En général, soit

Pour x = a, (f{a)se confond avec Texpression (5) du reste R. La dérivée de 7 (or) se réduit à

On suppose d'abord h positif, et si Ton désigne par M la plus grande des valeurs que prend /" (.r) lorsque x croît de a à «ar + A,

DkS APPROXIMATIONS NUMÉRIQIJÈS. il5

on a constamment

donc la fonction qui a pour dérivéfe le premier membre de celte inégalité est croissante. Or cette fonction est évidemment

et comme elle finit par s^anniiler pour x=: a -{- h^ elle a dû être constamment négative pour les valeurs inférieures de x. On a donc en particulier pour x = ay

• 9(n) M <[ o , ou bien R <C ^ M.

En désignant par m la plus petite des valeurs que prend y** (jc), lorsque a: varie de /? à a + A, on aura de même

h" Ainsi R est égal au produit de = par une certaine

quantité moyenne entre m et M, qu'on peut représenter par /'*[a •+- 0//), siy" (jf) est continue entre/7 et « H- A. On a donc

Nous avons supposé h positif. Dans le cas contraire, on fera croître x depuis a -4- /* jusqu'à a ; le facteur a -h /i — x sera négatif, et Ton aura à distinguer deux cas : n pair, n impair.

1°. n pair; (a -+- A — *)"■"• étant négatif, l'inégalité (B) change de signe. Donc la fonction

est décroissante quand x croît de « + // à ^7, et comme elle corn-

1 l6 THÉORIE CÉWÉttALE

mence par s'annuler pour jc = /? -f- // , elle doit être constamment négative pour les valeurs supérieures de x. On a donc en particulier, pour xz=ay

I m £ • il 9 • .ri

comme précédemment, etc. Les conclusions restent les mêmes. 2°. n impair; (a -h /* — x/~' est positif, et l'inégalité (B) conservé son signe. La fonction

est donc croissante, et, par suite, positive pour les valeurs de x supérieures à a + //. On a donc, pour x z= rty

ff{a) ou R> ^ M.

On démontrerait de même que Ton a

Ces deux inégalités n'ont rien de contradictoire, vu que //" est

négatif.

En définitive^ R est encore égal au produit de ^

par une moyenne entre m et M. La formule (6) subsiste donc dans tous les cas. Par suite, eu égard à Téquation (5 ) , on a

C'est la formule de Taylor.

70. Cette formule .s'étend aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Considérons, par exemple, une fonction de deux variables /"(t, y) , dans laquelle on don-

ncra successivement aux variables les deux couples de valeurs

{x = a, r= ^), (xzzza-h h, x=z b -h ^j.

On peut se proposer de développer ^ (a H- A, b -i-k) suivant les puissances de h et de k. Ce développement (que nous limiterons, pour abréger, aux termes affectés des premières puissances de A et de ^) est le suivant :

le reste R ayant pour expression

(La notation/]^' indique qu'on a pris la dérivée partielle

^^f{^ 9 b) par rapport à a \Jl'f, indique qu'on a pris ensuite la dérivée par rapport à b de celte première dérivée partielle 5/^'^ indique la dérivée par rapport à a de la première

dérivée relative à cette même variable, etc.) Nous nous bornons à énoncer cette formule qu'où peut déduire de celle qui vient d'être démontrée pour une seule variable.

71 . Si l'on désigne par h et k les erreurs commises sur deux grandeurs dont « et i sont les valeurs employées dans le calcul, et pary(^, A) le résultat de ce calcul approché, la formule (8) donne le terme de correction

qui est de Tordre des premières puissances de h et de A; et, de plus , Terreur que cette correction laisse encore subsister dans la valeur de / (« -j- A , è -h /r) , est exprimée par le

Il6 THÉORIE GÉNÉRALE

reste R qui est du second ordre , c'est-à-dire ne contient que des termes du second degré en h et ft.

Si h et h sont très-petits, le rapport du reste R au terme du premier ordre

sera aus«i très-petit, et il aura pour limite zéro en même temps que h et k. En effet, si l'on pose k= fj^h^ ce rapport prend Ja forme

û) est arbitraire, mais fini 5 et lorsque h est très-petit, on voit que le numérateur de la fraction ci-dessus est très-petit , et qu'il a zéro pour limite en même temps que A, tandis que le dénominateur reste fini.

Il suit de là que, pour de très-petites valeurs de h et /f, raccroîssement de la fondions (a, b) ou

est sensiblement égal à hfJl (a , h) -+- hfl (a , b) , c'est-àdire composé de termes proportionnels aux accroissements des variables^ et égaux respectivement au produit de chaque accroissement par la dérivée partielle de la fonction , relative à la variable qui a reçu cet accroissement.

Ce théorème est vrai pour un nombre quelconque de variables indépendanteai. Il suppose toutefois que les déri^

vées partielles/^' (a, è), fl[ci^ b) ne soient pas nulles à la fois; autrement le terme du premier ordre hf:{a,b) + kfl[a,b)

disparaîtrait. Ce cas d'exception correspond à celui qu^

nous avons déjà signalé au n** 54 pour les fonctions d'une seule variable j et il se présente, comme ce dernier, toutes les fois que la fonction ^(x, j^) passe pour les valei^rs jC = a , j^ = i , par un maximum ou un minimum.