atteindra pas la septième décimale. C'est pourquoi l'on a construit une Table spéciale renfermant les logarithmes-sinus et logaritbmes-tangentes , de seconde en seconde^ pour les cinq premiers degrés,
64. Dans le problème inverse, on cherche l'arc a H- A correspondant à un logarithme-sinus donné 5 c'est le nombre de secondes désigné par h qui est l'inconnue. Or l'équation (4) peut s'écrire
d'où
jo 10 sin(fl-l-0A)cos(a-hO,.io")'
sin(Q..io''— e^) + 0..
sin(0,.io" — 0^)
10 10 sin(a -+- ÔA) cos(a 4- 9,. 10")
L'erreur que Ton fait sur la fraction — en la prenant
égale à -? est donc la valeur numérique du rapport
A sin(0..io^^ — e/Q
10 'sin(a -h0/Ocos(a-|-0,.io")'
et par conséquent moindre que
ou à très-peu près
arc 10
sina cos(âr -h 10")
o*.&m2iz
Si l'on n'applique la proportion des Tables qu'à des arcs égaux ou supérieurs à 5 degrés , on aura :
sin2fl^sinio®=o,i7.. y
et par suite Terreur sera moindre que — ^* Elle n'affectera
donc pas le chiffre des millièmes du rapport — -, ou, ce qui revient au même, le chiffre des centièmes de h. Mais il ne faut pas oublier qu'à cette erreur s'en joint une autre, pro-^
t»£â APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. lô^
Venant de ce que les deux termes du quotient - ne sont connus qu'à une demi -uni té près , erreur dont la li-^ mite supérieure est, comme on sait, - ; par ce fait seul, le
quotient — ^ n'est approché qu'à ■ . . près. Cette secondé
\^) erreur peut atteindre les centièmes de seconde, attendu que la différence tabulaire A est un nombre de trois ou de quatre chiffres au plus (*). C'est pourquoi Ton s'arrête dans le calcul de h au chiffre des centièmes , et même on ne conserve communément que celui des dixièmes.
65. Le calcul approché des logarithmes par la règle des parties proportionnelles est un cas particulier du problème de V interpolation. Interpoler, c'est déterminer, entre certaines limites de la variable x , les valeurs d'une fonction de Xy d'après la connaissance d'un certain nombre de valeurs particulières de cette fonction, correspondant à des valeurs de x comprises entre les mêmes limites. Ici les valeurs connues de la fonction logo: ou log sino: sont les termes consécutifs des Tables, lesquels répondent à des valeurs équidistantes de x. Or, si l'on ouvre les Tables des nombres ou des lignes trigonométriques , on observe que les différences entre chaque terme et le suivant, ou différences premières y varient très-lentement, en sorte qu'on peut les regarder comme constantes dans un certain intervalle, c'est-à-dire regarder comme nulles les différences de ces différences, ou différences secondes ^ et celles des ordres supérieurs. Il en résulte que les fonctions log a:, log sînar, log tango:, etc., se confondent sensiblement , pour les valeurs de x comprises entre deux
C* ) Il est de quatre chiffres pour les arcs inférieurs à ii^54S ^^ ^^ trois chiffres pour tous les autres jusqu'à /|5 degrés.
IIO TBl&ORIE GÉNÂRALC
termes consécutifs de la Table, avec des fonctions entières et du premier degré enx] et Ton sait (55) que, pour ces dernières , la proportionnalité entre les accroissements de la fonction et ceux de la variable a lieu rigoureusement. Le lecteur pourra consulter, sur ce point détaché de la théorie des différences et sur l'application au calcul approché des racines des équations , Farticle inséré dans les Noui^elles Annales de Mathématiques (janvier et février i85i).
66. L'équation (i) nous a fourni l'expression générale de l'erreur commise quand on réduit y (a -+-/*) à/*(a) , c*està-dire quand on néglige dans le calcul de/ (a + A) tout ce qui dépend de A. L'erreur [hf (a -+- 6A) ] est , en général , du même ordre que h \ son rapport à h tend vers une limite finie, lorsque h tend vers zéro. Cette substitution àef[a) kf[a-\'h) constitue un premier ordre d^ approximation ; mais il arrive souvent que l'on a besoin d une approximation plus grande. On complète alors le terme/* (a) par un second terme proportionnel à A , et l'erreur n'est plus que de l'ordre du carré de A ^ c'est le second ordre d'approximation. C'est ainsi que par les formules des n^' 32, 44 ,et 46, nous avons remplacé
par I — Xy à moins de x' ,
V^i -h s par I H — î à moins de 5,
g gi
V 1 4- 6 par I -h ^î à moins de 5- 4 o
Les quantités o:, e , que l'on suppose très-petites , jouent le rôle de A dans /(a -h A).
On conçoit de même un troisième ordre d'approximation y dans lequel on négligerait seulement les termes du développement de/(a -f- A) qui renferment le cube et les
puissances supérieures de h\ mais, comme h est supposé très-petit relativement à a, il n'arrive guère dans la pratique que l'on dépasse le second ordre d'approximation.
67. Le problème général de l'approximation , pour tous les ordres, serait résolu, si l'on connaissait le développement d'une fonction quelconque y* (a -h h) suivant les puissances entières et positives de A , et le reste qui complète la somme des n premiers termes de ce développement. Tel est l'objet de la formule de Taylor.
Quand il s'agit d'une fonction/ (x) entière et du degré m , la formule de Taylor s'établit aisément par la loi du binôme de Newton , et l'on trouve
I«<a T» Jim^» » » fit
Ce développement se termine au m -h i**"^ terme ^ car les dérivées , /*"+* [a] , f"^^ [à) etc. , sont toutes nulles.
Si la fonction y (x) n'est plus entière, mais quelconque, on peut néanmoins se proposer de développer encore /(a -h h) suivant la loi précédente j mais le développement va présenter une série illimitée de termes. Que si l'on s'arrête au Ti'*"* terme et qu'on désigne par R le reste inconnu destiné à compléter la série ,i.on aura par définition,
et la question consistera à trouver une expression de ce reste sous forme finie. Voici cette expression :
I » ^ m ij t • •FI
Elle est applicable à toute fonction /(x) algébrique ou? transcendante , pourvu que la n'*'"' dérivée/" (x) reste finie
tI2 THÉOKIE GÉNÉRALE
et continue pour toute valeur de x comprise entre a et a -h ^. Comme cas particulier, si Ton y fait n = i , il vient
et par suite, en vertu de l'ëcpiation (5), où Ton doit faire en même temps 72 = 1,
c'est la formule (i) du n° 50.
Pourw = 2 , l'expression (6) devient
(d a changé, car il dépend de n; mais il reste toujours compris entre o et 1)5 et, d'après l'équation. (5), où l'on fait 71 = 2 , on a
(7) /{a-^h)-f{a)-hf[a) = -^J"[a + ih).
Cette dernière équation n'est pas moins utile que l'équation (i) dans la théorie des approximations numériques : elle est au second ordre de l'approximation ce que celle-ci est au premier ordre.
68. Comme nous n'aurons pas besoin ici de la formule de Taylor dans toute sa généralité , il suffira de démontrer la formule {7). Au reste, le lecteur curieux dcconnailre la démonstration générale la trouvera en petits caractères dans le numéro suivant.
Supposons d'abord // positif, et posons
Pour X = a , y (x) devient/(a -H //) — /(a) — hf (a),
DES APPROXIMATIONS NtJMÉRTQUËS. 1 1 1)
et se confond avec le reste R dont nous cherchons l'expression. En prenant la dérivée de ç (a:), il vient
Soit M la plus grande des valeurs que prend y" [x) , lorsque X croît d'une manière continue de a à a + /i , nous aurons conslamraent
(A) f±Aj^[M-r(x)]>o;
donc la fonction qui a pour dérivée le premier membre de celle inégalité est croissante. Or celte fonction est, d'après ce qui précède ,
ainsi cette fonction est croissante, et comme elle finit par s'annuler pour a: = a 4- A , elle a été constamment négative entre a et a -h h- Si l'on y fait x == a , on aura donc
tp (a) ouR-^i M,
En désignant par m la plus petite des valeurs que prend J*^ (x) entre a et n -h h ^ on démontrera de même l'inégalité
La valeur de R étant comprise entre m et M, on
peut l'égaler au produit de par une ceriaîne grandeur
moyenne entre m et M.
Nous avons supposé h positif. Dans le cas contraire, on fera croître x depuis a H- A jusqu'à «; le facteur n-hh—'X sera négatif, et IMnégalité (A) sera renversée. La
Il4 THÉORIE GÉNÉRALE
foiictîon(p(a:) — M sera donc décroissante , et
comme elle commence par s^annuler pour x :^a-h h^ elle sera constamment négative entre a + A et a ; donc on aura encore pour .r = « ,
Sans qu'il soit nécessaire de poursuivre, on voit que les conclusions restent les mêmes.
Tout ceci n'exige pas que la dérivée seconde soit continue, mais seulementyîwie , entremet a 4- A. Maintenant, si l'on suppose y' (.r) continue, elle passera par tous les états de grandeur entre sa plus grande et sa plus petite valeur; par suite, il existera une valeur a -h 9 h de x, comprise entre a et a -h A , pour laquelle,/" (a:) atteindra cette grandeur moyenne entre m et M , dont il a été question plus
haut, et dont le produit par est égal au reste R. On
aura donc
et la formule ( y) est démontrée.
