Une courbe P/7iQ (^g^. 4) est dite cowcai'e en un de ses

Ffg4,

points m vers une droite AB, lorsque deux arcs très- petits de cette courbe (wP, mQ)^ comptés déparât et cT autre du point m , sont situés dans Vangle aigu mTB que la tangente en 7/* fait avec celte droite. Si , au contraire , ces deux arcs sont tous deux dans Vangle obtus m TA (fig» 5) , la courbe

Fig.^.

est dite conv^exe en m vers la droite AB.

Lorsqu'on suivant le cours continu d'une courbe P/wQ, on rencontre un point m {Jîg* 6) tel, que la courbe, ,de

concave qu'elle était vers une droite AB dans la région P w ,

Ffg.6.

devient convexe dès qu'on atteint la région mQ , on dit qu'il j diinflexion en ce point. Un point d'inflexion est donc tel que les deux arcs de courbe (mP, mQ) , comptés à partir de ce point, sont situés de côtés différents de la tangente TmT'^ celle-ci traverse la courbe en même temps qu'elle la touche. Cela posé , reprenons Isijig. 4 ? qui représente un arc P/nQ , concave vers la droite AB, et situé tout entier d'un même côté de cette droite 5 prenons-la pour axe des a:; plaçons l'origine des coordonnées rectangulaires en un point quelconque O de AB , et comptons les x positifs dans le sens OB et les y positifs du côté de l'arc PwQ. Soit y=f[x) l'équation de cette courbe. Si nous faisons croître x à partir de l'abscisse 01 qui répond au point m , ce point va marcher de în vers Q sur la courbe au-dessous de la droite mK prolongement de mT, et par suite il est visible que l'angle que fait la tangente avec l'axe des x va décroître depuis /wTj: jusqu'à QYx. Donc sa tangente tri gonomé trique, qui n'est autre que^ (x) , est une fonction décroissante.

Fi g, 7.

Si l'arc de courbe , toujours concave vers O jc , avait la dîs-

l3o THÉORIE GÉNÉRALE

position indiquée dans \^fig. 7, oùl'anglemTj: estobtus, cet angle irait encore en décroissant de mTx à QVa:, et sa tangente trigonométrique augmenterait en grandeur absolue \ mais elle ne cesserait pas d'être une fonction décroissante, eu égard à son signe.

Concluons donc que si une courbe dont V ordonnée positwe est y = { {^x) ^ est concave en un de ses points vers Taxe des x, la dériuée {' (x) sera décroissante à partir de la valeur de x qui répond à ce point.

On démontrera de même, à Paide de \^fig> 5, que 5/ une courbe est connexe vers Taxe des x, f (x) sera croissante à partir de P abscisse du point que F on considère (et dont l'ordonnée est toujours supposée positive).

Ces deux propositions directes ont leurs réciproques vraies : ce qu'on met en évidence par le raisonnement connu .

En résumé, le caractère analytique qui distingue un arc concaue d'un arc connexe vers une droite prise pour axe des X (arc qu'on suppose situé tout entier dans la région des y positifs), c'est que la dérivée de l'ordonnée y prise par rapport k x ^ o\x f [x) ^ est une fonction décroissante dans le premier cas , et croissante dans le second. On s'assure d'ailleurs (48) que /' [x] est continuellement croissante (ou décroissante) depuis une valeur x = a jusqu'à a:= ft, en examinant si la dérivée seconde y' (x) garde constamment le signe -|- (ou le signe — ) dans cet intervalle.

Enfin, le caractère analytique d'un point d^injlexion [fie' ^) ' ^'^^^ qu'en ce point la tangente trigonométrique de Tangle mliX ou /' [x) , passe par un maximum ou par un minimum 5 et par suite , lorsque x atteint et dépasse

DE;S APPROXIMÀTIOi!4S NUMÉRIQUES. l3l

Tabscisse d'un point d'inflexion , f" {x) doit changer de signe (*).

78. Maintenant, rien n'est plus aisé que d'interpréter géométriquement l'hypothèse faîte au n** 75, savoir que J^ {x) est constamment croissante (ou décroissante) entre a: = a et x = i. En effet, il suffit d'imaginer {fig, 3 du n° 76) une parallèle CVo:' à l'axe des x , laquelle laisse l'arc mn audessus d'elle. Alors l'hypothèse faite signifie que la courbe est de m en 7î, toujours convexe (ou toujours concave) vers cette parallèle inférieure, sans offrir d'inflexion.

Dans layîgf. 3, c'est la concavité qui a lieu', mais il y a trois autres dispositions à considérer : elles sont représentées dans les^g'. 8 , 9 et 10.

Danslaifig, 8, il y a encore concai^ité vers une parallèle inférieure à l'axe des :r, qui laisserait l'arc mn au-dessus d'elle. Mais ce qui distingue cette figure de la fig. 3 , c'est que l'ordonnée/ (a) qui répond au point m est positive.

Dans les fig, 9 et 10 la courbe est cons^exe vers une parallèle inférieure à Taxe des a:; et ce qui les distingue Tune de l'autre , c'est que l'ordonnée f [a) à\x point m est négative dans Isijig' 9 et positive dans l^fig- 10.

Il est clair qu'il n'y a pas d'autres combinaisons que les quatre que nous venons de figurer.

Or il est facile de s'assurer que les expressions trouvées pour AT et AS sur la jfig. 3 conviennent , sans modifica-

{*) Les caractères analytiques delà concavité, de la conTexité et de Tinflexion demeurent les mêmes quand la courbe dont l'équation est j- =J (x), est supposée rapportée à des axes de coordonnées obliques. La dérivéey {x) représente alors un rapport de sinus qui est croissant ou décroissant dans les mêmes circonstances que ci-dessus.

Fig,6.

THÉOKIE GÉIfÉRALË

F/g. 9. Fîg, 10.

tion, aux trois autres cas. Ainsi , dans \^fig> 8 par exemple, on a

mk — mk. — f{a)

ATr=

tangiw TA tang/n Tx f [a)

etc. Cette sous-tangente AT, ou ^/ / > ? est précisément le

terme de correction qu'adopte Newton dans sa méthode d'approximation , et qu'il ajoute à a , en sorte qu'il prend

pour valeur approchée de la racine a — \ i

Cette valeur est représentée par OA + AT = OT , dans les quatre figures considérées. Or il suffit d'y jeter les yeux pour reconnaître que le point T tombe tantôt en deçà, tantôt au delà du point racine R. Il est en deçà dans les jig* 3 et 10 , et alprs l'expression

fournit une approximation par défaut, c'est-à-dire de même sens que la valeur a dont on est parti.

DES ÀPPnaXIMÂTIONS NUMERIQUES. l33

Il est au delà dans lesfig, 8 et 9 , et alors l'expression (lo) fournît une approximation par excès.

Remarquons maintenant que les Jig, 3 et 10 ont cela dé commun , que f (a) et f^^ [a) y sont de même signe. En effet, dans làjig, 3 il y a concavité, et parsuite,^^ (a) < o^ d'ailleurs on a aussi/(û) <Co; donc/(a) et/'' (a) sont de même signe. Dans la fig. 10 il y a convexité, et par suite J^{a) >05 mais on aaussi/(a) >o; doncf(a}etJ" (a) sont encore de même signe.

Au contraire , dans chacune des fig. 8 et 9^f{a) et/^' (a^ sont de signes contraires.

Concluons donc que le terme de correction de Newton y

fournira une approximation par défaut de la racine, toutes les fois que f (a) et F (a) seront de même signe y et une approximation par excès dans le cas contraire. Quant à l'autre terme

auquel nous sommes également parvenus dant le n° 75 , et qui est représenté dans la fig. 3 par la longueur AS, on M'en fait aucun usage, bien qu'il fournisse visiblement une approximation de sens contraire à la précédente : nous allons donner le motif de ce rejet.

79. Reprenons l'une desfg. 3, 8, 9, 10; la fg. 3 par exemple, et tirons la sécante mn qui va couper l'axe des a: au point C Puisque l'arc mn est sans inflexion , celte corde laissera l'arc tout entier d'un même côté d'elle, et d'ailleurs elle passera évidemment entre les deux parallèles indéfinies wS, nT''. Par conséquent, le point C tombera toujours du même côté de R que le point S , et entre R et S. Il en résulte que si l'on calcule la sous-sécante AC , on aura une approximation toujours plus grande qu'avec AS , et

l34 THÉORIE GÉHÉaALE

de même sens qu'elle. ÂC remplacera donc AS avec avantage. Or les triangles semblables donnent

AC Aw AC —/(a)

AB~A/w + /iB' *"* ÏTZ-^ -/(«)+/(*)' d'où

Les mêmes triangles semblables existent dans les fig. 8, 9 et lo , et conduisent à la même expression de la soussécante AC, en ayant égard aux signes des ordonnées extrêmes.

Il nous reste une remarque importante à faire : c'est que la formule (i i) n'est autre que celle qu'on avait déjà trouvée au n? 56, en supposant les accroissements du premier membre de l'équation proportionnels aux accroissements de l'inconnue. Il n'y a que les notations de changées : ce que nous appelions A est ici désigné par y* (a) ; h est b — a^ et AA est f(b) — /*{«). Ainsi la règle de fausse position ou des parties proportionnelles revient à considérer la courbe j^ =y (or) comme confondue, dans l'intervalle des valeurs a et b attribuées à x , avec la ligne droite qui joint les deux points correspondants à ces valeurs»

En définitive, on adoptera pour le calcul approché de la racine comprise entre a et ft , l'un ou l'autre des deux termes

('*•). -j^y ("^ -fjty=rrjry

et si on les calcule tous deux, comme l'un est par défaut tandis que l'autre est par excès , on sera sûr que Terreur commise sera inférieure à la valeur absolue de leur différence.

Ces considérations sufiisent déjà pour rectifier complètement la méthode d'approximation de Newton , en faisant connaître, pour chaque valeur approchée, le sens de r erreur commise et une limite supérieure de cette erreur.

DES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. l35

Si Ton prenait la moyenne arithmétique entre les deux termes (lo) et (n) on aurait une limite d'erreur moindre encore, et marquée par leur demi-différence; mais on ne saurait plus si le résultat obtenu en ajoutant cette moyenne à a^ serait approché par défaut ou par excès.