Les formules relatives au calcul approché des fonctions
dont il a été question dans les n^* 32, 44 et 45, sont évidemment des cas particuliers de l'équation (7). Bornonsnous a rechercher la limite supérieure de l'erreur que Ton fait en remplaçant
V'i 4- e par i -+- -, n
limite dont nous avons ajourné l'expression ( 45 ) . A cet effet, posons dans l'équation (7)
d'où
r(a) = ^-^ et r{x)^. '' '
puis a = I, A = s. 11 viendra
Réduisons i -f- 6e à l'unité dans le second membre , et nous aurons , pour limite supérieure de l'erreur,
Le signe du second membre nous apprend en outre que 1 H — est approché par excès.
lao THÉORIE GÉWÉRALE
Pour Ai = 2 5 on retrouve 3 > comme au n° 44.
Pour w = 3, on a - ? limite préférable à celle qu avaient donnée les transformations effectuées au u? 45.
73. L'équation (7) fournit encore très -simplement des limites supérieures de Terreur qui provient de la proportion tabulaire dans les calculs logarithmiques; et même on va voir que ces limites sont plus approchées que celles que nous avons tirées de l'équation (i).
i«. Soit
/(:r)==logx, d'où /'(,r) = î^% /"(:r) = ~!^.
il vient
,v , « hloac
log(« + /i) -— Iog« ou o = - — ^-
Jog(rt-f-i) — logû ou A= — 2 2—
et , par suite ,
La valeur numérique du second membre est l'erreur commise en prenant â = hA.Or 9, 9^ étant positifs et h moindre que I , le facteur entre parenthèses est , en valeur absolue ,
plus petit que — ; d'ailleurs on a loge <^ - *, donc Terreur
de la proportion tabulaire est moindre que y—^\ et en particulier pour un nombre a supérieur à 10 000, Terreur est moindre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal. Cette limite est moitié de celle que la formule (i) nous avait fournie (61 ), et il serait inutile d'en chercher une plus approchée, puisqu'on ne conserve que sept décimales dans les Tables.
DES APPROXIMAtlO^S NUMÉRIQUES. 12t
2*^. Soit
^(^) = logsina:, d'où /'{x) = i^^~, /-(^) = -l?^. ^ ' ° -^ V / tango? ^ * sm'a?
Il vient, en continuant à désigner par (î et A les difl'éiences
log sin (rt -h h") — log sin a et log sin [a -\-\ o") — log sin a ,
J = ^ . arc i" r— 7—^— r-,^ • arcM",
tang« 2sin*(a 4- ô/i)
lologe? „ loMoge' „
tangâr 2sin'(a -h 0, lo )
(Pour plus de clarté, nous mettons en évidence, comme au n*' 63, le facteur arc i", en sorte que la lettre A, hors des signes tri gonomé triques, désigne un nombre abstrait.) Des deux équations précédentes , on tire
^ h îoce.arcM'
lO
r voh ^l—l.
Lsin-7« -h e, lo") sin'(« -h 0/0 J'
6, 01 étant positifs et h moindre que lo, le facteur entre parenthèses du second membre est, en valeur absolue,
lOO
moindre que -r-^ • Mais, au lieu d'adopter cette limite ana-
sm'fl
logue à celle du cas précédent, il sera bon ici de montrer qu'on peut la réduire de moitié.
En effet , si l'on pose
i—'^ f *^"^ T r sing T- fi
7' Lsin(«-he.io")J "■''' L^«-Hô/i)J ""î^'
le facteur dont il s'agit prend la forme
I DO a/? — p sin* a p'^
a et (5 sont extrêmement peu inférieurs à i ^ car l'uu et l'autre surpassent -— -A \ et cette fraction , qui
croîl avec a, prend pour a= 5®, la valeur
[ sin(5^+.o- l]=°'99^--- Ainsi a et |3 sont compris entre i et 0,998 , pour tout arc égal ou supérieur à 5 degrés.
Maintenant , on s*assure aisément que l'inégalité
^ <1 - (où Ton suppose «/»>?)
est vraie 5 car elle équivaut à
dont le premier membre est essentiellement positif, puis^juc 2 p surpasse i, et par suite, a*. Mais il faut aussi vérifier rinégalité
^ <^ - (où Ton suppose ap <[ p).
11 suffit de changer les signes de a et P dans la précédente ,
ce qui donne
(/i -h ot)' — (2P -H a»)> O.
Or p étant plus grand que i , on a
{F-^^y>{i.9^y>^ et 2p-f.a'<24-l=r3.
Ainsi la valeur numérique du rapport ^ - est toujours
jnoiudre que -\ par suite, celle du facteur loh h^
sin'(a 4-O1I0") sin'(a-l-OA)
est plus petite que -r-^ —
Donc enfin la différence d A , c'est-à-dire l'erreur
qui résulte de la proportion tabulaire est plus petite que
5oarc'i" arc' 10" , ,. i
■ > . , — ou o . , ; et, en remplaçant arc 10'' par -,
4siii'a Ssin'rt^ '^ * *^ 2. 10*
DES APPROXIMATIONS WDMÉIIIQDES. 1 2?
on a
32 io*.sin'« pour limite supérieure de Terreur que la proportion comporte. Elle esl le quart de celle que nous avions tirée de la formule (i) i et c'est avec elle qu'on voit bien pourquoi l'on peut faire usage avec confiance de la règle des parties proportionnelles, pour un arc égal ou supérieur à 5 degrés. En effet, nous avons remarqué au n° 63 que la fraction précédente se réduit alors à — :; 7 environ, et, par suite, k
io'.2,4
partir de l'arc de 5 degrés, l'erreur est moindre que la moitié d'une unité du septième ordre décimal.
Dans les applications qui précèdent, la formule (7) a une supériorité marquée, pour l'évaluation de l'erreur, sur la formule (1). On en verra de nouveaux exemples dans ce qui va suivre. Cependant , comme la formule (i) n'exige que la connaissance de la dérivée première f [x)^ et qu'elle sutBt dans un g^and nombre de cas, il était utile d'en connaître l'usage pour apprécier le degré d'approximation, sans recourir à la dérivée seconde; c'est pourquoi nous avons montré avec détails , dans les n°^ 61 , 62, 63 et 64 , le parti qu'on peut tirer de cette formule , et nous suivrons la même marche dans le calcul approché des racines des équations numériques qui terminera cette Théorie.
Le lecteur sera ainsi à même de comparer les deux prQ-» cédés.
74. Comme application de la formule (8) , où l'on conr. sidère deux variables indépendantes, proposons-nous de rechercher quel est , dans la formation d'un réseau géodésique, le triangle le plus ai^antageuXy c'est-à-dire celui pour lequel les erreurs inévitables commises dans l'obser-* vation des angles influent le moins possible sur les deux côtés à calculer,
Soit b le côté servant de base, eiqueFon suppose mesuré ou calculé avec assez de soin pour que l'erreur soit négligeable*, A, B, C les angles dont les mesures comportent de petites erreurs /t, /r, Z, en sorte que les angles observés sont A + /?, B H- A^, C 4- /; eniîn , a et J les deux côtés cherchés. On a
6$inA AsinC
sm B sm A
Mais la valeur du côté a , telle qu'elle résulte de l'observation, est
b sin (A -h A ) sih(B + ^y *
L'erreur absolue commise sur ce côté, est donc
- [" sin (A -h h) ^ sinAl
■" Lsin(B-h A^)"" sinBj'
Comme h et k sont très-petits par rapport à A et B, le théorème du n° 71 est applicable , et l'on a sensiblement
, r , cos A , sin A ces Bl L smB sm^B J'
par conséquent, Terreur relative est
- = A cot A — A- cotB.
U^st permis de regarder les erreurs h et k (qui sont indépendantes des grandeurs des angles A et B) comme sensiblement égales et de même sens. On aura donc simplement, en faisant h = k^
~ ::= /i(cotA — cotB);
d'où Ton voit que V erreur s'évanouit si Von suppose A=B. Ainsi , dans ce cas , bien que A et B soient fautifs , la valeur calculée du côté a sera exacte. Si l'égalité mathéma-
liquc de h et h n'a pas lieu, le rapport - ne sera pas rigou-
reusement nul; mais du moins il sera très-voisin de zéro, pour A = B. Ce que nous venons de dire du côté a s'applique au côté c. Il résulte de là que le triangle le plus avantageux est celui dans lequel on a
c'est-à-dire le triangle équi latéral.
Calcul approché des racines des équations numériques.
75. Nous terminerons notre théorie des approximations numériques en appliquant au calcul approché des racines des équations les formules (i) et (7) des n°* 50 et 67.
Soity{x) = o une équation quelconque qui n'a pas de racines égales. Comme en changeant x en — x on ramène la recherche des racines négatives à celle des racines positives, nous supposerons qu'il s'agisse de calculer une racine positive de cette équation. Soit a une valeur approchée déjà connue, et h le nombre (positif ou négatif) qu'il faut ajouter à a pour avoir la racine exacte , on aura
En admettant que a soit assez approché de la racine pour que la dérivée/*' (x) reste finie et continue dans le petit intervalle qui sépare a de a+ h^ la formule (i) sera applicable et donnera
-fi")
Supposons que a soit approché /7ar défaut; h sera positif, et, par suite, /(«) et /'(«-+- ô/j) seront de signes contraires. Soit, pour fixer les idées, /(«)<C*'> <''où f'(a-\-eh):>o.
Pour tirer de l'équation (9) une valeur approchée de /«,
on est conduit à remplacery [a -f- 0/i) , dont la valeur n'est pas connue, par un nombre en excès ou en défaut. Ce nombre se présente de lui-même dans les applications; parce que, avant de procéder au calcul d'une racine par approximations successives , on a dû. débuter par la séparer^ c'est-à-dire par déterminer deux nombres qui comprennent cette racine et la comprennent seule. L'un de ces nombres est celui que nous avons désigné par a. Soit b l'autre, qui surpasse la racine. /*(a) et J'(b) sont de signes contraires.
On peut admettre que i est assez rapproché de a pour qaef^(x) soit constamment croissante (ou décroissante) entre x = a et a: = 6 ; de plus , comme l'équation proposée n'a pas de racines égales, la racine cbercbée n'annule pas J'[x)^ et par suite cette dérivée ne change pas de signe entre a et i , si ces deux nombres sont suffisamment voisins l'un de l'autre.
Cela posé, si f'(x) est croissante^ on aura
d'où
Sif'(x) est décroissante, les signes d'inégalité seront renversés. Dans les deux cas, on peut dire que les décimales communes aux deux fractions
appartiendront à la vraie valeur de h,
76. Il est aisé d'interpréter ces résultats par les considérations géométriques auxquelles nous avons déjà eu recours dans le n^ SI . Posons
et regardons j^ et x comme les coordonnées rectangulaires
DES APPROXIMATIOMS HVMÉKIQU^S. 1 27
dune courbe PiwR» [fig- 3) rapportée aux deux axes
Fig.Z.
Ox 5 Oy, L'abscîsse OR du point où la courbe va couper l'axe des x, représente la racine de l'équation /(jcr) = o, quHl s'agit de calculer. Soient
OA = fl', 0B = ^; Aw = —/(«), B/î=/(^).
Si l'on mène la tangente au point m , laquelle rencontre en T l'axe des x^ le triangle rectangle AT//* donne
*™, /wA mk — f{o^
lang/wTA tang/ï-c /'{«)
Puis, si l'on mène du même point /w, une parallèle mS à la tangente n\J qui répond au point n , le triangle rectangle wAS, donne
//lA /wA — fi^)
rang//; SA tang // U x /'{^)
Ainsi AT et AS représentent les deux limites trouvées cidessus pour h. Or le point R, où la courbe coupe l'axe des or, tombe entre les points T et S, et, par conséquent, Tune de ces limites , AT, est par défaut, tandis que l'autre, AS, est par excès. Toutefois ceci demande quelques développements, attendu que la courbé peut prendre diverses formes entre les points m et n.
